高考数学一轮复习练案（43理42文）第七章立体几何第二讲空间几何体的表面积与体积练习（含解析）新人教版

第二讲空间几何体的表面积与体积A组基础巩固一、选择题1．(2021·广东六校联盟联考)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(A)A．π＋eq\f(\r(3),3) B．2π＋eq\f(\r(3),3)C．2π＋eq\r(3) D．π＋eq\r(3)[解析]由三视图知，该几何体由圆柱与三棱锥组合而成，其体积为π＋eq\f(1,3)×2×eq\f(1,2)×eq\r(3)＝π＋eq\f(\r(3),3).故选A．2．(2021·河南中原名校质量考评)一个几何体三视图如右图所示，则该几何体体积为(D)A．12 B．8C．6 D．4[解析]由三视图可知几何体为三棱锥，如图，故其体积V＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×3×4＝4.故选D.3．(2021·四川、云南、贵州、西藏四省四校联考)一个多面体的三视图如图所示，其正视图、侧视图都是全等的等腰直角三角形，俯视图为边长为2的正方形，则其表面积为(A)A．8＋4eq\r(2) B．12C．16＋8eq\r(2) D．12＋2eq\r(2)[解析]根据三视图，可得立体图形如图所示：则S表面积＝2×2＋eq\f(1,2)×2×2×2＋eq\f(1,2)×2×2eq\r(2)×2＝8＋4eq\r(2).故选A．4．(2021·河北衡水中学调研)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为(B)A．π B．eq\f(3π,4)C．eq\f(π,2) D．eq\f(π,4)[解析]∵圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，∴该圆柱底面圆周半径r＝eq\r(12－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2)＝eq\f(\r(3),2)，∴该圆柱的体积：V＝Sh＝π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))2×1＝eq\f(3π,4).故选B.5．(2021·吉林省高三二模)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是(A)A．eq\f(5π,3) B．eq\f(4π,3)C．2＋eq\f(2π,3) D．4＋eq\f(2π,3)[解析]设半圆柱体体积为V1，半球体体积为V2，由题得几何体体积为V＝V1＋V2＝π×12×2×eq\f(1,2)＋eq\f(4,3)×π×13×eq\f(1,2)＝eq\f(5π,3)，故选A．6.(2021·河南省质检)正多面体被古希腊圣哲认为是构成宇宙的基本元素，加上它们的多种变体，一直是科学、艺术、哲学灵感的源泉之一，如图，该几何体是一个棱长为2的正八面体，则此正八面体的体积与表面积之比为(B)A．eq\f(\r(6),18) B．eq\f(\r(6),9)C．eq\f(\r(6),12) D．eq\f(\r(6),3)[解析]由边长为2，可得正八面体上半部分的斜高为eq\r(22－1)＝eq\r(3)，高为eq\r(3－1)＝eq\r(2)，则其体积为eq\f(2×2×\r(2),3)×2＝eq\f(8\r(2),3)，其表面积为8×eq\f(\r(3),4)×22＝8eq\r(3)，所以此正八面体的体积与表面积之比为eq\f(\r(6),9).7.(2020·山东省泰安市6月三模)我国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广．刍，草也．甍，屋盖也．”今有底面为正方形的屋脊形状的多面体(如图所示)，下底面是边长为2的正方形，上棱EF＝eq\f(3,2)，EF∥平面ABCD，EF与平面ABCD的距离为2，该刍甍的体积为(B)A．6 B．eq\f(11,3)C．eq\f(31,4) D．12[解析]如图，作FN∥AE，FM∥ED，则多面体被分割为棱柱与棱锥部分，因为EF与平面ABCD的距离为2，所以四棱锥F－NBCM的高为2，所以V四棱锥F－NBCM＝eq\f(1,3)S四边形NBCM×2＝eq\f(1,3)×2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(3,2)))×2＝eq\f(2,3)，V棱柱ADE－NMF＝S直截面×eq\f(3,2)＝eq\f(1,2)×2×2×eq\f(3,2)＝3，所以该刍甍的体积为：V＝V四棱锥F－NBCM＋V棱柱ADE－NMF＝eq\f(2,3)＋3＝eq\f(11,3).故选B.8．(2021·四川成都诊断)如图是某几何体的三视图，若三视图中的圆的半径均为2，则该几何体的表面积为(C)A．14π B．16πC．18π D．20π[解析]由题意可知几何体为从半径为2的球体中去掉左后下四分之一和右前上四分之一，故其表面积为eq\f(3,4)×4π×22＋eq\f(3,2)×π×22＝18π，故选C．9．一个透明密闭的正方体容器中，恰好盛有该容器一半容积的水，任意转动这个正方体，则水面在容器中的形状不可能是(A)A．三角形 B．长方形C．正方形 D．正六边形10．(2021·广东质检)已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝1，AC＝eq\r(3)，AB⊥AC，AA1＝4，则球O的表面积为(C)A．5π B．10πC．20π D．eq\f(20\r(5)π,3)[解析]由题意知AB、AC、AA1两两垂直，设球O的半径为R，则4R2＝1＋(eq\r(3))2＋42＝20，∴S球＝4πR2＝20π，故选C．11．(理)(2021·广东顺德质检)已知三棱锥P－ABC的底面ABC是边长为2的等边三角形，PA⊥平面ABC，且PA＝2，则该三棱锥外接球的表面积为(D)A．eq\f(68π,3) B．20πC．48π D．eq\f(28π,3)(文)(2021·安徽江南十校联考)如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝2eq\r(3)，将△BAC沿对角线AC翻折成△B1AC，则三棱锥B1－ACD外接球的表面积为(C)A．4π B．12πC．16π D．48π[解析](文)由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，知三棱锥外接球的球心为对角线的中点，半径为eq\f(1,2)BD＝eq\f(1,2)eq\r(AB2＋AD2)＝2，所以三棱锥B1－ACD外接球的表面积为4π×22C．12．(2021·陕西商洛期末)已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的每个顶点都在球的O球面上，若球O的表面积为12π，则该四棱柱的侧面积的最大值为(BA．10 B．12eq\r(2)C．16 D．18[解析]设球O的半径为R，则4πR2＝12π，得R＝eq\r(3).设正四棱柱的底面边长为x，高为h，则正四棱柱的体对角线即为球O的直径，则有eq\r(2x2＋h2)＝2R＝2eq\r(3)，即2x2＋h2＝12，由基本不等式可得12＝2x2＋h2≥2eq\r(2)xh，xh≤3eq\r(2)，当且仅当h＝eq\r(2)x时，等号成立，因此，该四棱柱的侧面积为4xh≤4×3eq\r(2)＝12eq\r(2)，即四棱柱的侧面积的最大值为12eq\r(2).二、填空题13.(2018·天津高考)如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，则四棱锥A1－BB1D1D的体积为eq\f(1,3).[解析]本题主要考查正方体的性质和四棱锥的体积．四棱锥的底面BB1D1D为矩形，其面积为1×eq\r(2)＝eq\r(2)，又点A1到底面BB1D1D的距离，即四棱锥A1－BB1D1D的高为eq\f(1,2)A1C1＝eq\f(\r(2),2)，所以四棱锥A1－BB1D1D的体积为eq\f(1,3)×eq\r(2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(1,3).另解：VA1－BB1D1D＝VABD－A1B1D1－VA1－ABD＝eq\f(2,3)VABD－A1B1D1＝eq\f(1,3).14．(2021·海南天一大联考)已知圆锥的母线长为3，底面半径为1，则该圆锥的体积为eq\f(2\r(2)π,3)，设线段AB为底面圆的一条直径，一质点从A出发，沿着圆锥的侧面运动，到达B点后再回到A点，则该质点运动路径的最短长度为__6__.[解析]圆锥的高为eq\r(32－1)＝2eq\r(2)，∴V圆锥＝eq\f(π,3)×2eq\r(2)×12＝eq\f(2\r(2)π,3)，圆锥底面周长为2π，侧面展开图扇形的圆心角为eq\f(2π,3)，如图，则质点运动的最短路径为虚线所示的折线，长度为6.15．(2021·河北张家口、邢台联考)已知球O是三棱锥P－ABC的外接球，AB＝BC＝CA＝1，PA＝2，则当点P到平面ABC的距离取最大值时，球O的表面积为eq\f(16π,3).[解析]当点P到平面ABC的距离最大时，PA⊥平面ABC．如图，以△ABC为底面，PA为侧棱补成一个直三棱柱，则球O是该三棱柱的外接球，球心O到底面△ABC的距离d＝eq\f(1,2)PA△ABC的外接圆半径r＝eq\f(AB,2sin60°)＝eq\f(\r(3),3)，所以球O的半径为R＝eq\r(d2＋r2)＝eq\f(2\r(3),3)，所以球O的表面积为S＝4πR2＝eq\f(16π,3).16．(原创)两直角边长分别为6、8的直角三角形绕其一边所在直线旋转一周，所形成的几何体的体积为96π或128π或eq\f(384,5)π.[解析]以长为8的直角边为旋转轴所得圆锥的体积为96π；以长为6的直角边为旋转轴所得圆锥的体积为128π；以斜边为旋转轴所得圆锥的体积为eq\f(384,5)π.17．(2021·新高考八省联考)圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上，其上、下底面半径分别为4和5，则该圆台的体积为__61π__.[解析]圆台的下底面半径为5，故下底面在外接球的大圆上，如图所示，设球的球心为O，圆台上底面的圆心为O′，则圆台的高OO′＝eq\r(OQ2－O′Q2)＝eq\r(52－42)＝3，据此可得圆台的体积：V＝eq\f(1,3)π×3×(52＋5×4＋42)＝61π.B组能力提升1．(2021·陕西西安质检三)如图，，水面高为h.则h等于eq\r(3,7).[解析]设圆锥形容器的底面积为S，则未倒置前液面的面积为eq\f(1,4)S，∴水的体积V＝eq\f(1,3)×2S－eq\f(1,3)×eq\f(1,4)S×(2－1)＝eq\f(7,12)S，设倒置后液面面积为S′，则eq\f(S′,S)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(h,2)))2，∴S′＝eq\f(Sh2,4)，∴水的体积为V＝eq\f(1,3)S′h＝eq\f(Sh3,3×22)，∴eq\f(Sh3,3×22)＝eq\f(7,12)S，解得h＝eq\r(3,7).2．(理)(2021·湖湘名校教育联合体联考)在四面体S－ABC中，SA⊥平面ABC，∠BAC＝120°，SA＝2，BC＝eq\r(7)，则该四面体的外接球的表面积为eq\f(40π,3).(文)(2021·江苏质检)若一个圆柱的轴截面是面积为4的正方形，则该圆柱的外接球的表面积为__8π__.[解析](理)设△BAC外接圆半径为r，则2r＝eq\f(\r(7),sin120°)，∴r＝eq\f(\r(21),3).设四面体外接球的半径为R，则由题意易得R2＝r2＋1＝eq\f(10,3)，∴S球＝4πR2＝eq\f(40π,3).(文)作出圆柱与其外接球的轴截面如下：设圆柱的底面圆半 径为r，则BC＝2r，所以轴截面的面积为S正方形ABCD＝(2r)2＝4，解得r＝1，因此，该圆柱的外接球的半径R＝eq\f(BD,2)＝eq\r(2)，所以球的表面积为S＝4π(eq\r(2))2＝8π.故答案为8π.3．(2021·四川、云南、贵州、西藏四省四校联考)在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝2，顶角为120°，以底边BC所在直线为轴旋转围成的封闭几何体内装有一球，则球的最大体积为eq\f(\r(3)π,2).[解析]据题意可得几何体的轴截面为边长为2，相邻边的一夹角为60°的菱形，即菱形中的圆与该菱形内切时，球的体积最大，可得内切圆的半径r＝eq\f(\r(3),2)，故V＝eq\f(4,3)πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))3＝eq\f(\r(3)π,2).4．(2021·浙江联考)某几何体的三视图如图所示，则它的表面积是(B)A．8＋3π B．10＋3πC．8＋5π D．10＋5π[解析]根据三视图画出直观图得，该几何体的左侧为长方体，右侧为半圆柱体，故该几何体的表面积S＝1×2×3＋1×1×2＋eq\f(1,2)×2π＋eq\f(1,2)×2×2π＋1×2＝10＋3π，故选B.5．(2021·河北石家庄质检)已