中等职业学校公共基础课程 数学《平面向量的直角坐标及其运算》教学课件

3.4.1平面向量的直角坐标及其运算问题导入问题1

在平面内建立直角坐标系，则点A可以怎么表示？问题2

平面向量是否也有类似的表示？问题导入问题3

在平面直角坐标系中，分别取与x轴和y轴的正方向同向的两个单位向量i

，j，已知点A（3，2），向量如何用向量i，j来表示？新知探究向量的直角坐标

一般地，对于平面直角坐标系xOy中的任意一个向量a，如图所示，作

＝a，若点A的坐标为（x，y），则a＝xi＋yj，我们把（x，y）称为向量a在平面直角坐标系xOy中的坐标，记作a＝（x，y）．思考：①向量的坐标与有序实数对之间是什么关系？②零向量和单位向量i，j的坐标分别是什么？新知探究相等向量如果a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），那么a＝b

x1＝x2且y1＝y2．新知探究例1如图所示，在平面直角坐标系xOy中，用单位向量i，j分别表示向量，，，，并求出它们的坐标.新知探究练习1．在平面直角坐标系xOy中，i，j分别为x轴和y轴正方向的单位向量，如果a＝－2i＋3j，b＝－3i－j，则向量a，b的坐标分别为多少？2．在平面直角坐标系xOy中，i，j分别为x轴和y轴正方向的单位向量，写出图中四个向量的坐标．新知探究平面向量的坐标运算

问题：设a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），λ为实数，试用坐标表示a＋b，a－b，λa，a∙b．所以类似可以得到因为a＋b＝（x1i＋y1

j）＋（x2i＋y2j）a＋b＝（x1＋x2，y1＋y2）．a－b＝（x1－x2，y1－y2），λa＝（λx1，λy1）．

＝（x1＋x2）i＋（y1＋y2）j新知探究平面向量的坐标运算

问题：设a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），λ为实数，试用坐标表示a＋b，a－b，λa，a∙b．所以a∙b＝x1∙x2＋y1∙y2．因为a∙b＝（x1i＋y1j）∙（x2i＋y2j）＝x1x2i2＋x1y2i∙j＋y1x2i∙j＋y1y2j2＝x1∙x2＋y1∙y2，新知探究始点不在原点的平面向量的坐标已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，如何用坐标表示

？jiBAOyx

在平面直角坐标系xOy中，i

，j分别为x轴和y轴正方向的单位向量，设点M（x，y），则

＝xi＋yj.＝（x2i＋y2j）－（x1i＋y1j）＝（x2－x1）i＋（y2－y1）j＝（x2－x1，y2－y1）．新知探究例2已知a＝(4，－3)，b＝(－6，8)，求（1）a+b；（2）a－b；（3）2a－3b；（4）a∙(2a－b)．解(1)a+b=(4，－3)+(－6，8)=(－2，5)；(2)a－b=(4，－3)－(－6，8)=(10，－11)；(3)2a－3b=2(4，－3)－3(－6，8)

=(8，－6)－(－18，24)=(26，－30)；(4)2a－b=2(4，－3)－(－6，8)

=(8，－6)－(－6，8)=(14，－14)，新知探究例2已知a＝(4，－3)，b＝(－6，8)，求（1）a+b；（2）a－b；（3）2a－3b；（4）a∙(2a－b)．解a∙(2a－b)=(4，－3)∙(14，－14)

=4×14＋(－3)×(－14)=98．新知探究例3已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别为A（5，－2），B（0，2），C（－1，7），求点D的坐标．解

设点D的坐标是（x，y），故点D的坐标是（4，3）.新知探究练习A组1．若a＝(－2，4)，b＝(5，2)，则a＋b＝

，a－b＝

.5．已知作用在原点的三个力f1＝（3，4），f2＝（2，－5），f3＝（3，1），求f1＋f2＋f3

.2．若a＝(4，3)，b＝(－3，8)，则a＋b＝_____，a－b＝____.3．若，，则_____，

_____.4．若，，则_____，

_____.新知探究1．已知a＝，完成下列填空：

若＝2a＋3b，且点A的坐标为A（-1，1），则点B的坐标为_______.（1）若a＝(x，y)，A(2，1)，B(3，-2)，则x＝___

，y＝___.2．已知a＝（4，－

），b＝(－2，

）则2a＋3b＝_____；（2）若a＝(-3，2)，A（1，-1），B（x，y），则x＝___,y＝___.练习B组新知探究3．已知平行四边形ABCD的三个顶点坐标分别为A（-2，1），B（-1，3），C（3，4），求顶点D的坐标．练习B组温故知新1.平面向量的直角坐标2.平面向量的直角坐标运算3.始点不在原点的平面向量的坐标已知a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a＋b＝（x1＋x2，y1＋y2）；a