人教版八年级数学下册第十七单元课课练课时作业+单元测试卷（含答案解析）

第十七章勾股定理

17.1勾股定理

第1课时勾股定理

01基础题

知识点1勾股定理的证明

1•利用图1或图2两个图形中的有关面积的等量关系都能证明数学中一个十分著名的定理，这个定理称为勾股定

理，该定理结论的数学表达式是£±更三巳

2.4个全等的直角三角形的直角边分别为a，b，斜边为c.现把它们适当拼合，可以得到如图所示的图形，利用这

个图形可以验证勾股定理，你能说明其中的道理吗？请试一试.

解：图形的总面积可以表示为

c2+2x|ab=c2+ab，

也可以表示为a2+b2+2X3ab=a2+b2+ab，

c2+ab=a2+b2+ab.

.*.a2+b2-c2.

知识点2利用勾股定理进行计算

3•在4ABC中，NA，NB，NC的对应边分别是a，b，c，若NB=90°，则下列等式中成立的是（O

A-a2+b2=c2B.b2+c2=a2

C-a2+c2=b2D.c2—a2=b2

4•已知在7?rAABC中，ZC=90°，AC=2，BC=3，则AB的长为（。

4-4B.小

C.y[T3D.5

5•已知直角三角形中30°角所对的直角的边长是2小cm，则另一条直角边的长是（O

A-4cmB.4小cm

C•6cmD.6\[3cm

6•（2016•阿坝）直角三角形斜边的长是5，一直角边的长是3，则此直角三角形的面积为0.

7•在4ABC中，ZC=90°，AB=c，BC=a，AC=b.

（l）a=7，b=24,求c；

（2）a=4，c=7>求b.

解：（l）：/C=90°，,AABC是直角三角形.

.*.a2+b2-c2.

A72+242=C2.

Ac2-49+576=625.

.,.c=25.

(2)；NC=90。，.♦.△4BC是直角三角形.

.,.42+Z>2=72.

.•方2=72-42=49-16=33.

：.b=yj33.

8•如图，在4ABC中，AD1BC-垂足为点D，ZB=60°，ZC=45°.

⑴求/BAC的度数；

(2)若AC=2，求AD的长.

解：(1)NBAC=18O°-60°-45°

=75°.

(2)VAD±BC，

.,.△ADC是直角三角形.

；/C=45°，

.,.ZDAC=45°.

，AD=CD.

根据勾股定理，得AD=巾.

02中档题

9•（2016・荆门）如图，在4ABC中，AB=AC，AD是ZBAC的平分线.已知AB=5，AD=3，则BC的长为（0

10•如图，点E在正方形ABCD内，满足NAEB=90。，AE=6，BE=8，则阴影部分的面积是（C）

A-48B.60C.76D.80

11•（2017.陕西）如图，将两个大小、形状完全相同的4ABC和△A，B，C拼在一起，其中点"与点A重合，点C落

在边AB上，连接BC若/ACB=/AC，B，=90°，AC=BC=3，则BC的长为（A）

第11题图第14题图

12,（2016•东营）在4ABC中，AB=10，AC=2^10，BC边上的高AD=6，则另一边BC等于（C）

A-10B.8

C-6或10£>.8或10

13•若一直角三角形两边长分别为12和5，则第三边长为13或J丽.

14•如图，在7?zAABC中，ZC=90°，AD平分NCAB，AC=6，BC=8，CD=3.

15•图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的.在RtZ\ABC中，若直角

边AC=6，BC=5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则

这个风车的外围周长（图乙中的实线）是K.

16.如图，在RtAABC中，N4CB=90。，CDLAB于D，AC=20，BC=15.

(1)求AB的长；

⑵求CD的长.

解：(1)；在Rt"BC中,ZACB=90°>BC=15，AC=20，

/.AB=^AC2+BC2=^/202+152=25.

(2)VS^ABC=^ACBC=^AB-CD，

:.AC•BC=AB-CD.

.*.20X15=25CD..*.CD=12.

17•（2016•益阳）在△ABC中，AB=15，BC=14，AC=13，求Z\ABC的面积.

某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程.

作AD1BC于点D，

设BD=x，用含x

的代数式表示CD.一根据勾股定理，利用

AD作为“桥梁”，建

利用勾股定理求

立方程模型求出x.一出AD的长，再计

算三角形面积.

解：在4ABC中，AB=15，BC=14，AC=13，

设BD=x，则CD=14-x.

由勾股定理，得AD2=AB?-BD2=152-X2，AD2=AC2-CD2=132-(14-X)2.

...152-X2=132-(14-X)2.解得x=9.

AAD=12.

.•.SAABC=|BCAD=1X14X12=84.

03综合题

18•如图，已知4ABC是腰长为1的等腰直角三角形，以放4ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰RfaACD，

再以Rt/\ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰/?fAADE.........依此类推，则第2017个等腰直角三角形的斜

边长是（、历严叱

□习题解析

第2课时勾股定理的应用

01基础题

知识点1勾股定理在平面图形中的应用

1•如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面5小处折断，旗杆顶部落在离旗杆底部12“处，旗杆折断之前的高度是

（D）

2•如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米.一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，

则小鸟至少飞行坨米.

3•八（2）班小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得如图风筝的高度CE，他们进行了如下操作：

①测得BD的长度为15米；（注：BD1CE）

②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25米；

③牵线放风筝的小明身高1.6米.

求风筝的高度CE.

解：在Rf^CDB中，由勾股定理，得CD=#CB2-BD2=y252—15』20（米）.

，CE=CD+DE=20+1.6=21.6（米）.

答：风筝的高度CE为21.6米.

4•如图，甲船以16海里/时的速度离开码头向东北方向航行，乙船同时由码头向西北方向航行，已知两船离开码头

1.5h后相距30海里，问乙船每小时航行多少海里？

解：设码头所在的位置为C，1.5h后甲船所在位置为A，乙船所在位置为B，则

AC与正北方向的夹角为45。，8c与正北方向的夹角为45。，

ZACB=90°.

3

在Rt/XABC中，：AC=16X]=24（海里），AB=30海里.

由勾股定理，得BC2=AB2-AC2=3（）2—242=324.解得BC=18.

3

182（海里〃J、时）.

答：乙船每小时航行12海里.

知识点2勾股定理与方程的应用

5•印度数学家什迦逻(1141〜1225年)曾提出过“荷花问题”：“平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲；出泥不染亭

亭立，忽被强风吹一边；渔人观看忙向前，花离原位二尺远；能算诸君请解题，湖水如何知深浅？”请用学过的数

学知识回答这个问题.

解：如图，由题意可知AC=0.5，AB=2，OB=OC.

设OA=x，则OB=OA+AC=x+0.5.

在RtAOAB中，OA2+AB2=OB2，

+22=(X+0.5)2.

解得x=3.75.

，水深3.75尺.

6•如图，在一棵树(AD)的10m高处(3)有两只猴子，其中一只爬下树走向离树20m(C)的池塘，而另一只则爬到树

顶(。)后直扑池塘，如果两只猴子经过的路程相等，那么这棵树有多高？

解：B为猴子的初始位置，则AB=10m，C为池塘，则AC=20m.

设BO=xm，则树高AO=(10+x)m.

由题意知BQ+CC=AB+AC，.•.x+CQ=20+10.

CD=(30—x)m.

在RtAACD中，ZA=90°，

由勾股定理得，

/.202+(10+%)2=(30-X)2./.X=5.

,,.AD=10+5=15(m).

故这棵树有15m高.

知识点3两次勾股定理的应用

7•(2017•绍兴)如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端

距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距高地面2米，那么小巷的宽度为(C)

A•0.7米B.1.5米C.2.2米D.2.4米

第7题图第8题图

8•如图，滑竿在机械槽内运动，ZACB为直角，已知滑竿AB长2.5米，顶点A在AC上滑动，量得滑竿下端B

距C点的距离为1.5米，当端点B向右移动0.5米时，滑竿顶端A下滑Q2米.

02中档题

9•如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”.他们仅仅

少走了步路(假设2步为1m)，却踩伤了花草(D)

第9题图第10题图

10■如图为某楼梯，测得楼梯的长为5米，高3米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少为(D)

A•4米B.8米C.9米D.7米

U•如图，长为8cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升3cm到点D，则橡皮筋被

拉长了Zcm.

ft

第12题图习题解析

12.将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm-高8cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长

度为hcm-则h的取值范围是7WhW16.

13•如图是一面长方形彩旗完全展平时的尺寸图(单位：cm).其中长方形ABC。是由双层白布缝制的穿旗杆用的旗

裤，阴影部分。CE尸为长方形绸缎旗面，将穿好彩旗的旗杆垂直插在操场上，旗杆从旗顶到地面的高度为220cm.

在无风的天气里，彩旗自然下垂.求彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h.

解：彩旗自然下垂的长度就是长方形。CE尸的对角线。E的长度，连接力E，

在RtADEF中，根据勾股定理，得

DE=7DF?+E产=、12()2+9()2=150.

/;=220-150=70(cm).

，彩旗下垂时的最低处离地面的最小高度h为70cm.

14•超速行驶是引发交通事故的主要原因.上周末，小朋鸟等三位同学在滨海大道红树林路段，尝试用自己所学的知

识检测车速，观测点设在到公路1的距离为100米的P处.这时，一辆富康轿车由西向东匀速驶来，测得此车从A

处行驶到B处所用的时间为3秒，并测得NAPO=60°，NBPO=45°，试判断此车是否超过了每小时80千米的

限制速度？

ABO

P

解：在mZXAPO中，ZAPO=60°，则NPAO=30°.

.,.AP=20P=200m，

AORAP?—OP2r20()2-1002=io(h/3(w).

在/?/ABOP中，ZBPO=45°，则BO=OP=100w.

.•.AB=AO-BO=100V3-100^73(/n).

.•.从A至"B小车行驶的速度为73^3«24.3(/n/.v)=87.48km/h>S0km/h.

.•.此车超过每小时80千米的限制速度.

03综合题

15•如图，在RtAABC中，/C=90°，AB=5cmAC=3cm，动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度移

动，设运动的时间为ts.

(1)求BC边的长；

(2)当4ABP为直角三角形时，求t的值.

解：(1)在Rt/\ABC中，由勾股定理，得BC2=AB2-AC2=52-32-16.

ABC=4cm.

⑵由题意，知BP=tcm>

①当/APB为直角时，如图1，点P与点C重合，BP=BC=4C/H，

.,.t=4；

图2

②当/BAP为直角时，如图2，BP=tc，〃>CP=(t-4)c〃？，AC=3cm，

在7?rAACP中，AP2=AC2+CP2=32+(t-4)2.

在RfZXBAP中，AB2+AP2=BP2>

即52+[32+(t-4)2]=t2.

解得t=y.

.,.当4ABP为直角三角形时，t=4或t=^

第3课时利用勾股定理作图

01基础题

知识点1在数轴上表示无理数

1•在数轴上作出表示小的点(保留作图痕迹，不写作法).

解:略.

知识点2网格中的无理数

2•如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B都是格点，则线段AB的长度为(4)

A.5

B-6

C-7

D-25

知识点3等腰三角形中的勾股定理

3・在4ABC中，AB=AC=13cm，8c=10cm，求等腰三角形的边上的高与面积.

解：过点A作AOL3C于。，

\9AB=AC=\3cm，

：.BD=CD=^BC=^XIO

=5(cm).

：.AD=ylAB2-BD2=y]\32~52

=12(cm).

.••5A.4BC=|BCAZ)=1X10X12=60(cm2).

02中档题

4•(2017・南充)如图，等边4OAB的边长为2，则点B的坐标为(£))

71•(1-1-)

B•他，1)

C•（小，小）

D-（1'A/3）

5•（2017•成都）如图，数轴上点A所表示的实数是

-2-I01A2!ii

第5题图第6题图

6•（2017・乐山）点A，B，C在格点图中的位置如图所示，格点小正方形的边长为1，则点C到线段AB所在直线的

距离萍.

7•如图，4ABC和4DCE都是边长为4的等边三角形，点B，C，E在同一条直线上，连接BD，求BD的长.

解：•••△ABC和4DCE都是边长为4的等边三角形，

・・・CB=CD，

ZCDE=ZDCE=60°.

，ZBDC=ZDBC=|zDCE=30°.

，ZBDE=90°.

在RtABDf中，DE=4，BE=8，

—CE2=、82—42=4小.

03综合题

8•仔细观察图形，认真分析下列各式，然后解答问题.

OA3=（VT）2+1=2，S尸坐：

OAg=柩2+1=3，S2=苧；

OAi=（V3）2+l=4，S3=坐；

求：

（1）请用含有n（n是正整数）的等式表示上述变化规律;

⑵推算出OAio的长；

（3）求出ST+SJ+SH-----FS%的值.

解：（l）OA£=Nn—I]+1=n，Sn=芈（n为正整数）.

（2）OA?o=（港＞+1=10,.,.OAIO=E.

(3)S彳+S3+S3+…+S?o

=$+(%+(坐y+…+(坐产+(厚产

1,23,,9,10

=a+z+w+…+/彳

1+2+3+…+9+10

=4

1+10

X10

2

4

=55

-4-

小专题（二）巧用勾股定理解决折叠与展开问题

类型/利用勾股定理解决平面图形的折叠问题

解决折叠问题关键是抓住对称性.勾股定理的数学表达式是一个含有平方关系的等式，求线段的长时，可由此列

出方程，运用方程思想分析问题和解决问题，以简化求解.

【例1】直角三角形纸片的两直角边AC=8，BC=6，现将4ABC如图折叠，折痕为DE，使点A与点B重合，

则BE的长为苧.

1•（2017•黔西南）如图，将边长为6cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在AB边中点E处，点C落在点Q处，

折痕为FH，则线段AF的长是9孤

第1题图第2题图

2•如图，在长方形纸片ABCD中，己知AD=8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为

AE，且EF=3>则AB=§.

类型2利用勾股定理解决立体图形的展开问题

立体图形中求表面距离最短时，需要将立体图形展开成平面图形，然后将条件集中于一个直角三角形，利用勾股

定理求解.

【例2】（教材P39Tl2变式与应用）如图，有一个圆柱，它的高等于12cm>底面半径等于3cm，在圆柱的底面A

点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点的食物，需要爬行的最短路程是多少？（n取3）

4V------

【思路点拨】要求蚂蚁爬行的最短路径，需将空间图形转化为平面图形（即立体图形的平面展开图），把圆柱

沿着过A点的A4'剪开，得到如图所示的平面展开图，因为“两点之间，线段最短”，所以蚂蚁应沿着平面展开图中

线段AB这条路线走.

【解答】如图，由题意可得：AA'=12>B=；X2兀X3=9.

在RtaAAB中，根裾勾股定理得：AB2=A'A2+A'B2=122+92=225.

.\AB=15.

.••需要爬行的最短路径是15cm.

针对训练

3•如图是一个高为10cm，底面圆的半径为4cm的圆柱体.在AAi上有一个蜘蛛。，Q4=3cm；在上有一只

苍蝇P，PBi=2cm，蜘蛛沿圆柱体侧面爬到P点吃苍蝇，最短的路径是416兀2+25cm.（结果用带兀和根号的式子表

示）

4•如图，在一个长为2机，宽为I根的长方形草地上，放着一根长方体的木块，它的棱和草地宽AD平行且棱长大

于AD，木块从正面看是边长为0.2m的正方形，一只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程是四Q，”（精确到

0.01机）.

5•如图，长方体的高为5cm，底面长为4cm5宽为1cm.

（1）点Ai到点C2之间的距离是多少？

（2）若一只蚂蚁从点A2爬到C一则爬行的最短路程是多少？

解：（1）..,长方体的高为5cm»底面长为4an，宽为Ian，

/.A2c2="TP=行（即）.

，Aic2="2+（«n）2=痘（。«）.

（2）如图1所示，A2cI=4可予=5啦（ent）.

如图2所示，A2C1—y/92+l2—y/82(cm).

如图3所示，A2cl="6?+42=2回（cm）.

■：5y[2<2\fl3<y/82，

，一只蚂蚁从点A2爬到Ci，爬行的最短路程是5陋cm.

17.2勾股定理的逆定理

01基础题

知识点1互逆命题

1•下列各命题的逆命题不成立的是(。

A.两直线平行，同旁内角互补

B-若两个数的绝对值相等，则这两个数也相等

C•对顶角相等

D•如果a2=b2>那么a=b

2•写出下列命题的逆命题，并判断它们是真命题还是假命题.

(1)如果两个三角形全等，那么这两个三角形的面积相等；

(2)等腰三角形的两个底角相等.

解：(1)如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等.是假命题.

(2)有两个内角相等的三角形是等腰三角形.是真命题.

知识点2勾股定理的逆定理

3•下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是(B)

A.小,也‘小B.1’啦’小

C-6>7>8D.2,3,4

4•下列各组数是勾股数的是(A)

A•3，4，5B.1.5>2>2.5

C•32,42，52D.|>|1

5•在4ABC中，AB=8，AC=15，BC=17>则该三角形为(B)

A•锐角三角形B.直角三角形

C•钝角三角形D.等腰直角三角形

6•三角形的边长之比为：①1.5：2:2.5；②4：7.5:8.5；③1：小：2；@3.5:4.5:5.5.其中可以构成直角三角形

的有(0

A•1个8.2个

C•3个力.4个

7•如图，分别以三角形三边为直径向外作三个半圆，如果较小的两个半圆面积之和等于较大的半圆面积，那么这

个三角形为(B)

A•锐角三角形

B•直角三角形

C•钝角三角形

D•锐角三角形或钝角三角形

8•已知：在4ABC中，/A，NB，NC的对边分别是a，b，c，三边分别为下列长度，判断该三角形是不是直角

三角形，并指出哪一个角是直角.

⑴，b=2y[2，c=y[5；

(2)a=5，b=7，c=9；

(3)a=2，b=y[3，c=巾；

(4)a=5，b=2#»c=l.

解：(1)是，NB是直角.

⑵不是.

⑶是，NC是直角.

⑷是,/A是直角.

9•如图，在4ABC中，AD1BC，AD=12，BD=16，CD=5.

(l)^AABC的周长；

(2)判断AABC是不是直角三角形？为什么？

解：(1)在/?zAABD和RtAACD中，

根据勾股定理，得AB2=AD2+BD2，AC2=AD2+CD2，

又：AD=12，BD=16，CD=5>

AAB=20-AC=13.

.♦.△ABC的周长为AB+AC+BC=AB+AC+BD+DC=20+13+16+5=54.

(2)aABC不是直角三角形.理由：

VAB=20，AC=13，BC=21，

AB2+AC2^BC2，

...△ABC不是直角三角形.

02中档题

10•如图，AD为4ABC的中线，且AB=13，BC=10，AD=12>则AC等于(Q)

A-10

B-11

C-12

D-13

H•已知a，b，c是三角形的三边长，如果满足但-6)2+赤行+1—10|=0，那么下列说法中不正确的是(。

A-这个三角形是直角三角形

B•这个三角形的最长边长是10

C•这个三角形的面积是48

D♦这个三角形的最长边上的高是4.8

12•下列定理中，没有逆定理的是(B)

A•等腰三角形的两个底角相等

B•对顶角相等

C-三边对应相等的两个三角形全等

D•直角三角形两个锐角的和等于90。

13•一艘轮船和一艘渔船同时沿各自的航向从港口O出发，如图所示，轮船从港口O沿北偏西20°的方向行60海

里到达点M处，同一时刻渔船已航行到与港口O相距80海里的点N处，若M，N两点相距100海里，则NNOF

的度数为(。

N

A-50°

B-60°

C-70°

D-80°

14•把一根30米长的细绳折成3段，围成一个三角形，其中一条边的长度比较短边长7米，比较长边短1米，则

这个三角形是直鱼三角形.

15•如图是一个零件的示意图，测量AB=4cm，BC=3cm，CD=12cm>AD=13cm>ZABC=90°，根据这些

条件，你能求出NACD的度数吗？试说明理由.

解：在AABC中，：AB=4，BC=3，ZABC=90°，

根据勾股定理，得AC2=AB2+BC2=42+32=52.

••AC=5cm.

AC2+CD2=52+122=25+144=169，

AD2=132=169，

即AC2+CD2=AD2.

.-.△ACD是直角三角形，且AD为斜边，

即NACD=90°.

16•如图，在四边形ABCD中，AB=BC=1，CD=<§，DA=1，且NB=90°.求:

(l)NBAD的度数；

(2)四边形ABCD的面积(结果保留根号).

解：⑴连接AC.

VAB=BC=1>ZB=90°，

；./BAC=/ACB=45°>AC=-\/AB2+BC2=V2.

又：CD=V§，DA=1，

.•.AC2+DA2=CD2.

.,.△ADC为直角三角形＞ZDAC=90°.

.•.ZBAD=ZBAC+ZDAC=135°.

(2)VSAABC=|AB-BC'

SAAEXZ=]AD.AC—^2

._,1+啦

・*S四边形ABCD=S^ABC+SAADC=2•

03综合题

17・在一次“探究性学习”课中，老师设计了如下数表:

n2345・・・

a22-l32-l42-l52—1・・・

b46810・・・

c22+l32+l42+l52+l•・・

⑴请你分别观察a，b，c与n之间的关系»用含自然数n(n>l)的代数式表示a，b，c，则a=n2—1，b=2n，

=n2+l；

⑵猜想：以a，b，c为边的三角形是否为直角三角形？证明你的结论.

解：以a，b，c为边的三角形是直角三角形.

证明：Va2+b2=(n2—l)2+(2n)2=n4—2n2+1+4n2=(n2+l)2=c2»

，以a，b，c为边的三角形是直角三角形.

章末复习（二）勾股定理

01基础题

知识点1勾股定理

1•如图，在4ABC中，NC=90。，NA=30。>AB=12，则4c=(C)

A.6B.6A/2

C•6巾D.12

第1题图第2题图

2•如图，阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为为.

3.如图，在Rt/\ABC中，ZACB=90°，AC=3，BC=4，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D，

则BD=2.

4•如图，在四边形ABCD中，ZB=90°，CDLAD，AU+COMZAB?.求证：AB=BC.

证明：连接AC

在AABC中，NB=90。，

:.AB2+BC2=AC2.

VCDLAD，

?.NAQC=90。.

:.AD2+CD2^AC2.

"：AD2+CD2=2AB2，

：.AB2+BC2=2AB2.

:.BC2=AB2.

'：AB>0，BOO，

：.AB=BC.

知识点2勾股定理的应用

5•如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8相处，发

现此时绳子末端距离地面2m，则旗杆的高度为（滑轮上方的部分忽略不计）（0

A•\2tnB.13m

C•16777D.17m

第5题图第6题图

6•已知A，B，C三地位置如图所示，/C=90°，A，C两地的距离是4如？，B，C两地的距离是3km-则A，B

两地的距离是“如若A地在C地的正东方向，则B地在C地的正北方向.

7•(2016•烟台)如图，O为数轴原点，A，B两点分别对应一3，3，作腰长为4的等腰AABC，连接OC，以O为圆

心，CO长为半径画弧交数轴于点M，则点M对应的实数为应.

知识点3逆命题与逆定理

8•“同旁内角互补”的逆命题是互补的两个角是同旁内角，它是假命题.

知识点4勾股定理的逆定理及其应用

9•在4ABC中，AB=6，AC=8，BC=10-则该三角形为(B)

A-锐角三角形B.直角三角形

C•钝角三角形。.等腰直角三角形

02中档题

10•如图，在4ABC中，ZC=90°，AC=2，点D在BC上，ZADC=2ZB，AD=4，则BC的长为（。）

—1B.y[j+1

C.V5-1D.V5+1

11•(2016.漳州)如图，在4ABC中，AB=AC=5，BC=8，D是线段BC上的动点(不含端点B，C).若线段AD

长为正整数，则点D的个数共有(C)

A•5个B.4个

C•3个D.2个

12•如图，每个小正方形的边长为1，A，B，C是小正方形的顶点，则/ABC的度数为(C)

A•90°B.60°

C-45°D.30°

第12题图第13题图

13•如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB，CD，EF，GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线

段是(8)

4•CD，EF，GHB.AB>EF>GH

C-AB，CD，EFQ.GH，AB，CD

14•若一个三角形的周长为12小cm，一边长为3小cm-其他两边之差为小cm>则这个三角形是直角三角形.

15•有一块空白地，如图，ZADC=90°>CD=6m，AO=8m>AB=26m，BC=24m.试求这块空白地的面积.

D

An

解：连接AC.

ZADC=90°，

，△AQC是直角三角形.

.,.AE^+CD^Ad2，即82+62=AC2，

解得AC=10.

又,.•AC2+CB2=K)2+242=262=AB2，

.♦.△ACS是直角三角形，ZACB=90°

•'-5ABCD-SRI&ACB-SRXAACD

=1xiOX24-1x6X8

=96(m2).

故这块空白地的面积为96m2.

16•小明将一副三角板按如图所示摆放在一起，发现只要知道其中一边的长就可以求出其他各边的长，若已知CD

=2，求AC的长.

解：；BD=CD=2，

/.BC=A/22+22=2V2.

设AB=x，则AC=2x.

；.X2+(2啦)2=(2X)2.

X2+8=4X2.

.2-8

・,x-3.

••・x=¥.

AC=2AB=^\/^.

03综合题

17•如图，在4ABC中，ZACB=90°>AC=BC，P是△ABC内一点，且PA=3，PB=1，CD=PC=2>CD±CP，

求NBPC的度数.

D

c.

AB

解：连接BD.

VCD1CP，CP=CD=2，

•••△CPD为等腰直角三角形.

/.ZCPD=45°.

VZACP+ZBCP=ZBCP+ZBCD=90°，

，ZACP=ZBCD.

•：CA=CB，

△CA尸丝△CBQ(SAS).

：.DB=PA=3,

在RtACPD中，DP2=CP2+C£>2=22+22=8.

又〈PB=1，DB2=9，

：.DB2=DP2+PB2=S+\=9.

：.ZDPB=900.

・•・ZCPB=ZCPD+ZDPB=45°+90°=135°.

第17章勾股定理专项训练

专训1.巧用勾股定理求最短路径的长

名师点金：

求最短距离的问题，第一种是通过计算比较解最短问题；第二种是平面图形，将分散的条件通过几何变换（平移

或轴对称）进行集中，然后借助勾股定理解决；第三种是立体图形，将立体图形展开为平面图形，在平面图形中将路

程转化为两点间的距离，然后借助直角三角形利用勾股定理求出最短路程（距离）.

用计算法求平面中最短问题

1.如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人从A走到B,为了避免拐角C走“捷径”，在花圃内走出了一条

“路”，他们仅仅少走了步路（假设2步为14，却踩伤了花草.

（第1题）

2.小明听说“武黄城际列车”已经开通，便设计了如下问题：如图，以往从黄石A坐客车到武昌客运站B,现

在可以在黄石A坐“武黄城际列车”到武汉青山站C,再从青山站C坐市内公共汽车到武昌客运站B.设AB=80km,

BC=20km,NABC=120。.请你帮助小明解决以下问题：

（1）求A,C之间的距离.（参考数据如七4.6）

（2）若客车的平均速度是604勿/力，市内的公共汽车的平均速度为40协力!，“武黄城际列车”的平均速度为180

km/h,为了在最短时间内到达武昌客运站，小明应选择哪种乘车方案？请说明理由.（不计候车时间）

（第2题）

用平移法求平面中最短问题

3.如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别是50cm,30cm,10cm,A和B是这个台阶的两个相

对的端点，A点上有一只壁虎，它想到B点去吃可口的食物，请你想一想，这只壁虎从A点出发，沿着台阶面爬到

B点，至少需爬（）

A.13cmB.40cmC.130cmD.169cm

（第4题）

4.如图，己知NB=NC=ND=NE=90°,且AB=CD=3,BC=4,DE=EF=2,则AF的长是.

用对称法求平面中最短问题

5.如图，在正方形ABCD中，AB边上有一点E,AE=3,EB=1,在AC上有一点P,使EP+BP最短，求EP+BP

的最短长度.

(第5题)

6.高速公路的同一侧有A、B两城镇，如图，它们到高速公路所在直线MN的距离分别为AA，=2km,BB'=4km,

=8要在高速公路上A，、B，之间建一个出口P,使A、B两城镇到P的距离之和最小.求这个最短距离.

(第6题)

用展开法求立体图形中最短问题

类型1圆柱中的最短问题

(第7题)

2

7.如图，已知圆柱体底面圆的半径为亍高为2,AB,CD分别是两底面的直径.若一只小虫从A点出发，沿圆

柱侧面爬行到C点，则小虫爬行的最短路线的长度是________(结果保留根号).

类型2圆锥中的最短问题

8.已知：如图，观察图形回答下面的问题：

(1)此图形的名称为.

(2)请你与同伴一起做一个这样的物体，并把它沿AS剪开，铺在桌面上，则它的侧面展开图是一个.

(3)如果点C是SA的中点，在A处有一只蜗牛，在C处恰好有蜗牛想吃的食品，但它又不能直接沿AC爬到C

处，只能沿此立体图形的表面爬行，你能在侧面展开图中画出蜗牛爬行的最短路线吗？

(4)SA的长为10,侧面展开图的圆心角为90。，请你求出蜗牛爬行的最短路程.

s

（第8题）

类型3正方体中的最短问题

9.如图，一个正方体木柜放在墙角处（与墙面和地面均没有缝隙），有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到

柜角a处.

（1）请你在正方体木柜的表面展开图中画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径;

（2）当正方体木柜的棱长为4时，求蚂蚁爬过的最短路径的长.

（第9题）

类型4长方体中的最短问题

10.如图，长方体盒子的长、宽、高分别是12cm,8cm,30cm,在AB的中点C处有一滴蜜糖，一只小虫从

E处沿盒子表面爬到C处去吃，求小虫爬行的最短路程.

（第10题）

专训2.巧用勾股定理解折叠问题

名师点金：

折叠图形的主要特征是折叠前后的两个图形绕着折线翻折能够完全重合，解答折叠问题就是巧用轴对称及全等

的性质解答折叠中的变化规律.利用勾股定理解答折叠问题的一般步骤：（1）运用折叠图形的性质找出相等的线段或

角；（2）在图形中找到一个直角三角形，然后设图形中某一线段的长为x,将此直角三角形的三边长用数或含有x

的代数式表示出来；（3）利用勾股定理列方程求出X；（4）进行相关计算解决问题.

巧用全等法求折叠中线段的长

L（中考・泰安）如图①是一直角三角形纸片，/A=30°,BC=4cm,将其折叠，使点C落在斜边上的点C，处,

折痕为BD,如图②，再将图②沿DE折叠，使点A落在DC，的延长线上的点A，处，如图③，则折痕DE的长为（）

（第1题）

A.,cmB.2#cm

o

C.2.y[2cmD.3cm

巧用对称法求折叠中图形的面积

2.如图所示，将长方形ABCD沿直线BD折叠,使点C落在点处，BL交AD于E,AD=8,AB=4,求4BED

的面积.

（第2题）

巧用方程思想求折叠中线段的长

3.如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将AADE沿AE对折至AAFE,延长EF交BC于点G,

连接AG.

（1）求证：△ABGg^AFG；

⑵求BG的长.

（第3题）

巧用折叠探究线段之间的数量关系

4.如图，将长方形ABCD沿直线EF折叠，使点C与点A重合，折痕交AD于点E,交BC于点F,连接CE.

(1)求证：AE=AF=CE=