新人教A版高中数学必修一并集与交集学案

1．1.3集合的基本运算第1课时并集与交集[学习目标]1.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集.2.能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.3.能够利用交集、并集的性质解决有关问题．[知识链接]下列说法中，不正确的有________：①集合A＝{1,2,3}，集合B＝{3,4,5}，由集合A和集合B的所有元素组成的新集合为{1,2,3,3,4,5}；②集合A＝{5,6,8}，集合B＝{5,7,8}，由集合A和集合B的所有元素组成的新集合为{5,6,7,8}；③集合A＝{1,2,3}，集合B＝{3,4,5}，由集合A和集合B的公共元素组成的集合为{3}．答案①[预习导引]1．并集和交集的概念及其表示类别概念自然语言符号语言图形语言并集由所有属于集合A或者属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A∪B(读作“A并B”)A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}交集由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B(读作“A交B”)A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}2.并集与交集的运算性质并集的运算性质交集的运算性质A∪B＝B∪AA∩B＝B∩AA∪A＝AA∩A＝AA∪∅＝AA∩∅＝∅A⊆B⇔A∪B＝BA⊆B⇔A∩B＝A解决学生疑难点要点一集合并集的简单运算例1(1)设集合M＝{4,5,6,8}，集合N＝{3,5,7,8}，那么M∪N等于()A．{3,4,5,6,7,8}B．{5,8}C．{3,5,7,8}D．{4,5,6,8}(2)已知集合P＝{x|x＜3}，Q＝{x|－1≤x≤4}，那么P∪Q等于()A．{x|－1≤x＜3}B．{x|－1≤x≤4}C．{x|x≤4}D．{x|x≥－1}答案(1)A(2)C解析(1)由定义知M∪N＝{3,4,5,6,7,8}．(2)在数轴上表示两个集合，如图．规律方法解决此类问题首先应看清集合中元素的范围，简化集合，若是用列举法表示的数集，可以根据并集的定义直接观察或用Venn图表示出集合运算的结果；若是用描述法表示的数集，可借助数轴分析写出结果，此时要注意当端点不在集合中时，应用“空心点”表示．跟踪演练1(1)已知集合A＝{x|(x－1)(x＋2)＝0}；B＝{x|(x＋2)(x－3)＝0}，则集合A∪B是()A．{－1,2,3}B．{－1，－2,3}C．{1，－2,3}D．{1，－2，－3}(2)若集合M＝{x|－3＜x≤5}，N＝{x|x＜－5，或x＞5}，则M∪N＝________.答案(1)C(2){x|x＜－5，或x＞－3}解析(1)∵A＝{1，－2}，B＝{－2,3}，∴A∪B＝{1，－2,3}．(2)将－3＜x≤5，x＜－5或x＞5在数轴上表示出来．则M∪N＝{x|x＜－5，或x＞－3}．要点二集合交集的简单运算例2(1)已知集合A＝{0,2,4,6}，B＝{2,4,8,16}，则A∩B等于()A．{2}B．{4}C．{0,2,4,6,8,16}D．{2,4}(2)设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，则A∩B等于()A．{x|0≤x≤2}B．{x|1≤x≤2}C．{x|0≤x≤4}D．{x|1≤x≤4}答案(1)D(2)A解析(1)观察集合A，B，可得集合A，B的全部公共元素是2,4，所以A∩B＝{2,4}．(2)在数轴上表示出集合A与B，如下图．则由交集的定义可得A∩B＝{x|0≤x≤2}．规律方法求交集就是求两集合的所有公共元素组成的集合，和求并集的解决方法类似．跟踪演练2已知集合A＝{x|－1＜x≤3}，B＝{x|x≤0，或x≥eq\f(5,2)}，求A∩B，A∪B.解∵A＝{x|－1＜x≤3}，B＝{x|x≤0，或x≥eq\f(5,2)}，把集合A与B表示在数轴上，如图．∴A∩B＝{x|－1＜x≤3}∩{x|x≤0，或x≥eq\f(5,2)}＝{x|－1＜x≤0，或eq\f(5,2)≤x≤3}；A∪B＝{x|－1＜x≤3}∪{x|x≤0或x≥eq\f(5,2)}＝R.要点三已知集合交集、并集求参数例3已知A＝{x|2a≤x≤a＋3}，B＝{x|x＜－1，或x＞5}，若A∩B＝∅，求实数a解由A∩B＝∅，(1)若A＝∅，有2a＞a＋3，∴a(2)若A≠∅，如下图：∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a≥－1，,a＋3≤5，,2a≤a＋3，))解得－eq\f(1,2)≤a≤2.综上所述，a的取值范围是{a|－eq\f(1,2)≤a≤2，或a＞3}．规律方法1.与不等式有关的集合的运算，利用数轴分析法直观清晰，易于理解．若出现参数应注意分类讨论，最后要归纳总结．2．建立不等式时，要特别注意端点值是否能取到，分类的标准取决于已知集合，最好是把端点值代入题目验证．跟踪演练3设集合A＝{x|－1＜x＜a}，B＝{x|1＜x＜3}且A∪B＝{x|－1＜x＜3}，求a的取值范围．解如下图所示，由A∪B＝{x|－1＜x＜3}知，1＜a≤3.1．若集合A＝{0,1,2,3}，B＝{1,2,4}，则集合A∪B等于()A．{0,1,2,3,4}B．{1,2,3,4}C．{1,2}D．{0}答案A解析集合A有4个元素，集合B有3个元素，它们都含有元素1和2，因此，A∪B共含有5个元素．故选A.2．设A＝{x∈N|1≤x≤10}，B＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，则如图中阴影部分表示的集合为()A．{2}B．{3}C．{－3,2}D．{－2,3}答案A解析注意到集合A中的元素为自然数，因此易知A＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，而直接解集合B中的方程可知B＝{－3,2}，因此阴影部分显然表示的是A∩B＝{2}．3．集合P＝{x∈Z|0≤x＜3}，M＝{x∈R|x2≤9}，则P∩M等于()A．{1,2}B．{0,1,2}C．{x|0≤x＜3}D．{x|0≤x≤3}答案B解析由已知得P＝{0,1,2}，M＝{x|－3≤x≤3}，故P∩M＝{0,1,2}．4．已知集合A＝{x|x＞2，或x＜0}，B＝{x|－eq\r(5)＜x＜eq\r(5)}，则()A．A∩B＝∅B．A∪B＝RC．B⊆AD．A⊆B答案B解析∵A＝{x|x＞2，或x＜0}，B＝{x|－eq\r(5)＜x＜eq\r(5)}，∴A∩B＝{x|－eq\r(5)＜x＜0，或2＜x＜eq\r(5)}，A∪B＝R.故选B.5．设集合M＝{x|－3≤x＜7}，N＝{x|2x＋k≤0}，若M∩N≠∅，则实数k的取值范围为________．答案k≤6解析因为N＝{x|2x＋k≤0}＝{x|x≤－eq\f(k,2)}，且M∩N≠∅，所以－eq\f(k,2)≥－3⇒k≤6.1.对并集、交集概念的理解(1)对于并集，要注意其中“或”的意义，“或”与通常所说的“非此即彼”有原则性的区别，它们是“相容”的．“x∈A，或x∈B”这一条件，包括下列三种情况：x∈A但x∉B；x∈B但x∉A；x∈A且x∈B.因此，A∪B是由所有至少属于A、B两者之一的元素组成的集合．(2)A∩B中的元素是“所有”属于集合A且属于集合B的元素，而不是部分，特别地，当集合A和集合B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是A∩B＝∅.2．集合的交、并运算中的注意事项(1)对于元素个数有限的集合，可直接根据集合的“交”、“并”定义求解，但要注意集合元素的互异性．(2)对于元素个数无限的集合，进行交、并运算时，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点值能否取到．一、基础达标1．已知集合A＝{x|x≥0}，B＝{x|－1≤x≤2}，则A∪B等于()A．{x|x≥－1}B．{x|x≤2}C．{x|0＜x≤2}D．{x|1≤x≤2}答案A解析结合数轴得A∪B＝{x|x≥－1}．2．已知集合M＝{x|(x－1)2＜4，x∈R}，N＝{－1,0,1,2,3}，则M∩N等于()A．{0,1,2}B．{－1,0,1,2}C．{－1,0,2,3}D．{0,1,2,3}答案A解析集合M＝{x|－1＜x＜3，x∈R}，N＝{－1,0,1,2,3}，则M∩N＝{0,1,2}，故选A.3．设集合M＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}，N＝{x|x2－2x＝0，x∈R}，则M∪N等于()A．{0}B．{0,2}C．{－2.0}D．{－2,0,2}答案D解析集合M＝{0，－2}，N＝{0,2}，故M∪N＝{－2,0,2}，选D.4．设集合M＝{x|－3＜x＜2}，N＝{x|1≤x≤3}，则M∩N等于()A．{x|1≤x＜2}B．{x|1≤x≤2}C．{x|2＜x≤3}D．{x|2≤x≤3}答案A解析∵M＝{x|－3＜x＜2}且N＝{x|1≤x≤3}，∴M∩N＝{x|1≤x＜2}．5．设A＝{x|－3≤x≤3}，B＝{y|y＝－x2＋t}．若A∩B＝∅，则实数t的取值范围是()A．t＜－3B．t≤－3C．t＞3D．t≥3答案A解析B＝{y|y≤t}，结合数轴可知t＜－3.6．若集合A＝{x|x≤2}，B＝{x|x≥a}，满足A∩B＝{2}，则实数a＝________.答案2解析∵A∩B＝{x|a≤x≤2}＝{2}，∴a＝2.7．已知集合A＝{x|－1≤x＜3}，B＝{x|2x－4≥x－2}．(1)求A∩B；(2)若集合C＝{x|2x＋a＞0}，满足B∪C＝C，求实数a的取值范围．解(1)∵B＝{x|x≥2}，∴A∩B＝{x|2≤x＜3}．(2)∵C＝{x|x＞－eq\f(a,2)}，B∪C＝C⇔B⊆C，∴－eq\f(a,2)<2，∴a＞－4.二、能力提升8．集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0,1,2,4,16}，则a的值为()A．0B．1C．2D．4答案D解析∵A∪B＝{0,1,2，a，a2}，又A∪B＝{0,1,2,4,16}，∴{a，a2}＝{4,16}，∴a＝4.9已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1＜x＜2m－1}，且B≠∅，若A∪B＝AA．－3≤m≤4B．－3＜m＜4C．2＜m＜4D．2＜m≤4答案D解析∵A∪B＝A，∴B⊆A.又B≠∅，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋1≥－2，,2m－1≤7，,m＋1＜2m－1，))即2＜m≤4.10．设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|－1＜x≤4}，C＝{x|－3＜x＜2}且集合A∩(B∪C)＝{x|a≤x≤b}，则a＝________，b＝________.答案－12解析∵B∪C＝{x|－3＜x≤4}，∴A(B∪C)．∴A∩(B∪C)＝A，由题意{x|a≤x≤b}＝{x|－1≤x≤2}．∴a＝－1，b＝2.11．已知A＝{x|－2≤x≤4}，B＝{x|x＞a}．(1)若A∩B≠A，求实数a的取值范围；(2)若A∩B≠∅，且A∩B≠A，求实数a的取值范围．解(1)如图可得，在数轴上实数a在－2的右边，可得a≥－2；(2)由于A∩B≠∅，且A∩B≠A，所以在数轴上，实数a在－2的右边且在4的左边，可得－2≤a＜4.三、探究与创新12．已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若A∪B＝A，求实数a解∵A∪B＝A，∴B⊆A.若B＝∅时，2a＞a＋3，即a若B≠∅时，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a≥－2，,a＋3≤5，,2a≤a＋3，))解得－1≤a≤2，综上所述，a的取值范围是{a|－1≤a≤2，或a＞3}．13．已知集合A＝{x|2a＋1≤x≤3a－5}，B＝{x|x＜－1，或x＞16}，分别根据下列条件求实数(1)A∩B＝∅；(2)A⊆(A∩B)．解(1)若A＝∅，则A∩B＝∅成立．此时2a＋1＞3即a＜6.若A≠∅，如图所示，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a＋1≤3a－5，,2a＋1≥－1，,3a－5≤16，))解得6≤a≤7.综上，满足条件A∩B＝∅的实数a的取值范围是{a|a≤7}．(2)因为A⊆(A∩B)，且(A∩B)⊆A，所以A∩B＝A，即A⊆B.显然A＝∅满足条件，此时a＜6.若A≠∅，如图所示，则