椭圆及其标准方程高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

泰戈尔曾说过：世界是运动的，这是一个完完全全的事实。那么这些行星的运动轨迹是什么曲线呢？1.1椭圆及其标准方程高中数学北师大版选修性必修第一册第二章这些截面都是“椭圆形状”，那么具有怎样特点的曲线是椭圆呢？生活中的椭圆在我们实际生活中，同学们还见过那些椭圆形状吗？能举出一些实例吗？一、情境、视频导入视频导入【数学实验一】(1)取一条没有弹性的细绳，(2)把它的两端固定在板上的同一点；(3)用铅笔尖（A）把细绳拉紧，在板上慢慢移动看看画出的图形【思考？】1.在圆形成的过程中，细绳的两端的位置是固定的还是运动的？

固定的2.在画圆的过程中，绳子的长度变了没有？说明了什么？·rOA绳长固定不变，点A到定点O的距离是个定值复习圆的定义新课探究二、新课探究【数学实验二】(1)取一条没有弹性的细绳，(2)把它的两端固定在板上的两点F1、F2；(3)用铅笔尖（O）把细绳拉紧，在板上慢慢移动看看画出的图形【思考？】1.在椭圆形成的过程中，细绳的两端的位置是固定的还是运动的？

固定的2.在画椭圆的过程中，绳子的长度变了没有？说明了什么？3.在画椭圆的过程中，绳子长度与两定点间的距离大小有怎样的关系？点0到定点F1、F2的距离之和大于两定点间的距离。绳长固定不变，点0到定点F1、F2的距离是个定值

1.

绳长与两定点间的距离相等，画出的图形是什么吗？2．绳长小于两定点间的距离呢？

轨迹是线段轨迹不存在思考

注意:

（1）必须在平面内;

（2）两个定点——两点间距离确定;

（3）常数——轨迹上任意点到两定点距离和确定;

（4）常数要大于焦距.1、椭圆定义：平面内与两个定点

的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距

．数学语言：轨迹不存在轨迹是线段应用举例1.用定义判断下列动点M的轨迹是否为椭圆。(1)到F1(-2,0)、F2(2,0)的距离之和为6的点的轨迹。(2)到F1(0,-2)、F2(0,2)的距离之和为4的点的轨迹。(3)到F1(-2,0)、F2(2,0)的距离之和为3的点的轨迹。解

(1)因|MF1|+|MF2|=6>|F1F2|=4，故点M的轨迹为椭圆。(2)因|MF1|+|MF2|=4=|F1F2|=4，故点M的轨迹不是椭圆(是线段F1F2)。(3)因|MF1|+|MF2|=4>|F1F2|=3，故点M的轨迹不成图形。♦探讨建立平面直角坐标系的方案OxyOxyOxyMF1F2方案一F1F2方案二OxyMOxy原则：一般利用对称性或已有的互相垂直的线段所在的直线作为坐标轴.(对称、简洁)2.探究如何推导椭圆的标准方程回忆圆标准方程推导步骤♦探讨如何在平面直角坐标系设点

根据椭圆的对称性：

设椭圆的焦距F1F2的长为2c（c>0），

椭圆的两焦点坐标分别为

F1(-c,0)和

F2(c,0).化简列式设点建系F1F2xy

以F1、F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴建立直角坐标系．P(x,

y)设P(x，y)是椭圆上任意一点设F1F=2c，则有F1(-c，0)、F2(c，0)F1F2xyP(x,

y)

椭圆上的点满足PF1+PF2为定值，设为2a，则2a>2c则：设得即：OxyOF1F2Pb2x2+a2y2=a2b2

椭圆标准方程的推导过程它表示：①椭圆的焦点在x轴②焦点坐标为F1（-c，0）、F2（c，0）③

c2=a2-b2椭圆的标准方程⑴F1F2Moxy思考：当椭圆的焦点在y轴上时,它的标准方程是怎样的呢?椭圆的标准方程⑵它表示:①

椭圆的焦点在y轴②焦点是F1（0，-c）、F2（0，c）③

c2=a2-b2

xMF1F2yO

图形标准方程焦点F(±c，0)F(0，±c)a,b,c之间的关系c2=a2-b2|MF1|+|MF2|=2a(2a>2c>0)定义12yoFFMx1oFyx2FM注:共同点：椭圆的标准方程表示的一定是焦点在坐标轴上,中心在坐标原点的椭圆；方程的左边是平方和,

右边是1.不同点：焦点在x轴的椭圆项分母较大.

焦点在y轴的椭圆项分母较大.椭圆及其标准方程标准方程中，分母哪个大，焦点就在哪个轴上【例1】下列方程是否表示椭圆？若是,则判定其焦点在何轴?并指明，写出焦点坐标.三、学以致用已知椭圆的方程为：，则a=

,b=_____，c=_____，焦点坐标为：

,焦距等于______;若C点到F1的距离为4，则C点到F2的距离为

;若CD为过左焦点F1的弦,则△F2CD的周长为________.543(3,0)、(-3,0)620F1F2CDxyO6【例2】填空【例3】.求适合下列条件的椭圆的标准方程。

已知两个焦点的坐标分别是(-4,0)、(4,0)，椭圆上一点P到两焦距离的和等于10？

解：因为椭圆的焦点在x轴上，

∴所求的椭圆的标准方程为所以设它的标准方程为变题一:若将例3焦点改为(0，-4)、(0，4)结果如何？变题二：若将例3改为两个焦点的距离为8，椭圆上一点P到两焦点的距离和等于10，结果会怎样？椭圆标准方程的求法：一定焦点位置；二设椭圆方程；三求a、b的值.你能分析圆折椭圆的原理么？椭圆上的任意一点到、的距离之和是定值。满足椭圆的定义

你能分析为什么这些截面是椭圆呢？3.椭圆标准方程的求法：一定焦点位置；二设椭圆方程；三求a、b的值.1.今天我们学习了什么内容？2.我们是通过什么样的数学方法开展学习的？通过类比的思想画椭圆椭圆的定义

椭圆的标准方程画圆圆的标准方程的推导方法圆的定义四、课堂小结【练习】五、布置作业3.写出适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）,焦点在x轴