山东省济南市师范大学附属中学2025届数学高一下期末学业质量监测试题含解析

山东省济南市师范大学附属中学2025届数学高一下期末学业质量监测试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．数列的一个通项公式为（）A． B．C． D．2．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名学生参加演讲比赛，那么下列互斥但不对立的两个事件是（）A．“至少1名男生”与“全是女生”B．“至少1名男生”与“至少有1名是女生”C．“至少1名男生”与“全是男生”D．“恰好有1名男生”与“恰好2名女生”3．已知向量，的夹角为，且，，则与的夹角等于A． B． C． D．4．将函数的图象沿轴向左平移个单位，得到一个偶函数的图象，则的一个可能取值为（）A． B． C． D．5．如图是一名篮球运动员在最近6场比赛中所得分数的茎叶图，则下列关于该运动员所得分数的说法错误的是（）A．中位数为14 B．众数为13 C．平均数为15 D．方差为196．设等比数列的前项和为，若，，则（）A．14 B．18 C．36 D．607．已知等差数列{an},若a2=10,a5=1,则{an}的前7项和为A．112 B．51 C．28 D．188．数列{an}的通项公式是an＝(n＋2)，那么在此数列中()A．a7＝a8最大 B．a8＝a9最大C．有唯一项a8最大 D．有唯一项a7最大9．已知向量，若，则（）A．1 B． C．2 D．310．已知中，，，，则BC边上的中线AM的长度为（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．下图是2016年在巴西举行的奥运会上，七位评委为某体操运动员的单项比赛打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的方差为__________．12．设函数满足，当时，，则=________.13．已知一个扇形的周长为4，则扇形面积的最大值为______.14．已知点，点，则________．15．从甲、乙、丙等5名候选学生中选2名作为青年志愿者，则甲、乙、丙中有2个被选中的概率为________．16．一条河的两岸平行，河的宽度为560m，一艘船从一岸出发到河对岸，已知船的静水速度，水流速度，则行驶航程最短时，所用时间是__________（精确到）．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，面积为S，已知（Ⅰ）求证：成等差数列；（Ⅱ）若求.18．高考改革是教育体制改革中的重点领域和关键环节，全社会极其关注.近年来，在新高考改革中，打破文理分科的“”模式初露端倪.其中“”指必考科目语文、数学、外语，“”指考生根据本人兴趣特长和拟报考学校及专业的要求，从物理、化学、生物、历史、政治、地理六科中选择门作为选考科目，其中语、数、外三门课各占分，选考科目成绩采用“赋分制”，即原始分数不直接用，而是按照学生分数在本科目考试的排名来划分等级并以此打分得到最后得分.假定省规定：选考科目按考生成绩从高到低排列，按照占总体的，以此赋分分、分、分、分.为了让学生们体验“赋分制”计算成绩的方法，省某高中高一（）班（共人）举行了以此摸底考试（选考科目全考，单科全班排名，每名学生选三科计算成绩），已知这次摸底考试中的物理成绩（满分分）频率分布直方图，化学成绩（满分分）茎叶图如下图所示，小明同学在这次考试中物理分，化学多分.（1）求小明物理成绩的最后得分；（2）若小明的化学成绩最后得分为分，求小明的原始成绩的可能值；（3）若小明必选物理，其他两科在剩下的五科中任选，求小明此次考试选考科目包括化学的概率.19．已知数列为等比数列，，公比，且成等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）设，，求使的的取值范围.20．已知点，，动点满足，记M的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）过坐标原点O的直线l交C于P、Q两点，点P在第一象限，轴，垂足为H．连结QH并延长交C于点R．（i）设O到直线QH的距离为d．求d的取值范围;（ii）求面积的最大值及此时直线l的方程．21．如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，，，分别是，的中点.(1)求证:平面平面；(2)求证:平面.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解析】

利用特殊值,将代入四个选项即可排除错误选项.【详解】将代入四个选项,可得A中B中D中只有C中所以排除ABD选项故选：C【点睛】本题考查了根据几个项选择数列的通项公式,特殊值法是解决此类问题的简单方法,属于基础题.2、D【解析】

从3名男生和2名女生中任选2名学生的所有结果有“2名男生”、“2名女生”、“1名男生和1名女生”．选项A中的两个事件为对立事件，故不正确；选项B中的两个事件不是互斥事件，故不正确；选项C中的两个事件不是互斥事件，故不正确；选项D中的两个事件为互斥但不对立事件，故正确．选D．3、C【解析】

根据条件即可求出，从而可求出，，，然后可设与的夹角为，从而可求出，根据向量夹角的范围即可求出夹角．【详解】，；，，；设与的夹角为，则；又，，故选．【点睛】本题主要考查向量数量积的定义运用，向量的模的求法，以及利用数量积求向量夹角．4、B【解析】

利用函数y＝Asin（ωx+）的图象变换可得函数平移后的解析式，利用其为偶函数即可求得答案．【详解】令y＝f（x）＝sin（2x+），则f（x）＝sin[2（x）+]＝sin（2x），∵f（x）为偶函数，∴＝kπ，∴＝kπ，k∈Z，∴当k＝0时，．故的一个可能的值为．故选：B．【点睛】本题考查函数y＝Asin（ωx+）的图象变换，考查三角函数的奇偶性的应用，属于中档题．5、D【解析】从题设中所提供的茎叶图可知六个数分别是，所以其中位数是，众数是，平均数，方差是，应选答案D．6、A【解析】

由已知结合等比数列的求和公式可求，，q2，然后整体代入到求和公式即可求．【详解】∵等比数列{an}中，S2＝2，S4＝6，∴q≠1，则，联立可得，2，q2＝2，S62×（1﹣23）＝1．故选：A．【点睛】本题主要考查了等比数列的求和公式的简单应用，考查了整体代入的运算技巧，属于基础题．7、C【解析】

根据等差数列的通项公式和已知条件列出关于数列的首项和公差的方程组，解出数列的首项和公差，再根据等差数列的前项和可得解.【详解】由等差数列的通项公式结合题意有:，解得：，则数列的前7项和为:，故选：C.【点睛】本题考查等差数列的通项公式和前项公式，属于基础题.8、A【解析】，所以，令，解得n≤7，即n≤7时递增，n＞7递减，所以a1＜a2＜a3＜…＜a7＝a8＞a9＞….所以a7＝a8最大．本题选择A选项.9、B【解析】

可求出，根据即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出x．【详解】；∵；∴；解得．故选B.【点睛】本题考查向量垂直的充要条件，向量坐标的减法和数量积运算，属于基础题．10、A【解析】

利用平行四边形对角线的平方和等于四条边的平方和，求的长．【详解】延长至，使，连接、，如图所示；由题意知四边形是平行四边形，且满足，即，解得，所以边上的中线的长度为．故选：A．【点睛】本题考查平行四边形对角线的平方和等于四条边的平方和应用问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】由平均数公式可得，故所求数据的方差是，应填答案。12、【解析】

由已知得f（）=f（）+sin=f（）+sin+sin=f（）+sin+sin+sin，由此能求出结果．【详解】∵函数f（x）（x∈R）满足f（x+π）=f（x）+sinx，当0≤x＜π时，f（x）=0，∴f（）=f（）+sin=f（）+sin+sin=f（）+sin+sin+sin=0+=．故答案为：．【点睛】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．13、1【解析】

表示出扇形的面积，利用二次函数的单调性即可得出.【详解】设扇形的半径为，圆心角为，则弧长，，即，该扇形的面积，当且仅当时取等号.该扇形的面积的最大值为.故答案：.【点睛】本题考查了弧长公式与扇形的面积计算公式、二次函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题.14、【解析】

直接利用两点间的距离公式求解即可．【详解】点A（2，1），B（5，﹣1），则|AB|．故答案为：．【点睛】本题考查两点间的距离公式的应用，基本知识的考查．15、【解析】因为从5名候选学生中任选2名学生的方法共有10种，而甲、乙、丙中有2个被选中的方法有3种，所以甲、乙、丙中有2个被选中的概率为.16、6【解析】

先确定船的方向，再求出船的速度和时间.【详解】因为行程最短，所以船应该朝上游的方向行驶，所以船的速度为km/h,所以所用时间是.故答案为6【点睛】本题主要考查平面向量的应用，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）4.【解析】试题分析：(1)在三角形中处理边角关系时，一般全部转化为角的关系，或全部转化为边的关系.题中若出现边的一次式一般采用正弦定理，出现边的二次式一般采用余弦定理，应用正弦、余弦定理时，注意公式变形的应用，解决三角形问题时，注意角的限制范围;(2)在三角兴中，注意隐含条件（3）解决三角形问题时，根据边角关系灵活的选用定理和公式.（4）在解决三角形的问题中，面积公式最常用，因为公式中既有边又有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来.试题解析：（Ⅰ）由正弦定理得：即2分∴即4分∵∴即∴成等差数列.6分（Ⅱ）∵∴8分又10分由（Ⅰ）得：∴12分考点：三角函数与解三角形.18、(1)70分(2)(3)【解析】

（1）先求出此次考试物理成绩落在内的频率，再由小明的物理成绩即可得出结果；（2）根据选考科目按考生成绩从高到低排列，按照占总体的，以此赋分分、60分、50分、40分，结合茎叶图中数据，即可得出结果；（3）先记物理、化学、生物、历史、地理、政治依次为，用列举法列举出小明的所有可能选法，再列举出小明此次考试选考科目包括化学的选法，基本事件的个数之比就是所求概率.【详解】解：（1），此次考试物理成绩落在内的频率依次为，概率之和为小明的物理成绩为分，大于分.小明物理成绩的最后得分为分.（2）因为40名学生中，赋分分的有人，这六人成绩分别为89,91,92,93,93,96；赋分分的有人,其中包含80多分的共10人，70多分的有4人，分数分别为；因为小明的化学成绩最后得分为分，且小明化学多分，所以小明的原始成绩的可能值为；（3）记物理、化学、生物、历史、地理、政治依次为，小明的所有可能选法有：共种，其中包括化学的有共种，若小明必选物理，其他两科在剩下的五科中任选，所选科目包括化学的概率为.【点睛】本题主要考查频率分布直方图与茎叶图，以及古典概型，熟记古典概型的概率计算公式即可求解，属于常考题型.19、(1)；(2)【解析】

（1）利用等差中项的性质列方程，并转化为的形式，由此求得的值，进而求得数列的通项公式.（2）先求得的表达式，利用裂项求和法求得，解不等式求得的取值范围.【详解】解：（1）∵成等差数列，得，∵等比数列，且，∴解得或又，∴，∴（2）∵，∴∴故由，得.【点睛】本小题主要考查等差中项的性质，考查等比数列基本量的计算，考查裂项求和法，考查不等式的解法，属于中档题.20、(1)；(2)（i）（ii）面积最大值为，直线的方程为.【解析】

（1）根据题意列出方程求解即可（2）联立直线与圆的方程，得出P、Q、H三点坐标，表示出QH直线方程，采用点到直线距离公式求解；利用圆的几何关系，表示出三角形的底和高，再结合函数最值问题进行求解【详解】（1）由及两点距离公式，有，化简整理得，．所以曲线C的方程为；（2）（i）设直线l的方程为；将直线l的方程与圆C的方程联立，消去y，得（，解得因此，，，所以直线QH的方程为．到直线QH的距离，当时．，所以，（ii）过O作于D，则D为QR中点，且由（i）知，，，又由，故的面积，由，有，所以，当且仅当时，等号成立，且此时由（i）有，即.综上，的面积最大值为的面积最大值为，且当面积最大时直线的方程为.【点睛】直线与圆的综合类题型常采用点到直线距离公式、圆内构造的直角三角形，将代数问题与几何问题进行有效结合，