专题训练10 函数的零点个数问题 - 2022届高考数学一轮复习 (新高考)

专题训练10函数的零点个数问题一、解答题1．已知函数(其中，是自然对数的底数).（1）若在点处的切线方程为，求；（2）若，函数恰好有两个零点，求实数的取值范围.2．已知函数，曲线在点处的切线方程为．（1）求实数的值，并证明：对，恒成立．（2）设函数，试判断函数在上零点的个数，并说明理由．3．设函数，．（1）证明：；（2）设函数，若有两个零点，求的取值范围．4．已知函数（a∈R）．（1）若函数f(x)的极小值为一ln2，求a的值；（2）当a=2时，求函数g(x)=f(x)+ln2在上的零点个数．5．已知函数.（1）当时，求在上的单调区间；（2）当时，讨论在上的零点个数.6．已知函数.（1）讨论函数的极值；（2）若，证明：函数有且仅有两个零点，，且.7．已知函数，．（1）求的单调区间；（2）证明：时，；（3）设在内有不相等的两个零点，求的取值范围．8．已知函数.（1）当时，求函数的单调区间；（2）当时，讨论函数零点的个数.9．已知函数．（1）若在R上是减函数，求m的取值范围；（2）如果有一个极小值点和一个极大值点，求证有三个零点．10．已知函数f(x)=﹣(x+1)ln(x+1).（1）证明：(0，+∞)上，f(x)有唯一的极小值点x0，且2<x0<3；（2）讨论函数f(x)零点个数.11．已知函数，且.（1）求实数的值，并判断在上的单调性；.（2）对确定的，求在上的零点个数.12．已知，其中为实数．（1）若在上单调递增，求的取值范围；（2）当时，判断函数在上零点的个数，并给出证明．参考答案1．（1）；（2）.【解析】（1），由题意可知，解得（2），问题等价于的图象和直线恰好有2个交点，求的取值范围.令，则.令，则，所以在上单调递减.又，当时，，，所以在上单调递增.当时，，，所以在上单调递减，所以的极大值即最大值为当时，；当时，当时，的图象和直线恰好有2个交点，所以当时，函数恰好有两个零点2．（1）；证明见解析；（2）只有一个零点；答案见解析．【解析】解：（1）根据题意，曲线在点处的切线方程为此时若要证明，对，恒成立，需证明故需证明，则令，；；函数在上单调递减；在上单调递增；故有当，，即对，恒成立恒成立．（2）根据题意可得，在同一个直角坐标系中作出函数和的图象如下：假设当时，函数和的相交，时，单调递增；时，单调递减；即得又综上可得，函数在上无零点，在上只有一个零点即函数在上只有一个零点．3．（1）证明见解析；（2）．【解析】解：（1）证明：，令，可得，所以在上，，单调递减，在上，，单调递增，所以，所以．（2）由（1）得，当时，，因为，所以，若有两个零点，令是的根，则，所以，由①得，代入②得，所以，所以，所以，综上所述，，所以的取值范围为．4．（1）；（2）2．【解析】（1），时，，单调递增，无极小值．时，时，，递减，时，，递增，所以极小值为，，，；（2）由题意，，设，则，时，恒成立，所以是增函数，即是增函数，，，所以存在唯一零点，，时，，递减，时，，递增，因为，所以，在上有唯一零点，而，因此在上有唯一零点，所以共有两个零点．5．（1）的单调增区间为，；单调减区间为，；（2）当时，有1个零点；当时，没有零点.【解析】（1）当时，，..当在区间上变化时，，的变化如下表0+0-0+0-增极大值减极小值1增极大值减∴的单调增区间为，；的单调减区间为，.（2），.当时，在上恒成立，∴时，，在上单调递增.又∵，∴在上没有零点；当时，令，得.由可知存在唯一使得.∴当时，，单调递增；当时，，单调递减.∵，，.①当，即时，在上没有零点.②当，即时，在上有1个零点.综上，当时，有1个零点；当时，没有零点.6．（1）当时，无极值；当时，极大值为，无极小值；（2）证明见解析.【解析】（1）由题意，函数的定义域为，且，若，则当时，，故函数在上单调递增，函数无极值；若，当时，；当，，故函数在上单调递增，在上单调递减，所以函数有极大值，无极小值.综上，当时，函数无极值；当时，函数有极大值为，无极小值.（2）因为，可得.因为在上单调递增，在上单调递减，所以在上单调递增.又由，，故存在唯一使得，所以函数在上单调递减，在上单调递增，又因为，，所以在内存在唯一实根.由，可得，又由，故是在上的唯一零点，记作，则，综上，函数有且仅有两个零点，，且.7．（1）的单调递增区间为，，无单调递减区间；（2）证明见解析；（3），．【解析】（1）函数的定义域为，，令，，令，可得，令，可得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，所以的单调递增区间为，，无单调递减区间．（2）证明：，因为，所以，所以要证，只需证，令，则，所以，因为，，所以，即，令，则，令，则，因为，所以，所以在上单调递减，所以，所以，所以在上单调递减，因为，所以，所以，即，所以，所以．（3），令，得，即，所以在，内有两个零点，令，，，则与在，内有两个交点，，因为，，令，即，所以，单调递增，令，即，所以，单调递减，所以当时，，当时，，当时，，又因为与有两个交点，则当时，有两个交点，当或时，有1个交点，所以的取值范围为，．8．（1）在上单调递减；在上单调递增；（2）2个.【解析】（1）当时，()，则，设，则，当时，，所以，所以在上单调递减；当时，，所以，所以在上单调递增，所以，所以在上单调递增，综上可得，在上单调递减；在上单调递增.（2）由函数()，当时，，所以0是的一个零点，又由，设，可得，因为，①当时，，在单调递增，则，在单调递增，，所以在无零点.②时，，则，所以在无零点.③当时，，，在单调递增，又，，所以存在唯一实数，使得，当时，，在单调递减，当时，，在单调递增，又，，所以在有唯一零点，所以在有一个零点，综上，当时，函数有2个零点.9．（1）；（2）证明见解析.【解析】解：（1）由，得，在R上是减函数，则恒成立.设，则．当时，，单调递减；当时，，单调递增．于是．由题意，所以，故m的取值范围是．（2）设，则．当时，，单调递减；当时，，单调递增．若，则，则在定义域内单调递减，所以不满足条件，故所以又∵，，设，则所以在上单调递减，所以当时，所以∴，使∴，即，单调递减，即，单调递增．，即，单调递减，∵，∴又∵，设，则，所以由，得，，得所以在上单调递减，在上单调递增，则所以在上单调递增，则即，成立所以∴由零点存在定理，得在和各有一个零点，又，结合函数的单调性可知有三个零点．10．（1）证明见解析；（2）f(x)零点个数为2.【解析】（1）证明：令h(x)=f′(x)=x﹣1﹣ln(x+1)，则h′(x)=1﹣=，当x>0时，h′(x)>0，h(x)单调递增，而h（2）=1﹣ln3<0，h（3）=2﹣ln4>0，所以在(0，+∞)上，f(x)有唯一的极小值点x0，且2<x0<3.（2）在(﹣1，0)上，h′(x)=<0，f′(x)为减函数，且f′(﹣1)=>0，f′(0)=﹣1<0，所以存在x1∈(﹣1，0)，f′(x1)=0，所以在(﹣1，x1)上，f′(x)>0，在(x1，0)上，f′(x)<0，在(0，+∞)上，h′(x)>0，f′(x)为增函数，由（1）知，存在x2=x0∈(0，+∞)上，f′(x2)=0，所以在(0，x2)上，f′(x)<0，在(x2，+∞)上，f′(x)>0，所以(﹣1，x1)上，f(x)>0，f(x)无零点，在(x1，x2)上，f′(x)<0，f(x)为减函数，又0∈(x1，x2)且f(0)=0，所以f(x)只有一个零点为0，在(x2，+∞)上，f(x)为增函数，f(x2)<f(0)=0，所以f(e2﹣1)=﹣2e2=>0，所以在(x2，+∞)上，f(x)仅有一个零点，综上所述，f(x)零点个数为2.11．（1）1，单调递增；（2）1个.【解析】（1）的定义域为..所以.由题意，，即.于是，.因为函数在上单调递减，在上单调递减，所以，，在上单调递减.又，所以当时，.所以在上单调递增.（2），.因为在上单调递增，在上单调递增，所以在上单调递增.又，，由零点存在定理及的单调性，知存在唯一的，使得.从而，当时，，单调递减；当时，，单调递增.，在上的最小值，.由零点存在定理及的单调性，知存在唯一的，使得.从而，当时，，单调递减；当时，，单调递增.，，在上的最小值.由零点存在定理及的单调性，知在上有且仅有一个零点.12．（1），；（2）3个.【解析】（1）在上单调递增，在恒成立，即，，即，令，，当时，，，，所以，所以在上单调递增，则在上单调递减，所以，，即的取值范围是．（2），则，，令，则，①当时，恒成立，在上单调递减，又，在上有一解