综合训练（3）大题训练-2022届高三数学二轮复习

2022届高三数学二轮复习大题训练（综合训练（3））1．设各项均为正数的数列满足，，其中是数列的前项和．（1）求数列的通项公式；（2）记，求数列的前100项和．2．在中，角，，的对边分别为，，，且，，是公差为1的等差数列．（1）若，求的面积；（2）是否存在整数使得为钝角三角形？若存在，求此钝角的余弦值；否则，说明理由．3．在三棱柱中，，，，，，为中点，平面平面．（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值．4．已知抛物线的焦点为，直线过且与抛物线交于，两点，线段的中点为，当时，点的横坐标为2．（1）求抛物线的方程；（2）若直线与抛物线的准线交于点，点关于轴的对称点为，当的面积取最小值时，求直线的方程．5．某网络科技公司在年终总结大会上，为增添喜悦、和谐的气氛，设计了闯关游戏这一环节，闯关游戏必须闯过若干关口才能成功．其中第一关是答题，分别设置“文史常识题”“生活常识题”“影视艺术常识题”这3道题目，规定有两种答题方案：方案一：答题3道，至少有两道答对；方案二：在这3道题目中，随机选取2道，这2道都答对．方案一和方案二中只要完成一个，就能通过第一关．假设程序员甲和程序员乙答对这3道题中每一道题的概率都是，且这3道题是否答对相互之间没有影响．程序员甲选择了方案一，程序员乙选择了方案二．（1）求甲和乙各自通过第一关的概率；（2）设甲和乙中通过第一关的人数为，是否存在唯一的的值，使得？并说明理由．6．已知函数，．（1）讨论的单调性；（2）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．2022届高三数学二轮复习大题训练（综合训练（3））1．设各项均为正数的数列满足，，其中是数列的前项和．（1）求数列的通项公式；（2）记，求数列的前100项和．【解答】（1）由，，相减可得：，又，，，由，时，，解得，数列从第二项开始为等差数列，公差为1，，；（2）当时，时，；时，，数列的前100项和：．2．在中，角，，的对边分别为，，，且，，是公差为1的等差数列．（1）若，求的面积；（2）是否存在整数使得为钝角三角形？若存在，求此钝角的余弦值；否则，说明理由．【解答】（1），，，是公差为1的等差数列，，故，，；（2）由为钝角三角形，可得，所以，显然，，，不能构成三角形，当，，可构成三角形，此时．3．在三棱柱中，，，，，，为中点，平面平面．（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值．【解答】（1）证明：，为中点，，平面平面，平面平面，平面，平面；（2）在平面内过点作，如图，建立空间直角坐标系，由，，，，，，，，0，，，0，，，，5，，，由，得，，，，，，平面的一个法向量，0，，设与平面所成角为，则，直线与平面所成角的正弦值为．4．已知抛物线的焦点为，直线过且与抛物线交于，两点，线段的中点为，当时，点的横坐标为2．（1）求抛物线的方程；（2）若直线与抛物线的准线交于点，点关于轴的对称点为，当的面积取最小值时，求直线的方程．【解答】（1）设，，，，由题知时，，故抛物线方程为；（2）设，联立抛物线方程得，，，而，，所以，当且仅当时等号成立，故直线的方程为．5．某网络科技公司在年终总结大会上，为增添喜悦、和谐的气氛，设计了闯关游戏这一环节，闯关游戏必须闯过若干关口才能成功．其中第一关是答题，分别设置“文史常识题”“生活常识题”“影视艺术常识题”这3道题目，规定有两种答题方案：方案一：答题3道，至少有两道答对；方案二：在这3道题目中，随机选取2道，这2道都答对．方案一和方案二中只要完成一个，就能通过第一关．假设程序员甲和程序员乙答对这3道题中每一道题的概率都是，且这3道题是否答对相互之间没有影响．程序员甲选择了方案一，程序员乙选择了方案二．（1）求甲和乙各自通过第一关的概率；（2）设甲和乙中通过第一关的人数为，是否存在唯一的的值，使得？并说明理由．【解答】（1）设答对题目的个数为，由题意，得，甲通过第一关的概率为，乙通过第一关的概率为；（2）的可能取值为0，1，2，则，，，所以，设，则，从而当时，为增函数，又，（1），所以存在唯一的的值，使得，即．6．已知函数，．（1）讨论的单调性；（2）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．【解答】（1）的定义域为，求导得，当时，，则在上单调递减，当时，当时，，当时，，则在上单调递减，在上单调递增，所以：当时，在上单调递减，当时，在上单调递减，在上单调递增．（2），不等式，令，，当时，，当时，，∴在上单调递减，在上单调递增，，，即恒有成立，当且仅当时取“”，因此