初中数学-：初中数学几何模型

最全：初中数学几何模型

几何是初中数学中非常重要的内容，一般会在压轴题中进行考察，而掌握几何模

型能够为考试节甯不少时间，小编整理了常用的各大模型，一定要认真掌握限~

全等变换

平移：平行等线段（平行四边形）

对称：角平分线或垂直或半角

旃转：相邻等线段绕公共顶点旋转

对称全等模型

角分线模型

过角分啖某点作■线

往角西边作"爆ttmAiattwtsn

说明：以角平分线为轴在角两边进行截长补短或者作边的垂线，形成对林全等。两边进行边

或者角的等量代换，产生联系。垂直也可以做为轴进行对称全等。

对称半角模型

说明：上图依收是45。、30\225、15。及有一个角是30。直角三角形的对称（翻折），翻折

成正方形或者等腹直角三角形、等边三角形、对林全等。

旋转全等模型

半角：有一个角含1/2角及相邻线段

自窿转：有一对相邻等线段，需要构造旃转全等

共旋转：有两对相邻等线段，直接寻找旋转全等

中点旋转：倍长中直相关线段转换成旋转全等问题

旋转半角模型

说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过窿转将另外两个和为二

分之一的角拼接在一起，成对称全等。

自旋转模型

构造方法：

遇60僮旋60度，造等效三角形；遇90度旋90度，造等腰直角

遇等腰旃顶点，造旋转全等；遇中点旋180度，造中心对称

共旋转模型

说明：旋转中所成的全等三角形，第三边所成的角是一个经常考察的内容。通过"8"字模

型可以证明。

模型变形

说明：模型变形主要是两个正多边形或者等腰三角形的夹角的变化，另外是等腰直角三角形

与正方形的混用。

当遇到复杂图形找不到旋转全等时，先找两个正多边形或者等腰三角形的公共顶点，围绕公

共顶点找到两组相邻等线段，分组组成三角形证全等。

中点旋转:

说明：两个正方形、两个等腰直角三角形或者一个正方形一个等腰直角三角形及两个图形顶

点连线的中点，证明另外两个顶点与中点所成图形为等腰直角三角形。证明方法是倍长所要

证等腰直角三角形的一直角边，转化成要证明的等腰直角三角形和巳知的等腰直角三角形

（或者正方形）公旋转顶点，通过证明窿转全等三角形证明倍长后的大三角形为等腰直角三

角形从而得证。

中点模型

倍长中娱连中点内造中位过倍K-边W8中ffittttasttA-梅财边中桂

几何最值模型

对称最值（两点间线段最细）

线段和差模型

”■■WMWM

*卡

士.'X：

■1M2■31

同侧、异侧两线段之和批短模型同侧、异恻两线段之举最小模型

轴对称模型

L"=^=7&>

“〈x1

\

\丁、，，，

三线段之和过桥模型四边形周长三角形周长

最短模型最小模型最小模型

对称最值（点到直线垂线段最细）

，1

•1

°rG'''/'1\'''

说明：通过对称进行等量代换，转换成两点间距离及点到直线班陶。

旋转最值（共线有最值）%q国

说明：找到与所要求最值相关成三角形的两个定长线段，定长线段的和为最大值，定长线段

的差为最小值。

剪拼模型

三角形—四边形

四边形一四辿形

国U

说明：剪拼主要是通过中点的180度旋转及平移改变图形的形状。

柜形一正方形

说明：通过射影定理找到正方形的边长，通过平移与旋转完成形状改变

正方形+等腰直角三角形T正方形

E

面积等分

E

B

B

旋转相似模型

说明：两个等腰直角三角形成旋转全等，两个有一个角是300角的直角三角形成旃转相似。

推广：两个任意相似三角形窿转成一定角度，成旋转相似。第三边所成夹角符合旋转“8”

字的规律。

D

DC

相似模型

说明：注意边和角的对应，相等线段或者相等比值在证明相似中起到通过等量代换来构造相

似三角形的作用。

说明：（1）三垂直到一线三等角的演变，三等角以30度、45度、60度形式出现的居多。

（2）内外角平分线定理到射影定理的演变，注意之间的相同与不同之处。另外,相似、射

影定理、相交弦定理（可以推广到圆累定理）之间的比值可以转换成乘积，通过等线段、等

比值、等乘积进行代换,进行证明得到需要的结论。

说明：相似证明中最常用的辅助线是做平行，根据题目的条件或者结论的比值来做相应的平

行线。

A模型一：手拉手模型-旋转型全等

A模型二：手拉手模型-旋转型相似

AMft：CD!/AB,将&OCD放转至右图位时

A结论：

a右图中①4。＜加1AoMeAO"AOBD；

a②延长XC交BD于点E,必有“EC・乙BOA

<2)特殊1£况

a条件：CD3AB,人“8・90°,将A"C。族转至右图

位贸

a结论：右图中①AOC£>sAO/8=ACMCAOBD：②

延长AC交BD于点E,史有乙BEC.乙BO4,

BDODOB.“八

----■=—■=tsnZ.OCD

Q)ACOCOA3⑥BDLAC§

©ii接皿BC,行m+3C'⑥s‘""（对角姐相垂直的四糜）

⑶全等型任意角，

条件：①乙＜O8,2a/DC£.180-2a.©CD-CE.

结论：①0（秘乙〃阳3©OD+OE-2CK'•cosa,

♦§皿£-OC2•sina•cosa

当乙DCE的一边交AO的延长线于点D时（如右上图）：

原结论变成：①

②___________________

③________________

可委考上述第②种方法进行证明。请里考初始条件徽化对模型傩晌.

A对角互;檄型总结：

①常见初始条件：四边形对角互扑；注意两点：四点共图及直甬三角形斜边中线;

②初始条件“角平分线”与“两边相等”的区别；

③两,怖见睇触慨作法,

Q注意0c平分408时，乙CDE-LCED~LCOA・ZTO相等如何推导？

A模型四：角含半角模型90。

（1）角含半角模型90°-1

*条件：①正方形ABCD,②LEAF-45",

A结论：①EF・DF+BE,②\CEF的周长为正方形48。畦的一半,

也可以这样：

*条件：①正方形ABCD}②EF-DF+BE

a结论：㈤尸.45。

<2）角含半角模型90--2

A条件：①正方形.4BCD；②LEAF-45°,

»结论：EF-DF-BE

>$«Bj线如下图所示：

a刷：①RTM8C,②乙以£-45\\

»结论：BD'+CE：=DE，BDECHDE

若旗节糊M8C外部时，结论8加+a=仍然成立.

^T\

□BEcDB£C

<4>角合半角馍型90°变形

温喟：也M.«•（方》不唯一>

V俨、：.NC4E

V“m・"CE・4S・：.AADHSMCE

a条件：①正方形&BCD.②ZE4F-45°.

a结论：/为等腹直甬三角形。

模型五：倍长中线类模型

T

a条件：赚形*88,②,③。尸・£尸，/

a结论：AFLCFy~

模型提取：好自平行线4°〃8£，②帝亍线间线段有中点・EF.

可以构造“8”字全等MDF•UJ1EF.

<2）倍长中熨源里-2

A条件：码行四边形^BCD；@BC-2.4B；③儿”・DM,@CE1AD.

A结论:乙EMD・3乙MEA

ttMA：有+H.4B//CD.W*.#.AM~DM

处长EV.构迨\,IME\1>MF.>14*CM构

迨年楼\E\K,\SKF

通，t构迨8字殳■♦馍殁收北及色工美乐.角的大

小#化

A模型六：相似三角形360。旋转模型

《D相咋角形（等腰直角）360,旋转模型悟长中线法UMtt：色长/»'网66.VLFG^DF.连

a条件：①&〃）£、A4灰均

为等腰直角三角形J②

EF-CF

a结论：①DF・BF,②

DF1BF

<1>佛三ft形《等JRS角〉则°端模料M嚏法

a条件：①AS阳A4仪.均为等腰直角三角形，②）'・C片

a结论：①DF・BF5②DFLBF

”的城：构遗寻腰JL用A4£G・A.4//C

橇曲R:籽1讣马HI“化到（<；与EH

M财愎：篁长区4,使.<；.6,通长

•新：①AOABsAODC〕②20/8,LODC■90°C7>XAHftDH=Cl),#会MMiB.

③BE-CE

OC'H4速谀"幄曼.峥比J£与D£HCG

a牯论：①4E-Z)£)@LAED-2LABO

AMi.0支在峥化NJ£Z)

■财根：城长DE£M.傀l他・&,叶”

a条件：①AOABsAODC、②LOAB'LOCK',90°.③没的幽卜上件”化为1叫AJA〃>\〃*J.It

BE-CEQ

勺04・轿ZAfA0HB（,施倏”化为温明

a结论：①AE■DE5②乙4ED,2LABO

XJZM8A.〃九位用四边也比11/用'

此处*^A城明N4A”,N“N）

A模型七：最短路程模型

总”：以上B图为常义的件**献/»<1同々.

*后.♦♦化到：••马晟之㈣，自a“植”M/

HA：①助恨上:04*.忤点图。

（2）最妞路程模型二（点到幽淡1）

,4］）pHMH：#np<tex*H*Aj?'.#it

IP（zp-zx?.itA.Wf»

正战段破好o0A/n\m+p.s\m+/v2\iH（.CM）

A条件：①oc平分乙"叩，②“为（小上一定点,③P为0c上一动点,@。为08上一动点,

A求：，“"+尸。最小时，凡0的位舞？

⑸耐髓程陋二（融信峰石ZZ-

>条件：404）津（-20）«0."）4'A

1

PB+§PA4r‘d'：

A同S：”为何值时，5最小

*求解方法：①x轴上取C（2.0）,使5，②过8作8",«•，交）’轴于点、*即为所求,

tanLEBO-tanLOAC--..

③2,即£（<M）.

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A模型八：二倍角模型

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八,法之一.但外不乏《一件▲

一、中点模型

【模型1】倍长

1、倍长中缆；2、倍长类中线；3、中点遇平行延长相交

A

【模型2】遇多个中点，构造中位线

1、直接连接中点；2、连对角线取中点再相连

【例】在菱形ABCD和正三角形6£尸中，乙46%60°,G是，下的中点，连接GC、GE.

(1)如图1,当点F在6c边上时，若/8=10,BF=4,求GF的长；

(2)如图2,当点尸在46的延长线上时，线段GC、GF有怎样的数量和位置关系，写

出你的睛想；并给予证明；

(3)如图3,当点尸在C6的延长线上时，(2)阿中关系还成立吗？写出你的猜想，并

给予证明.

二、角平分线模型

【模型1】构造轴对称

【模型2】角平分线jg平行构造等腰三角形

［例】如图，平行四边形48co中,平分乙外，交6c边于E,EF'AE及CZ7边于F,

交4。边于〃，延长班到点G,便AG=CF,连接外：若BC=7,DF=3,EH=3AE,则GF

的长为—.

三、手拉手模型

【雉】0A=OB,0C=OD,ZAOB=NCOD

【结论】AOAC=AOBD；NAEB=NOAB=/COD（即都是睁角）;OE平分ZAED;

【例】如图，正方形46C。的边长为6,点。是对角线AC,8。的交点，点E在CO上，

且DE=2CE,过点。作C尸，6F,垂足为尸，连接OF,则。尸的长为—.

W、邻边相等的对角互补模型

【例1】

【条件】如图，四边形ABCD中，.4B=.4。，N&4D+ZBCD=ZABC+ZADC=180'

【结论】AC^ZBCD

【醺2】

【条件】如图，四边形ABCD中,.4B=.4D,ZBAD=ZBCD=90'

【结论】①N/1C5=N/1CD=45'®BC+CD=42AC

【例】如图，矩形ABCD中，46=6,AD=5,G为CO中点，DE=DG,尸G1BE于F,则

。尸为一.

【例】如图，正方形ABCD的边长为3,延长C3至点M,使5*1,连接AM,过点B作

BN工AM,垂足为N,。是对角线NC、的交点，连接OV,则ON的长为.

【例1】如图，正方形488的面积为64,JCE是等边三角形，尸是CE的中点，AE、

B尸交于点G,则DG的长为.

DC

E

B

五、半角模型

【睡1】

【例2】

【条件】在正方形438中，已知E、尸分别是边BC、CD上的点，且满足NE4尸=45。，AE、

乂尸分别与对角线BD交于点M、M

【结论】

(I)BE+DF=EF;⑵SUBT-SU冲SUEF;(3)AH=AB)(4)C，ECF=2AB;

(5)8出1>田3;

(6)&4NM^ADNFs4BE诋3AM：

(由/。：AH=AO:.45=1:应可得到AXNV和ME尸的相似比为1:应)；

(7)SA4V£\^=S工彳.WE;(8)AJO.iaA")尸'&4ON^>&ABE;

(9)U£V为等腰直角三角形,4EJ5。；&4FM为等腰直角三角形，乙4尸必=45。

(1.N£ZFM50;2/E:AV=1:垃为

(107、尸、D四点共圆，aB、E、N四点共圆，M、M尸、C、E五点共圆.

【睡2翘】

【条件】在正方形ABCD中，已知E、尸分别是边CB、DC延长线上的点，且满足NE4F=45。

［结论】BE+EF=DF

【睡2翘】

【条件】在正方形ABCD中，已知E、尸分别是边CB、DC延长线上的点，且满足/瓦4户35。

【结论】DF+EF=BE

【例】如图，&