九年级数学上册教第22章学案 (四)

第二十二章二次函数

22.1二次函数(1)

教学目标：

(1)能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的

自变量的取值范围。

(2)注重学生参与，联系实际，丰富学生的感性认识，培养学生的良

好的学习习惯

重点难点：

能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变

量的取值范围。

教学过程：

一、试一试

1.设矩形花圃的垂直于墙的一边AB的长为xm,先取x的一些值，算

出矩形的另一边BC的长，进而得出矩形的面积ynt试将计算结果填写在

下表的空格中，

AB长x(m)123456789

BC长(m)12

面积y(rn2)48

2.x的值是否可以任意取?有限定范围吗？

3.我们发现，当AB的长(x)确定后，矩形的面积(y)也随之确定，y

是x的函数，试写出这个函数的关系式，

对于1.,可让学生根据表中给出的AB的长，填出相应的BC的长和面

积，然后引导学生观察表格中数据的变化情况，提出问题：(1)从所填表格

中，你能发现什么？(2)对前面提出的问题的解答能作出什么猜想?让学生

思考、交流、发表意见，达成共识：当AB的长为5cm,BC的长为10m时，

围成的矩形面积最大；最大面积为50m2。

对于2,可让学生分组讨论、交流，然后各组派代表发表意见。形成

共识，x的值不可以任意取，有限定范围，其范围是0<x<10。

对于3,教师可提出问题，(1)当AB=xm时，BC长等于多少m?(2)面积

y等于多少?并指出y=x(20—2x)(0<x<10)就是所求的函数关系式.

二、提出问题

某商店将每件进价为8元的某种商品按每件10元出售，一天可销出约

100件.该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润，经过市场

调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加10件。将这种商

品的售价降低多少时，能使销售利润最大？

在这个问题中，可提出如下问题供学生思考并回答：

1.商品的利润与售价、进价以及销售量之间有什么关系？

[利润=(售价一进价)X销售量]

2.如果不降低售价，该商品每件利润是多少元?一天总的利润是多少

元？[10—8=2(元)，(10—8)X100=200(元)]

3.若每件商品降价x元，则每件商品的利润是多少元?一天可销售约

多少件商品？[(10-8-x)；(100+100x)1

4.x的值是否可以任意取?如果不能任意取，请求出它的范围，

[x的值不能任意取，其范围是0WxW2]

5.若设该商品每天的利润为y元，求y与x的函数关系式。

[y=(10-8-x)(100+100x)(0WxW2)]

将函数关系式y=x(20—2x)(0<x<10=化为：

y=-2x?+20x(0<x<10)(1)

将函数关系式y=(10-8-x)(lOO+lOOx)(0<xW2)化为：

y=-100x2+100x+20D(0WxW2)…(2)

三、观察；概括

L教师引导学生观察函数关系式⑴和(2),提出问题让学生思考回答;

(1)函数关系式(D和(2)的自变量各有几个？(各有1个)

(2)多项式一2x,+20和-100x?+100x+200分别是几次多项式？(分别

是二次多项式)

(3)函数关系式(1)和(2)有什么共同特点？(都是用自变量的二次多项

式来表示的)

(4)本章导图中的问题以及P1页的问题2有什么共同特点？

让学生讨论、归结为：自变量x为何值时，函数y取得最大值。

2.二次函数定义：形如y=ax?+bx+c(a、b、、c是常数，aW0)的

函数叫做x的二次函数，a叫做二次函数的系数，b叫做一次项的系数，c

叫作常数项.

四、课堂练习

1.(口答)下列函数中，哪些是二次函数？

(l)y=5x+l(2)y=4x2-l(3)y=2x：l-3x2(4)y=5x'-3x+l

2.练习第1,2题。

五、小结

1.请叙述二次函数的定义.

2,许多实际问题可以转化为二次函数来解决，请你联系生活实际，编

一道二次函数应用题，并写出函数关系式。

六、作业：复习巩固1题

教后反思：

22.1二次函数(2)

教学目标：

1、使学生会用描点法画出y=ax?的图象，理解抛物线的有关概念。

2、使学生经历、探索二次函数y=ax?图象性质的过程，培养学生观察、

思考、归纳的良好思维习惯

重点难点：

重点：使学生理解抛物线的有关概念，会用描点法画出二次函数y=ax?的

图象是教学的重点。难点：用描点法画出二次函数y=ax?的图象以及探索

二次函数性质是教学的难点。

教学过程：

一、提出问题

1,同学们可以回想一下，一次函数的性质是如何研究的？

2.我们能否类比研究一次函数性质方法来研究二次函数的性质呢?如

果可以，应先研究什么？

3.一次函数的图象是什么？二次函数的图象是什么？

二、范例

例1、画二次函数y=ax?的图象。

解：(1)列表：在x的取值范围内列出函数对应

值表：

X・・・-3-2-10123・・・

y•••9410149•••

(2)在直角坐标系中描点：用表里各组对应值作

为点的坐标，在平面直角坐标系中描点

⑶连线：用光滑的曲线顺次连结各点，得到函数y=x?的图象，如图所示。

提问：观察这个函数的图象，它有什么特点？

讨论归结为：它有一条对称轴，且对称轴和图象有一点交点。

抛物线概念：像这样的曲线通常叫做抛物线。

顶点概念：抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点.

三、做一做

1.在同一直角坐标系中，画出函数y=x?与y=-x，的图象，观察并比较

两个图象，你发现有什么共同点？又有什么区别？

2.在同一直角坐标系中，画出函数y=2x?与y=-2x?的图象，观察并比

较这两个函数的图象，你能发现什么？

3.将所画的四个函数的图象作比较，你又能发现什么？

分组讨论，达成共识：两个函数的图象都是抛物线，都关于y轴对称，顶

点坐标都是(0,0),区别在于函数y=x"的图象开口向上，函数y=-x?的图

象开口向下。

对于2,教师要继续巡视，指导学生画函数图象，两个函数的图象的

特点；教师可引导学生类比1得出。

对于3,教师可引导学生从1的共同点和2的发现中得到结论：四个

函数的图象都是抛物线，都关于y轴对称，它的顶点坐标都是(0,0).

四、归纳、概括

函数y=x\y=-x\y=2x\y=-2x2是函数yuax?的特例，由函数y=x?、y=-x\

y-2x\y=-2x?的图象的共同特点，可猜想：

函数y=ax?的图象是一条,它关于对称，它的顶点坐

标是.

如果要更细致地研究函数y=ax?图象的特点和性质，应如何分类？为

什么？

让学生观察y=x'、y=2x?的图象，填空；

当a>0时，抛物线y-ax?开口,在对称轴的左边，曲线自左向

右;在对称轴的右边，曲线自左向右，是抛物线上位

置最低的点。

图象的这些特点反映了函数的什么性质？

先让学生观察下图，回答以下问题；

(1)XA>XB大小关系如何?是否都小于0?

(2)yA、yB大小关系如何?

(3)XC、XD大小关系如何?是否都大于0?

⑷yC、yD大小关系如何?

(XA<XB,且XA<0,XB<0；yA>yB；XC<XD,

且XC>0,XD>0,yC<yD)

学生填空：当X<0时，函数值y随着x的增大而,当X>0时，

函数值y随X的增大而；当*=时，函数值y=ax2(a>0)取得

最小值，最小值y=

观察函数y=-x2、y=-2x?的图象，让学生讨论、交流，达成共识：

当a<0时，抛物线y=ax?开口向上，在对称轴的左边，曲线自左向右

上升；在对称轴的右边，曲线自左向右下降，顶点抛物线上位置最高的点。

图象的这些特点，反映了当a<0时，函数y=ax?的性质；当x<0时，函数

值y随x的增大而增大；与x>0时，函数值y随x的增大而减小，当x=0

时，函数值y=ax?取得最大值，最大值是y=0。

五、课堂练习：练习1、2、3、4。

六、作业：1.如何画出函数y=ax?的图象？2.函数y=ax?具有哪些性质？

教后反思：

二次函数（3）

教学目标：

1、使学生能利用描点法正确作出函数y-ax2+b的图象。

2、让学生经历二次函数y=ax?+bx+c性质探究的过程，理解二次函

数y=ax?+b的性质及它与函数y=ax，的关系。

重点难点：

会用描点法画出二次函数y=ax2+b的图象，理解二次函数y=ax?+b

的性质，理解函数y=ax2+b与函数y=ax2的相互关系是教学重点。

正确理解二次函数y=ax2+b的性质，理解抛物线y=ax?+b与抛物线y=

ax'的关系是教学的难点.

教学过程：

—•、提出问题

1.二次函数y=2x?的图象是—，它的开口向,顶点坐标是；

对称轴是，在对称轴的左侧，y随x的增大而______,在对称轴的

右侧，y随x的增大而,函数丫=2*?与x=时，取最

值，其最______值是______。

2.二次函数y=2x?+l的图象与二次函数y=2x?的图象开口方向、对

称轴和顶点坐标是否相同？

二、分析问题，解决问题

问题1：对于前面提出的第2个问题，你将采取什么方法加以研究？

（画出函数y=2x?和函数y=2x?的图象，并加以比较）

问题2,你能在同一直角坐标系中，画出函数y=2x?与y=2x?+l的图

象吗？

解：⑴列表:

X・・・-3-2-10123・・・

y

・・・188202818・・・

2

X

y

2

X・・・199313919・・・

+

1

（2）描点:用表里各组对应值作为点的坐标,在平面直角坐标系中描点。

⑶连线：用光滑曲线顺次连接各点，得到函数丫=2/和y=2x2+l

的图象。

问题3：当自变量x取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么

关系?反映在图象上，相应的两个点之间的位置又有什么关系？

教师引导学生观察上表，当x依次取一3,—2,-1,0,1,2,3时,

两个函数的函数值之间有什么关系，由此让学生归纳得到，当自变量x取

同一数值时，函数y=2x?+l的函数值都比函数y=2x?的函数值大1。

教师引导学生观察函数y=2x2+l和y=2x，的图象，先研究点(一1,

2)和点(一1,3)、点(0,0)和点(0,1)、点(1,2)和点(1,3)位置关系，

让学生归纳得到：反映在图象上，函数y=2x?+l的图象上的点都是由函

数y=2x?的图象上的相应点向上移动了一个单位。

问题4：函数y=2x2+l和y=2x?的图象有什么联系？

由问题3的探索，可以得到结论：函数y-2x2+l的图象可以看成是

将函数y=2x，的图象向上平移一个单位得到的。

问题5：现在你能回答前面提出的第2个问题了吗？

让学生观察两个函数图象，说出函数y=2x2+l与y=2x?的图象开口

方向、对称轴相同，但顶点坐标不同，函数y=2x?的图象的顶点坐标是(0,

0),而函数y=2x'+l的图象的顶点坐标是(0,1)。

问题6：你能由函数y=2/的性质，得到函数y=2x?+l的一些性质

吗？

完成填空：

当x______时，函数值y随x的增大而减小；当x时，函数值y

随x的增大而增大，当x时，函数取得最______值，最______值y

以上就是函数y=2x?+l的性质。

三、做一做

问题7：先在同一直角坐标系中画出函数y=2x「2与函数y=2x?的图象,

再作比较，说说它们有什么联系和区别？

教学要点

让学生发表意见，归纳为：函数y=2x'—2与函数y=2x》的图象的开

口方向、对称轴相同，但顶点坐标不同。函数y=2x?-2的图象可以看成

是将函数y=2x，的图象向下平移两个单位得到的。

问题8：你能说出函数y=2x?-2的图象的开口方向，对称轴和顶点

坐标，以及这个函数的性质吗？

教学要点

1.让学生口答，函数y=2x?-2的图象的开口向上，对称轴为y轴，

顶点坐标是(0,-2)；

2.分组讨论这个函数的性质，各组选派一名代表发言，达成共识：当

x<0时，函数值y随x的增大而减小；当x>0时，函数值y随x的增大

而增大，当x=0时，函数取得最小值，最小值丫=一2。

问题9：在同一直角坐标系中。函数y=-；x?+2图象与函数y=-/2

的图象有什么关系？

要求学生能够画出函数丫=-/2与函数y=-lxH2的草图，由草图

观察得出结论：函数y=-1l/3x2+2的图象与函数y=-的图象的开口

方向、对称轴相同，但顶点坐标不同，函数y=-1x2+2的图象可以看成

O

将函数y=一4x"'的图象向上平移两个单位得到的。

问题10：你能说出函数y=-J/+2的图象的开口方向、对称轴和顶

点坐标吗？

[函数y=-1x2+2的图象的开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标是(0,

O

2)]

问题11：这个函数图象有哪些性质？

让学生观察函数y=—的图象得出性质：当x<0时，函数值y

随x的增大而增大；当x>0时，函数值y随x的增大而减小；当x=0时，

函数取得最大值，最大值y=2。

四、练习：练习1、2、3。

五、小结

1.在同一直角坐标系中，函数y=ax?+k的图象与函数y=ax'的图象

具有什么关系？

2.你能说出函数丫=2*2+1<具有哪些性质？

六、作业：1.习题1.(1)

教后反思:

第一课时作业优化设计

1.分别在同一直角坐标系中，画出下列各组两个二次函数的图象。

(l)y=-2x?与y——2x2—2；

(2)y=3x2+l与y=3x2-lo

2.在同一直角坐标系内画出下列二次函数的图象，

y=1x2,y=*+2,y=*-2

观察三条抛物线的相互关系，并分别指出它们的开口方向及对称轴、

顶点的位置。

你能说出抛物线y=p+k的开口方向及对称轴、顶点的位置吗？

3.根据上题的结果，试说明：分别通过怎样的平移，可以由抛物线

y=*得到抛物线y=#+2和y=1x2—2?

4.试说出函数y=/x2,y=4x?+2,y=Jx2-2的图象所具有的共同性质

22.1二次函数(4)

教学目标：

1.使学生能利用描点法画出二次函数y=a(x—h)2的图象。

2.让学生经历二次函数y=a(x—h)2性质探究的过程，理解函数丫=

a(x—h)z的性质，理解二次函数y=a(x—hT的图象与二次函数y

=ax?的图象的关系。

重点难点：

重点：会用描点法画出二次函数y=a(x—h),的图象,理解二次函数y=a(x

一h尸的性质，理解二次函数y=a(x-h)z的图象与二次函数y=ax2

的图象的关系是教学的重点。

难点：理解二次函数y=a(x—h)2的性质，理解二次函数y=a(x-h)2的图

象与二次函数y=a/的图象的相互关系是教学的难点。

教学过程：

一、提出问题

1.在同一直角坐标系内，画出二次函数y=-y=一去-1的图

象，并回答：

(1)两条抛物线的位置关系、对称轴、开口方向和顶点坐标。

(2)说出它们所具有的公共性质。

2.二次函数y=2(x—l)z的图象与二次函数y=2x?的图象的开口方向、

对称轴以及顶点坐标相同吗?这两个函数的图象之间有什么关系？

二、分析问题，解决问题

问题1：你将用什么方法来研究上面提出的问题？

(画出二次函数y=2(x—l)z和二次函数y=2x?的图象，并加以观察)

问题2：你能在同一直角坐标系中，画出二次函数y=2x°与y=2(x—

1产的图象吗？

2.让学生在直角坐标系中画出图来：3.教师巡视、指导。

问题3：现在你能回答前面提出的问题吗？

2.让学生分组讨论，交流合作，各组选派代表发表意见，达成共识：

函数y=2(x—l)2与y=2x?的图象、开口方向相同、对称轴和顶点坐标不

同；函数y=2(x一1尸的图象可以看作是函数y=2x。的图象向右平移1

个单位得到的，它的对称轴是直线x=L顶点坐标是(1,0)。

问题4：你可以由函数y=2x?的性质，得到函数y=2(x—l)2的性质

吗？

三、做一做

问题5：你能在同一直角坐标系中画出函数y=2(x+D?与函数y=2x2

的图象，并比较它们的联系和区别吗？

教学要点

1.让学生发表不同的意见，归结为：函数y=2(x+l＞与函数y=2x?

的图象开口方向相同，但顶点坐标和对称轴不同；函数y=2(x+l)2的图

象可以看作是将函数y=2x。的图象向左平移1个单位得到的。它的对称轴

是直线x=-l,顶点坐标是(一1,0).

问题6；你能由函数y=2x，的性质，得到函数y=2(x+l)2的性质吗？

教学要点

让学生讨论、交流，举手发言，达成共识：当x<-l时，函数值y

随x的增大而减小；当x>-l时，函数值y随x的增大而增大；当x=一

1时，函数取得最小值，最小值y=0。

问题7：在同一直角坐标系中，函数y=-J(x+2)2图象与函数y=一

42的图象有何关系？

(函数y=-J(x+2)2的图象可以看作是将函数y=一42的图象向左平

移2个单位得到的。)

问题8：你能说出函数y=-J(x+2)2图象的开口方向、对称轴和顶点

坐标吗？

(函数y=一;(x十2尸的图象开口向下，对称轴是直线x=-2,顶点

O

坐标是(—2,0))。

问题9：你能得到函数y=£(x+2)2的性质吗？

教学要点：让学生讨论、交流，发表意见，归结为：当x<-2时，

函数值y随x的增大而增大；

当x>一2时，函数值y随工的增大而减小；当x=-2时，函数取得

最大值，最大值y=0。

四、课堂练习：练习1、2、3。

五、小结：

1.在同一直角坐标系中，函数y=a(x—h)：’的图象与函数y=ax2的图象有

什么联系和区别？2.你能说出函数y=a(x—h)z图象的性质吗？

六、作业1.习题1(2)。

教后反思：

22.1二次函数(4)第二课时作业优化设计

1.在同一直角坐标系中，画出下列各组两个二次函数的图象。

(l)y=4x?与y=4(x—3)2

(2)y=g(x+l)2与y=^(x—I)2

2.已知函数y=-y=—3+2)2和y=一；(x—2)、

(1)在同一直角坐标中画出它们的函数图象；

(2)分别说出各个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；

(3)试说明，分别通过怎样的平移，可以由函数y=-1/4x2的图象得

到函数y=-](X+2)2和函数y=-*x—2尸的图象？

(4)分别说出各个函数的性质。

3.已知函数y=4x\y=4(x+l)2和y=4(x—I)?。

(1)在同一直角坐标系中画出它们的图象；

(2)分别说出各个函数图象的开口方向，对称轴、顶点坐标；

(3)试说明：分别通过怎样的平移，可以由函数y=4x?的图象得到函数y

=4(x+l)2和函数y=4(x—1尸的图象，

(4)分别说出各个函数的性质.

4.二次函数y=a(x—h)2的最大值或最小值与二次函数图象的顶点有什

么关系？

22.1二次函数(5)

教学目标：

1.使学生理解函数y=a(x—h)'+k的图象与函数y=ax’的图象之间的

关系。

2.会确定函数y=a(x-h)2+k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。

3.让学生经历函数y=a(x—h)?+k性质的探索过程，理解函数y=a(x

—h)2+k的性质。

重点难点：

重点：确定函数y=a(x-h)2+k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，

理解函数y=a(x-h)2+k的图象与函数y=af的图象之间的关系，理解函数

y=a(x-h)2+k的性质是教学的重点。

难点：正确理解函数y=a(x-h)2+k的图象与函数y=ax?的图象之间的关系

以及函数y-a(x-h)2+k的性质是教学的难点。

教学过程：

一、提出问题

1.函数y=2x?+l的图象与函数y=2x，的图象有什么关系？

(函数y=2x?+l的图象可以看成是将函数y=2x?的图象向上平移一个单位

得到的)

2.函数y=2(x-l)2的图象与函数y=2x,的.图象有什么关系？

3.函数y=2(x-Dyl图象与函数y=2(x—l)2图象有什么关系？函数y=2(x

-1)2+1有哪些性质？

二、试一试

你能填写下表吗？

y=2x2向右平移向上平移

y=2(x-l)2+l

的图象1个单位y=2(x-l)21个单位

的图象

开口方向上

向

对称轴y轴

顶点(0,0)

问题2：从上表中,你能分别找到函数y=2能-1)2+1与函数y=2(x-l)z、

y=2x，图象的关系吗？

问题3：你能发现函数y=2(x-l)2+l有哪些性质？

对于问题2和问题3,教师可组织学生分组讨论，互相交流，让各组

代表发言，达成共识；

函数y=2(x-l)2+l的图象可以看成是将函数y=2(x-l)2的图象向

上平称1个单位得到的，也可以看成是将函数y=2x?的图象向右平移1个

单位再向上平移1个单位得到的。

当xVl时，函数值y随x的增大而减小，当x>l时，函数值y随x

的增大而增大；当x=l时，函数取得最小值，最小值y=l。

三、做一做

问题4：在图3中，你能再画出函数y=2(x—I)，—2的图象，并将它与

函数y=2(x—l)z的图象作比较吗？

问题5：你能说出函数y—1(X-1)2+2的图象与函数y=一4六的图象

0o

的关系，由此进一步说出这个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗?

(函数y=-t(x—l)2+2的图象可以看成是将函数y=-：x2的图象向右

平移一个单位再向上平移2个单位得到的，其开口向下，对称轴为直线x=l,

顶点坐标是(1,2)

四、课堂练习：练习1、2、3、4。

练习第4题提示：将一3x'—6x+8配方，即

y=-3x2-6x+8=-3(X2+2X)+8=-3(X+1)2+11

五、小结

1.通过本节课的学习，你学到了哪些知识？还存在什么困惑？

六、作业：

1.己知函数y=6x?、y=6(x—3尸+3和y=6(x+3)°—3。

(1)在同一直角坐标系中画出三个函数的图象；

(2)分别说出这三个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；

(3)试说明，分别通过怎样的平移，可以由抛物线y=6x?得到抛物线y=6(x

-3)2+3和抛物线y=6(x+3)2—3；

(4)试讨沦函数y=6(x+3)2—3的性质；

3.不画图象，直接说出函数y=-2/—5x+7的图象的开口方向、对称轴

和顶点坐标。

4.函数y=2(x—l¥+k的图象与函数y=2x?的图象有什么关系？

教后反思：

22.1二次函数(6)

教学目标：

1.使学生掌握用描点法画出函数y=ax2+bx+c的图象。

2.使学生掌握用图象或通过配方确定抛物线的开口方向、对称轴和顶

点坐标。

3.让学生经历探索二次函数y=ax?+bx+c的图象的开口方向、对称

轴和顶点坐标以及性质的过程，理解二次函数y=ax?+bx+c的性质。

重点难点：

重点：用描点法画出二次函数y=ax2+bx+c的图象和通过配方确定抛物

线的对称轴、顶点坐标是教学的重点。

难点：理解二次函数y-ax2+bx+c(a#0)的性质以及它的对称轴(顶点坐

标分别是*=一六(一总考’)是教学的难点。

Z34a

教学过程：

一、提出问题

1.你能说出函数y=-4(x-2)?+l图象的开口方向、对称轴和顶点

坐标吗？

2.函数y=-4(x—2),+l图象与函数y=-4/的图象有什么关系？

(函数y--4(x-2)2+l的图象可以看成是将函数y=-4/的图象向

右平移2个单位再向上平移1个单位得到的)

3.函数y=-4(x—2/+1具有哪些性质？

(当x<2时，函数值y随x的增大而增大，当x>2时，函数值y随x

的增大而减小；当x=2时，函数取得最大值，最大值y=l)

15

4.不画出图象，你能直接说出函数y=—/+x—5的图象的开口方向、

对称轴和顶点坐标吗？

1R

5.你能画出函数丫=-5/+*一引的图象，并说明这个函数具有哪些

性质吗？

二、解决问题

由以上第4个问题的解决，我们己经知道函数y=-5x?+x-宙的图象

的开口方向、对称轴和顶点坐标。根据这些特点，可以采用描点法作图的

1R

方法作出函数y=-5x?+x-］的图象，进而观察得到这个函数的性质。

解：(1)列表：在x的取值范围内列出函数对应值表；

x…一2—101234

y•••--4-2—41...

1111

62222262

(2)描点：用表格里各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描

点。

1R

⑶连线：用光滑的曲线顺次连接各点，得到函数y=—犷+x—]的图象。

说明：(1)列表时，应根据对称轴是x=l,以1为中心，对称地选取

自变量的值，求出相应的函数值。相应的函数值是相等的。

(2)直角坐标系中x轴、y轴的长度单位可以任意定，且允许x轴、y

轴选取的长度单位不同。所以要根据具体问题，选取适当的长度单位，使

画出的图象美观。

让学生观察函数图象，发表意见，互相补充，得到这个函数韵性质；

当xVl时，函数值y随x的增大而增大；当x>l时，函数值y随x

的增大而减小；

当x=l时，函数取得最大值，最大值y=-2

三、做一做

1.请你按照上面的方法，画出函数y-|x2-4x+10的图象，由图象

你能发现这个函数具有哪些性质吗？

教学要点

(1)在学生画函数图象的同时，教师巡视、指导；

(2)叫一位或两位同学板演，学生自纠，教师点评。

2.通过配方变形，说出函数y=-2x"+8x—8的图象的开口方向、对

称轴和顶点坐标，这个函数有最大值还是最小值?这个值是多少？

教学要点

(1)在学生做题时，教师巡视、指导；(2)让学生总结配方的方法；(3)

让学生思考函数的最大值或最小值与函数图象的开口方向有什么关系？这

个值与函数图象的顶点坐标有什么关系？

以上讲的，都是给出一个具体的二次函数，来研究它的图象与性质。

那么，对于任意一个二次函数丫=@乂2+6*+。心*0),如何确定它的图象的

开口方向、对称轴和顶点坐标?你能把结果写出来吗？

教师组织学生分组讨论，各组选派代表发言，全班交流，达成共识；

y=ax2+bx+c=a(x2+~x)+c=a[x2+-x+(y-)2—(y-)2]+c=

aa/aNa

a，+,x+号”]+c一案

(箝4ac—b2

=ax+

4a

当a>0时，开口向上，当aVO时，开口向下。

h4——h?

对称轴是*=一“22,顶点坐标是(一总*7空)

/a4a

四、课堂练习：

练习第1、2、3题。

五、小结：通过本节课的学习，你学到了什么知识？有何体会？

六、作业：

1.填空：

⑴抛物线y=x2—2x+2的顶点坐标是；

(2)抛物线y=2x2—2x—万的开口,对称轴是；

(3)抛物线y=-2x2—4x+8的开口,顶点坐标是；

(4)抛物线y=-1X2+2X+4的对称轴是.一；

(5)二次函数y=ax?+4x+a的最大值是3,则a=.

2.画出函数y=2x?-3x的图象，说明这个函数具有哪些性质。

3.通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。

(1)y=3x"+2x；(2)y=—xJ—2x

(3)y=-2x2+8x-8(4)y=|x2-4x+3

4.求二次函数y=mx2+2mx+3(m>0)的图象的对称轴，并说出该函数具有

哪些性质

教后反思：

22.1二次函数(7)

教学目标：

1.能根据实际问题列出函数关系式、

2.使学生能根据问题的实际情况，确定函数自变量x的取值范围。

3.通过建立二次函数的数学模型解决实际问题，培养学生分析问题、

解决问题的能力，提高学生用数学的意识。

重点难点：

根据实际问题建立二次函数的数学模型，并确定二次函数自变量的范

围，既是教学的重点又是难点。

教学过程：

一、复习旧知

1.通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。

(l)y=6x2+12x；(2)y=-4x2+8x-10

2.以上两个函数，哪个函数有最大值，哪个函数有最小值?说出两个

函数的最大值、最小值分别是多少？

二、范例

有了前面所学的知识，现在就可以应用二次函数的知识去解决第2页

提出的两个实际问题；

例1、要用总长为20m的铁栏杆，一面靠墙，围成一个矩形的花圃，

怎样围法才能使围成的花圃的面积最大？

解：设矩形的宽AB为xm,则矩形的长BC为(20—2x)m,由于x>0,

且20-2x>0,所以0<xV10。工8

围成的花圃面积y与x的函数关系式是

y=x(20—2x)

即y--2x2+20x

配方得y=-2(x—5)2+50---------一」。

所以当x=5时，函数取得最大值，最大值y=50。

因为x=5时，满足0Vx<10,这时20—2x=10。

所以应围成宽5m,长10m的矩形，才能使围成的花圃的面积最大。

例2.某商店将每件进价8元的某种商品按每件10元出售，一天可销

出约100件，该店想通过降低售价，增加销售量的办法来提高利润，经过市

场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加约10件。将这

种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大？

教学要点

(1)学生阅读第2页问题2分析，(2)请同学们完成本题的解答；

(3)教师巡视、指导；(4)教师给出解答过程：

解：设每件商品降价x元(0WxW2),该商品每天的利润为y元。

商品每天的利润y与x的函数关系式是：y=(10-x-8)(100+

100x)

即y=-100x2+100x+200配方得y=-100(x—》2+225

因为x=B时，满足0WxW2。

所以当x=5寸，函数取得最大值，最大值y=225。

：＜•--»：,

所以将这种商品的售价降低七元时，能使销售利润最大。x

例3。用6m长的铝合金型材做一个形状如图所示的矩形窗框。应做成

长、宽各为多少时，才能使做成的窗框的透光面积最大?最大透光面积是多

少？

先思考解决以下问题：

（1）若设做成的窗框的宽为xm,则长为多少m?（上卢）

（2）根据实际情况，x有没有限制?若有跟制，请指出它的取值范围，并

说明理由。让学生讨论、交流，达成共识：根据实际情况，应有x>0,

6—3xfx>0

且上扬J>0,即解不等式组,一2X）0,解这个不等式组，得到不等式组

的解集为0Vx<2,所以x的取值范围应该是0<x<2。

（3）你能说出面积y与x的函数关系式吗？

6—RxR

（y=x•—广，即y=--x"+3x）

详细解答课本。

小结：让学生回顾解题过程，讨论、交流，归纳解题步骤：（1）先分析问

题中的数量关系，列出函数关系式；（2）研究自变量的取值范围；（3）

研究所得的函数；（4）检验x的取值是否在自变量的取值范围内，并求相

关的值：（5）解决提出的实际问题。

三、课堂练习：练习第1、2、3题。

四、小结：

1.通过本节课的学习，你学到了什么知识?存在哪些困惑？

2.谈谈你的收获和体会。

五、作业：

1.求下列函数的最大值或最小值。

（1）y=—X2—4x+2（2）y=x°—5x+；（3）y=5x'+10

（4）y=-2x2+8x

2.已知一个矩形的周长是24cm。（1）写出矩形面积S与一边长a的函

数关系式。（2）当a长多少时，S最大？

3.填空：

(1)二次函数y=x?+2x-5取最小值时，自变量x的值是；

(2)已知二次函数y=x-'—6x+m的最小值为1,那么m的值是。

4.如图(1)所示，要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙，如果

用50m长的篱笆围成中间有一道篱笆的养鸡场，没靠墙的篱笆长度为xm。

(1)要使鸡场的面积最大，鸡场的长应为多少米？

(2)如果中间有n(n是大于1的整数)道篱笆隔墙，要

使鸡场面积最大，鸡场的长应为多少米？

(3)比较(1)、(2)的结果，你能得到什么结论？

5.如图(2),已知平行四边形ABCD的周长为8cm,ZB=30°,若边

长AB=x(cm)o

(1)写出DABCD的面积y(cm2)与x的函数关系式，并求自变量x的取值范

围。

(2)当x取什么值时，y的值最大?并求最大值。

(3).求二次函数的函数关系式

教后反思：

22.2用函数的观点看一元二次方程(1)

教学目标：

1.通过探索，使学生理解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式

之间的联系。

2.使学生能够运用二次函数及其图象、性质解决实际问题，提高学生

用数学的意识。

3.进一步培养学生综合解题能力，渗透数形结合思想。

重点难点：

重点：使学生理解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的联系,

能够运用二次函数及其图象、性质去解决实际问题是教学的重点。

难点：进一步培养学生综合解题能力，渗透数形结合的思想是教学的难点.

教学过程：

一、引言

在现实生活中，我们常常会遇到与二次函数及其图象有关的问题，如

拱桥跨度、拱高计算等，利用二次函数的有关知识研究和解决这些问题，

具有很现实的意义。本节课，请同学们共同研究，尝试解决以下几个问题。

二、探索问题

问题1:某公园要建造一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面竖

一根柱子，上面的A处安装一个喷头向外喷水。连喷头在内，柱高为0.8m。

水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，如图(1)所示。

0gCl>

根据设计图纸已知：如图(2)中所示直角坐标系中，水流喷出的高度y(m)

4

与水平距离x(m)之间的函数关系式是y=——+2乂+不

o

(1)喷出的水流距水平面的最大高度是多少？(最大值)

(2)如果不计其他的因素，那么水池至少为多少时，才能使喷出的水流都落

在水池内？(就是求如图(2)B点的横坐标)

问题2：一个涵洞成抛物线形，它的截面如图(3)所示，现测得，当水

面宽AB=1.6m时，涵洞顶点与水面的距离为2.4m。

这时，离开水面1.5m处，涵洞宽ED是多少?是否会超

过1m?

教学要点

1.教师分析：根据已知条件，要求ED的宽，只要求

出FD的长度。在如图(3)的直角坐标系中，即只要求

出D点的横坐标。因为点D在涵洞所成的抛物线上，

又由已知条件可得到点D的纵坐标，所以利用抛物线

图〈3)

的函数关系式可以进一步算出点D的横坐标。

解：以AB的垂直平分线为y轴，以过点0的y轴的垂线为x轴，建立

直角坐标系。

这时，涵洞的横截面所成抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，开口向下，

所以可设它的函数关系式为：y=ax2(a<0)(1)

AB

因为AB与y轴相交于C点，所以CB=]~=O.8(m),又0C=2.4m,所以点

B的坐标是(0.8,—2.4)。

因为点B在抛物线上，将它的坐标代人(1),得-2.4=aX0.82

所以：a=一牛15

因此，函数关系式是y=-yx2(2)

因为0F=1.5m,设FD=xlm(xl>0),则点D坐标为(xl,-1.5)。因为点

D的坐标在抛物线上，将它的坐标代人(2),得一1.5=一于X12

xl2=1xl=±^^xl=一里^不符合假设，舍去，所以xl=^^。

5555

ED=2FD=2Xxl=2x/^=|/心|义3.162心1.26(m)

所以涵洞ED是|\/15巾，会超过Imo

问题3：画出函数y=/-x—3/4的图象，根据图象回答下列问题。

(1)图象与x轴交点的坐标是什么；

(2)当x取何值时，y=0?这里x的取值与方程x2-x--=0有什么关系？

(3)你能从中得到什么启发？

教学要点

1.先让学生回顾函数y=a/+bx+c图象的画法，按列表、描点、连线等

3

步骤画出函数y=x?—x—7的图象。

2.教师引导学生观察函数图象，回答(1)提出的问

题，得到图象与x轴交点的坐标分别是(一；，0)和

,3、

(2>0)。

6.对于问题(3),教师组织学生分组讨论、交流，

达成共识：从“形''的方面看，函数y=x?-x—点的

图象与X轴交点的横坐标，即为方程X?-X—京=0的解；从“数”的方面

3

看，当二次函数y=x2—x—4的函数值为0时，相应的自变量的值即为方

程x2-x-^=0的解。更一般地，函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点

的横坐标即为方程ax2+bx+c=0的解；当二次函数y=ax2+bx+c的函

数值为0时，相应的自变量的值即为方程ax2+bx+c=0的解，这一结论

反映了二次函数与一元二次方程的关系。

三、试一试

根据问题3的图象回答下列问题。

(1)当X取何值时，y<0?当x取何值时，y>0?

(当一g<x<|时，y<0；当x<—；或x>|时，y>0)

(2)能否用含有x的不等式来描述(1)中的问题？(能用含有x的不

等式采描述(1)中的问题，即x2-x-1<0的解集是什么?——x—j>0的解

集是什么?)

想一想：二次函数与一元二次不等式有什么关系？

让学生类比二次函数与一元二次不等式方程的关系，讨论、交流，达

成共识：

(1)从“形”的方面看，二次函数y=ax2+bj+c在x轴上方的图象上

的点的横坐标，即为一元二次不等式ax'+bx+c>。的解；在x轴下方的

图象上的点的横坐标.即为一元二次不等式ax?+bx+cV0的解。

(2)从“数”的方面看，当二次函数y=ax2+bx+c的函数值大于0

时，相应的自变量的值即为一元二次不等式ax'+bx+c>。的解；当二次

函数y=ax2+bx+c的函数值小于0时，相应的自变量的值即为一元二次

不等式ax2+bc+c<0的解。这一结论反映了二次函数与一元二次不等式

的关系。

四、课堂练习：练习1、2。

五、小结：1.通过本节课的学习，你有什么收获?有什么困惑？

2.若二次函数y=ax°+bx+c的图象与x轴无交点，试说明，元二

次方程ax'+bx+c=O和一元二次不等式ax2+bx+c>0>ax2+bx+c<0

的解的情况。

六、作业：

1.二次函数y=x2-3x—18的图象与x轴有两交点，求两交点间的距离。

2.己知函数y=x?-x—2。

(1)先确定其图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，再画出图象

(2)观察图象确定：x取什么值时，①y=0,②y>0；③y<0。

3.学校建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子

0A。0恰好在水面中心，布置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各

个方向上沿形状相同的抛物线路径落下,且在过0A任意平面上的抛物线如

图(5)所示，建立直角坐标系(如图(6)),水流喷出的高度y(m)与水面距离

x(m)之间的函数关系式是y=-x'+^x+i,请回答下列问题：

(1)花形柱子0A的高度；

(2)若不计其他因素，水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水不至

于落在池外？

4.如图(7),一位篮球运动员跳起投篮，球沿抛物线y=-1x2+3.5

0

运行，然后准确落人篮框内。已知篮框的中心离地面的距离为3.05米。

(1)球在空中运行的最大高度为多少米？

(2)如果该运动员跳投时，球出手离地面的高度为2.25米，请问他距

离篮框中心的水平距离是多少？

教后反思：

22.2用函数的观点看一元二次方程(2)

教学目标：

1.复习巩固用函数y=ax?+bx+c的图象求方程ax2+bx+c=0的解。

2.让学生体验函数y=x?和y=bx+c的交点的横坐标是方程x2=bx

+c的解的探索过程，掌握