人教版九年级上册数学《圆》导学案（含答案）

24.1圆（第3课时）

教学内容

i.圆周角的概念.

2.圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弦所对

的圆心角的一半.

推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径及其它们的

应用.

教学目标

1.了解圆周角的概念.

2.理解圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条

弧所对的圆心角的一半.

3.理解圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对

的弦是直径.

4.熟练掌握圆周角的定理及其推理的灵活运用.

设置情景，给出圆周角概念，探究这些圆周角与圆心角的关系，运用数学分类思想给予

逻辑证明定理，得出推导，让学生活动证明定理推论的正确性，最后运用定理及其推导解决

一些实际问题.

重难点、关键

1.重点：圆周角的定理、圆周角的定理的推导及运用它们解题.

2.难点：运用数学分类思想证明圆周角的定理.

3.关键：探究圆周角的定理的存在.

教学过程

一、复习引入

（学生活动）请同学们口答下面两个问题.

1.什么叫圆心角？

2.圆心角、弦、弧之间有什么内在联系呢？

老师点评：（1）我们把顶点在圆心的角叫圆心角.

（2）在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们

所对的其余各组量都分别相等.

刚才讲的，顶点在圆心上的角，有一组等量的关系，如果顶点不在圆心上，它在其它的

位置上？如在圆周上，是否还存在一些等量关系呢？这就是我们今天要探讨，要研究，要解

决的问题.

二、探索新知

问题：如图所示的00,我们在射门游戏中，设E、F是球门，设球员们只能在EF所

在的。。其它位置射门，如图所示的A、B、C点.通过观察，我们可以发现像NEAF、NEBF、

NECF这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.

现在通过圆周角的概念和度量的方法回答下面的问题.

1.一个弧上所对的圆周角的个数有多少个?

2.同弧所对的圆周角的度数是否发生变化？

3.同弧上的圆周角与圆心角有什么关系？

(学生分组讨论)提问二、三位同学代表发言，

老师点评：

1.一个弧上所对的圆周角的个数有无数多个.

2.通过度量，我们可以发现，同弧所对的圆周角是没有变化的.

3.通过度量，我们可以得出，同弧上的圆周角是圆心角的一半.

下面，我们通过逻辑证明来说明“同弧所对的圆周角的度数没有变化,并且它的度数

恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半.”

(1)设圆周角/ABC的一边BC是。。的直径，如图所示

ZA0C是AABO的夕卜角

ZA0C=ZAB0+ZBA0A

：OA=OB

ZABO=ZBAO

ZA0C=ZAB0

.\ZABC=-ZAOC

2

(2)如图，圆周角/ABC的两边AB、AC在一条直径OD的

两侧，那么NABC=1/AOC吗？请同学们独立完成这道题的说

明

2

过程.

老师点评:连结B0交。0于D同理NAOD是AABO的外角,Z

COD>AB0C的夕卜角，那么就有NA0D=2NAB0,ZD0C=2ZCB0,因

此NAOC=2/ABC.

(3)如图，圆周角/ABC的两边AB、AC

在一条直径0D的同侧，那么NABC=!ZA0C吗？请同学们独立完成证明.

2

老师点评：连结OA、0C,连结B0并延长交。。于D,那么NA0D=2NABD,ZC0D=2ZCB0,

ZABC=ZABD-ZCBO=-ZA0D--ZCOD=-ZAOC

222

现在，我如果在画一个任意的圆周角/AB'C,同样可证得它等于同弧上圆心角一半,

因此，同弧上的圆周角是相等的.

从（1）、（2）、（3）,我们可以总结归纳出圆周角定理：

在同圆或等圆中，同弧等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.

进一步，我们还可以得到下面的推导：

半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90。的圆周角所对的弦是直径.

下面，我们通过这个定理和推论来解一些题目.

例1.如图，AB是。。的直径，BD是。。的弦，延长BD到C,使AC=AB,BD与CD的大

小有什么关系？为什么？

分析：BD=CD,因为AB=AC,所以这个4ABC是等腰，要证明D

是BC的中点，只要连结AD证明AD是高或是NBAC的平分线即可.

解：BD=CD

理由是：如图24-30,连接AD

：AB是。0的直径

ZADB=90°即ADXBC

又；AC=AB

.\BD=CD

三、巩固练习

1.教材P92思考题.

2.教材P93练习.

四、应用拓展

例2.如图，已知AABC内接于。0,/A、/B、NC的对边分别设为a,b,c,。。半

径为R,求证：---=——=--一=2R.

sinAsinBsinC

分析：要证明一^n二上h-二二c一二2R,只要证明—n，=2R,—h=2R,二c一二2R,

sinAsinBsinCsinAsinBsinC

即sinA=-±,sinB=—,sinC=—,因此，十分明显要在直角三角形中进行.

2R2R2R

证明：连接C0并延长交。。于D,连接DB

VCD是直径

.•.ZDBC=90°

又,:ZA=ZD

Be0

在RtZXDBC中，sinD=——，即2R=-----

DCsinA

同理可证：一hL=2R,—c—=2R

sinBsinC

sinAsinBsinC

五、归纳小结（学生归纳，老师点评）

本节课应掌握：

1.圆周角的概念；

2.圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都相等这条弧所

对的圆心角的一半；

3.半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90。的圆周角所对的弦是直径.

4.应用圆周角的定理及其推导解决一些具体问题.

六、布置作业

1.教材P95综合运用9、10、H拓广探索12、13.

2.选用课时作业设计.

第三课时作业设计

一、选择题

1.如图1,A、B、C三点在。0上，ZA0C=100°,则NABC等于().

A.140°B.110°C.120°D.130°

(1)(2)(3)

2.如图2,Zl>N2、N3、/4的大小关系是()

A.Z4<Z1<Z2<Z3B.Z4<Z1=Z3<Z2

C.Z4<Z1<Z3Z2D.Z4<Z1<Z3=Z2

3.如图3,AD是。。的直径，AC是弦，OB±AD,若0B=5,且/CAD=30°,则BC等于

().

A.3B.3+下>C.5--A/3D.5

2

二、填空题

1.半径为2a的。0中，弦AB的长为2月a,则弦AB所对的圆周角的度数是.

2.如图4,A、B是。。的直径，C、D、E都是圆上的点，则/1+/2=.

E

(4)(5)

3.如图5,已知AABC为。0内接三角形，BC=1,ZA=60°,则。0半径为

三、综合提高题

1.如图，弦AB把圆周分成1：2的两部分，已知。0半径为1,求弦长AB.

2.如图，已知AB=AC,ZAPC=60°

(1)求证：△ABC是等边三角形.

(2)若BC=4cm,求。0的面积.

3.如图，OC经过坐标原点，且与两坐标轴分别交于点A与点B,点A的坐标为(0,4),

M是圆上一点，ZBM0=120".

(1)求证：AB为。C直径.

(2)求。C的半径及圆心C的坐标.

答案:

>1.D2.B3.D

二、1.120°或60°2.903苴

3

三、1.右2.(1)证明：VZABC=ZAPC=60°，

又A3=AC,.-.ZACB=ZABC=60°,...△ABC为等边三角形.

(2)解：连结OC,过点。作ODLBC,垂足为D,

在Rt^ODC中，DC=2,Z0CD=30°,

设0D=x,则0C=2x,4x2-x2=4,.'.0C=—A/3

3

3.(1)略(2)4,(-273,2)

课题：24.1.1圆

【学习目标】

明确圆的两种定义、弦、弧等概念，澄清“圆是圆周而非圆面”、“等弧不

是长度

相等的弧”等模糊概念。.

【学习重、难点】“圆是圆周而非圆面”、“等弧不是长度相等的弧”等模糊概念

【预习案】

一、自主探究

1、举例说出生活中的圆。

2、你是怎样画圆的？你能讲出形成圆的方法有多少种吗？

二、自学指导

自学课本P78---P79贞思考下列问题：

1.分别用不同的方法作圆，标明圆心、半径，体会圆的形成过程。

2.圆的两个定义各是什么？

3.弄清圆的有关概念？怎样用数学符号表示？

【练习案】

一、自学检测

1、车轮为什么做成圆形的？

2、为什么说“直径是圆中最长的弦”？试说说你的理由.

3、什么是弦、直径、弧、半圆、等圆、等弧、优弧、弧劣?

4、什么是圆？

二、当堂检测

1.P80页练习1.2.

2.判断正误：

1）弦是直径（）

2）半圆是弧；（）

3）过圆心的线段是直径；（）

4）过圆心的直线是直径；（）

5）半圆是最长的弧；（）

6）直径是最长的弦；（）

7）圆心相同，半径相等的两个圆是同心圆；（）

8）半径相等的两个圆是等圆；（）

9）等弧就是拉直以后长度相等的弧。（）

归纳小结：

圆的概念

如图，在一个平面内，线段04绕它固定的从画圆的过程可以出：

一个端点0旋转一周，另一个端点A所形成的图（1）圆上各点到定点（圆心O）的距离都等

形叫做圆.于定长（半径r）；

固定的端点。叫做圆心（2）到定点的距离等于定长的点都在同一个

圆上.

线段。4叫做

半径