导数的综合问题教案 人教课标版

导数的综合问题

•知识梳理

.若函数()有导数，它的极值可在方程(()的根处来考查，求函数()的极值方法如

下：

()求导数(()；

()求方程/()的根；

()检查(()在方程/()的根的左右的值的符号，如果左负右正，那么函数()在这

个根处取得极小值；如果左正右负，那么函数。在这个根处取得极大值.

•设()是一多项式函数，比较函数在闭区间［,］内所有的极值，以及()和()，最大

者为最大值，最小者为最小值.

・点击双基

.(年江苏，)函数()一在闭区间［一，］上的最大值、最小值分别是

解析：f'()一,土，(一)一，()，()一,(―).

答案：

・函数()一在(，)内有极小值，则

«<

1

><—

2

解析：f()当〉，〈而〈时，适合题意.

答案：

.已知()-(为常数)在［一,］上有最大值，那么此函数在［一,］上的最小值是

.以上都不对

解析：f'()(-),()在(一，)上为增函数，在(，)上为减函数的，时，()最大.

,(一)一,()一.

答案：

.已知函数在一处有极大值，在处有极小值，则.

解析：'，一、是的两根，；.一，一.

答案：一

2

.设函数。一々一.若对任意6都有()>,则实数的取值范围是.

2

解析：『()---，，一一，

3

12221

(一)(--)—,()().

23272

.・.<L

2

7

答案：e（-8,L）

2

•典例剖析

【例】（年天津，）已知函数（）一在土处取得极值.

（）讨论（）和（一）是函数（）的极大值还是极小值；

（）过点（，）作曲线（）的切线，求此切线方程.

剖析：（）分析土处的极值情况，关键是分析土左右（（）的符号.

（）要分清点（，）是否在曲线上.

解：（）f（）一，依题意，（（）f'（-）,即[了+：?一：=?

[3a-2。-3=0.

解得，.

—,f（）—（）（一）.

令（（），得一，.

若G（—8,—）U（,OO）,则（（）＞,

故（）在（一8,—）上是增函数，（）在（,8）上是增函数.

若e则尸（）〈，故（）在（一，）上是减函数.

所以（一）是极大值，（）一是极小值.

（）曲线一，点（，）不在曲线上，设切点（，），则一.

•••/'（）一，

切线方程为一（一）（一）.

代入（，）得一（一）（一）.

解得一，，（一，一），切线方程为一.

评述：过已知点求切线，当点不在曲线上时，求切点的坐标成了解题的关键.

【例】（年天津，）已知函数（）（W）是上的奇函数，当时，（）取得极值一.

（）求（）的单调区间和极大值；

（）证明：对任意、G不等式（）-（）〈恒成立.

剖析：且（）是奇函数，

又是极值点，,/（），由此可得函数的解析式.

O解：由奇函数定义，

应有（一）—（）»G,---------------,

因此O,fO.

..[a+c=--2,

由题意知4

[3a+c=0.

解得，一.

（）一，f（）-（-）（）,f（-）f（）.

当e（-8,-）时，f（）＞,故（）在单调区间（-8,-）上是增函数,

当e（-,）时，f（）＜,故（）在单调区间（一，）上是减函数，

当G（,8）时，f（）＞，故（）在单调区间（,8）上是增函数.

（―°°,一）和（，8）为增区间；

（­'＞）为减区间，一时，（一）为极大值，

—时，（）一为极小值.

()(-),()

•••()在(一，)上是减函数，

••.对任意、e(一,),有一<()<>-<()<,

-<()-()<,即()一()<.

评述：由奇函数定义可知当时，则有()，即函数过原点.对于本题的第()问，用数形结

合法较为直观.

【例】设函数()在(-8,］上是增函数，在［,］上是减函数，是方程()的一个根.

()求的值；

()求证：()

剖析：由题知是极值点，那么另一个极值点在哪儿呢?是吗?不一定.会在的哪一侧呢？

解：()f'O.

V()在(-8,］上是增函数，在［,］上是减函数，

•••当时，()取到极大值.

()V(),(),

f'O的两个根分别为，一与，

•.•函数()在［,］上是减函数，

;.一网-.

3

()—()---3m》.

评述：此题学生往往错误地认为是另一个极值点.再证()》时，首先将()化成关于的

式子，知道的范围，便可证之.

【例】对于函数()(e)若同时满足下列两个条件，则称()为上的闭函数.

①()在上为单调函数；

②存在闭区间［,］=，使()在［,］上的值域也是［门.

()求闭函数一符合上述条件的区间［,］；

()若()一一，判断()是否为闭函数.

剖析：这是个知识迁移题，这类问题一般是考查学生的类比猜想能力、探索问题的能力.

解：()—,'—W.

函数一为减函数.

k即—3a3=b,

故

—=a.

"=所求闭区间为.

o=-1.

()f'()——•

由f()》，得》或W一.

由(()W,得一WW.

()在定义域内不是单调函数.故()不是闭函数.

评述：这类问题是近年高考命题的一个亮点，很能考查学生的分析问题、探索问题的潜

在的能力.

•闯关训练

夯实基础

・函数一在［一，］上的最大值为

解析：'一（一）.

由'及G［一门知或.

根据单调性知（）（）.

答案：

.函数（），其中、、为实数，当一〈时，（）是

.增函数.减函数

・常数.既不是增函数也不是减函数

解析：尸（）＞44a—＜,

"'（）＞,（）是增函数.

答案：

一的极大值是，极小值是.

解析：（）在（一8,一）和（，OO）上递减，在（一，）上递增，（一）一为极小值，（）

为极大值.

答案：一

.（年北京西城区模拟题）如果函数（）的导函数的图象如图所示，给出下列判断：

.Jv.

①函数（）在区间（一，一L）内单调递增；

2

②函数（）在区间（一■!■,）内单调递减；

2

③函数（）在区间（，）内单调递增；

④当时，函数（）有极小值；

⑤当一1时，函数（）有极大值.

2

则上述判断中正确的是.

答案：③

.如图所示，曲线段是函数（）（«）的图象，，轴于，曲线段上一点（,（））处的切线交

轴于，交线段于，

O试用表示切线的方程；

（）试用表示△的面积（），若函数（）在［,］上单调递减，试求出的最小值.

解：（）尸（），

切线的方程为

——(——),HP---.

()由()可求得(工，)，(,-),

2

1113

()△一(——)(一)——(«),'()——.令'()<,得《.

2244

考虑到即()的单调减区间为(，).

•••的最小值为.

.直线与函数()一的图象有三个互不相同的公共点，求的取值范围.

解：先求函数()的单调区间，由广()--得土.当〈一或>时，/()>;当一"时，f

.•.在(-8,—)和(,OO)上，()一是增函数；

在(一，)上，()一是减函数，由此可以作出()一的草图(如图).

由图可知，当且仅当一<<时，直线与函数()一的图象有三个互不相同的公共点.

培养能力

.已知函数()的图象在处的切线方程为一.

()求函数()的解析式；

O求函数O在［一，］上的最值.

解:()f'(),f'()2a—.①

又，一在()的图象上，

.♦.一.②

由①②得一，一，

()---.

()f()---,得—，—>(一),(—)——,(―)一,()一.

224

()的最大值为，最小值为一.

.已知实数〉，函数()(一)(G)有极大值.

O求实数的值；

()求函数()的单调区间.

解：()()(—)—,

:.f'()—4G.

由(),得一4a

—.

解得或2.

3

2

V>,.・,<］或〉时，fr()>；

：<<时，f()<.

7

・•・当士时，（）有极大值，即

3

8_168.

———,••.

2793

（）（）在（一8,±）和（,8）上是增函数，在（4,）上是减函数.

33

.已知（）-（＞）在土处有极值，且极大值为，极小值为，试确定、、的值.

解：已知（）一,

所以广（）一（一）.

根据题意广（）应有根土，

故5a.

所以f（）（-）.

因〉时，列表：

(—8,—)—(-,)(,8)

r()—

()/极大值/

4=/(-I)=-a+b+c,

由上表可见①

0=f())=a-b+c.②

①②得，

①一②得.

又5。，所以，，.

探究创新

.有点难度哟!

（年全国）用总长的钢条作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的一边比另

一边长，那么高为多少时容器的容积最大?并求出它的最大容积.

解：设容器底面短边长为，则另一边长为（），高为

14.8-4x-4（x+0.5）（）

由一＞和＞得＜＜.

设容器的容积为，

则有（）（一）（《）,

整理，得一.

令'，有一，即---.

解得或一/_（不合题意，舍去）.

15

从而在