《概率论与数理统计》期末试题与解答

《概率论与数理统计》期末试题与解答一、填空题（每小题3分，共15分）设,,，则至少发生一个的概率为_________.设服从泊松分布，若，则___________.设随机变量的概率密度函数为今对进行8次独立观测，以表示观测值大于1的观测次数，则___________.元件的寿命服从参数为的指数分布，由5个这种元件串联而组成的系统，能够正常工作100小时以上的概率为_____________.设测量零件的长度产生的误差服从正态分布，今随机地测量16个零件，得，.在置信度0.95下，的置信区间为___________.解：（1）得.（2）故..（3），其中.（4）设第件元件的寿命为，则.系统的寿命为，所求概率为（5）的置信度下的置信区间为所以的置信区间为（）.二、单项选择题（下列各题中每题只有一个答案是对的，请将其代号填入（）中，每小题3分，共15分）（1）是任意事件，在下列各式中，不成立的是（A）. （B）.（C）. （D）.（）（2）设是随机变量，其分布函数分别为，为使是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取（A）.（B）.（C）.（D）. （）（3）设随机变量的分布函数为，则的分布函数为（A）.（B）.（C）.（D）.（）（4）设随机变量的概率分布为.且满足，则的相关系数为（A）0.（B）.（C）.（D）.（）（5）设随机变量且相互独立，根据切比雪夫不等式有（A）.（B）.（C）.（D）.（）解：（1）（A）：成立，（B）：应选（B）（2）.应选（C）（3）应选（D）（4）的分布为X2X1–101–10000100，所以，于是.应选（A）（5）由切比雪夫不等式应选（D）三、（8分）在一天中进入某超市的顾客人数服从参数为的泊松分布，而进入超市的每一个人购买种商品的概率为，若顾客购买商品是相互独立的，求一天中恰有个顾客购买种商品的概率。解：设‘一天中恰有个顾客购买种商品’‘一天中有个顾客进入超市’则.四、（10分）设考生的外语成绩（百分制）服从正态分布，平均成绩（即参数之值）为72分，96以上的人占考生总数的2.3%，今任取100个考生的成绩，以表示成绩在60分至84分之间的人数，求（1）的分布列.（2）和.解：（1），其中由得，即，故所以.故的分布列为（2），.五、（10分）设在由直线及曲线所围成的区域上服从均匀分布，（1）求边缘密度和，并说明与是否独立.（2）求.y01e2xy=y01e2xy=1/xD的概率密度为（1）（2）因，所以不独立.（3）.六、（8分）二维随机变量在以为顶点的三角形区域上服从均匀分布，求的概率密度。yx+y=z10yx+y=z10–1xD1设的概率密度为，则1–1zy0y当1–1zy0y当时所以的密度为解2：分布函数法，设的分布函数为，则故的密度为七、（9分）已知分子运动的速度具有概率密度为的简单随机样本（1）求未知参数的矩估计和极大似然估计；（2）验证所求得的矩估计是否为的无偏估计。解：（1）先求矩估计再求极大似然估计得的极大似然估计，（2）对矩估计所以矩估计是的无偏估计.八、（5分）一工人负责台同样机床的维修，这台机床自左到右排在一条直线上，相邻两台机床的距离为（米）。假设每台机床发生故障的概率均为，且相互独立，若表示工人修完一台后到另一台需要检修的机床所走的路程，求.