概率论与数理统计历年考研试题

第3章数字特征（1987年、数学一、填空）设随机变量X的概率密度函数则E(X)=(),=(). [答案填：1；.]由X的概率密度函数可见X～N(1,),则E(X)=1，=.（1990年、数学一、填空）设随机变量X服从参数为2的泊松分布，且Z=3X-2,则E(X)=(). [答案填：4]（1990年、数学一、计算）设二维随机变量(X,Y)在区域D:0<x<1,|y|<x内服从均匀分布，求：（1）关于X的边缘密度函数;（2）随机变量Z=2X+1的方差。解：（1）由于D的面积为1，则(X,Y)的联合密度为

当0<x<1时，，其他情况下.（2）（1991年、数学一、填空）设X～N(2，）且P{2<X<4}=0.3,则P{X<0}=（）。 [答案填：0.2]

即,则（1992年、数学一、填空）设随机变量X服从参数为1的指数分布,则（）. [答案填：]（1995年、数学一、填空）设X表示10次独立重复射击命中目标的次数且每次命中率为0.4,则=（）。[答案填：18.4]X～B(10,0.4）,则（1996年、数学一、填空）设两个随机变量X与Y相互独立且均服从分布N(0,),则E|X-Y|=(). [答案填：]

令U=X-Y,则U～N(0,1),从而E|X-Y|=E|U|=

=（1996年、数学一、计算）设两个随机变量与相互独立且同分布，的分布律为P(=k)=,k=1,2,3,又X=max(,),Y=min(,).（1）写出(X,Y)的分布律;（2）求E(X).解：（1）(X,Y)的分布律如下：（2）X的边缘分布为:则E(X)=.（1997年、数学一、选择）设随机变量X与Y相互独立且D(X)=4,D(Y)=2,则D(3X-2Y)=().A.8B.16C.28D.44 [答案选：D]D(3x-2Y)=9D(x)+4D(Y)=44（1997年、数学一、计算）从学校乘汽车到火车站的途中有三个交通岗，设在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，其概率均为0.4，用X表示途中遇到红灯的次数，求X的分布律、分布函数和数学期望。解：显然X～B(3,0.4),其分布律为，i=0,1,2,3,分布函数为：，E(X)=（1998年、数学一、计算）设随机变量X与Y相互独立，均服从N(0,0.5)分布，求|X-Y|的方差。解：显然X-Y～N(0,1),则,而E|X-Y|=(见第102题），故|X-Y|=1-（2000年、数学一、计算）某流水生产线上每个产品不合格的概率为p（0<p<1)，各产品合格与否相互独立，当出现一个不合格产品时即停机检修。设开机后第一次停机时已生产了的产品个数为X,求E(X)和D(X)。解：记q=1-p,则X的概率分布为，i=1,2,…

则：（1987年、数学三、计算）设，求随机变量的期望。解：由，可知（1989年、数学三、计算）设与的联合密度为，求：，。解：，可知或（1991年、数学三、选择）若，则（ ）正确。与独立 与不独立 [答案选：].由得又可知.由得可知.由，得，得，可知与不相关，但未必独立。（1992年、数学三、计算）谋设备有三大部件构成，设备运转时，各部件需调整的概率为，若各部件的状态相互独立，求同时需调整的部件数的期望与方差。解：设{谋设备第个需调整的部件}且相互独立，，，，同时需调整的部件数的所有可能取值为由得（1993年、数学三、计算）设且与同分布，与独立，，求：（1）值；（2）的期望。解：（1）由设且与同分布，与独立，可知当时，即与相矛盾，因而，即，即即，即，（不合题意，舍去）（2）。（1994年、数学三、计算）由自动线加工的某种零件的内径（毫米）服从正态分布，内径小于10或大于12的为不合格品，其余为合格品，销售每件合格品获利，销售每件不合格品亏损，设销售利润（元）与销售零件的内径的关系为问平均内径取何值时，销售一个零件的平均利润最大？解：由，即且，可知由得令，即即即，平均内径取时，销售一个零件的平均利润最大。（1996年、数学三、计算）设一部机器在一天内发生故障的概率为，机器发生故障时，全天停止工作，一周五个工作日，若无故障，可获利10万元，若发生一次故障，仍可获利5万元，若发生两次故障，获利为零。若至少发生三次故障，要亏损2万元，求一周内的利润期望。解：设{一周共五个工作日，机器发生故障的天数}且则：所以一周内的利润期望为万元。（1997年、数学三、计算）游客乘电梯从底层到电视塔的顶层观光，电梯于每个整点的第5分钟、25分钟和55分钟，从底层起行，一游客在早八点的第分钟到达底层候梯处，且在上服从均匀分布，求该游客等候时间的数学期望。解：由到达时刻在上服从均匀分布，可知且等候时间（1997年、数学三、计算）两台同样的自动记录仪，每台无故障工作的时间服从参数为5的指数分布，先开动其中的一台，当发生故障时，自动停机，另一台自动开机。求：两台记录仪无故障工作的总时间的概率密度、期望值与方差。解：设{第台自动记录仪无故障的工作时间}，，与独立同分布，且，即，当时，当时，即为两台记录仪无故障工作的总时间的概率密度。。（1998年、数学三、计算）设一商店经销某种商品，每周的进货量与顾客对该商品的需求量是两个相互独立的随机变量，均服从区间上的均匀分布，此商店每售出一个单位的商品，可获利1000元，若需求量超过了进货量，可从其它商店调剂供应，此时售出的每单位商品，仅获利500元，求此商店经销这种商品每周获利的期望。解：设一商店经销某种商品的每周所获利润为元，据题意可知：当时，当时，即且所以此商店经销这种商品每周获利的期望是14167元。（1999年、数学三、填空）设随机变量独立同分布，，则的数学期望（ ）。（答案：）（2000年、数学三、填空）设随机变量在区间上服从均匀分布；随机变量则（ ）。 [答案填：]（1998年、数学四、填空）设一次试验的成功率为，进行100此独立重复试验，当（ ）时，成功次数的标准差的值最大，最大值为（ ）。（答案：）解：据题意可知，，即令，得且。（1987年、数学四、计算）设随机变量的概率分布为。（1）写出其分布函数； （2）求的期望与方差。解：（1）由，可知，当时，当时，当时，当时，即的分布函数。（2）。（1988年、数学四、计算）设十只同种电器元件中有两只废品，装配仪器时，从这批元件众任取1只，若是废品，则扔掉从新任取1只，若仍是废品，则在扔掉还取1只。求：在取到正品之前，已取出的废品数的概率分布、数学期望及方差。解：设事件{从10只电器元件中，任取一只，第次取到废品}在取到正品前，已取出废品数为随机变量，其所有可能取的值为，，，其概率分布如下：由得：。（1989年、数学四、计算）设随机变量与的联合分布为

求：（1）的概率分布；（2）的概率分布；（3）的数学期望。解：（1）由与的联合分布可知的概率分布如下：（2）的概率分布如下：

（3）的概率分布如下：

可知：（1989年、数学四、填空）设随机变量相互独立且，若，则（ ）。[答案填：46]解：由，可知；由，可知；由，可知相互独立（1993年、数学四、计算）设随机变量与相互独立，均在区间上服从均匀分布，引进事件，且。求：（1）值；（2）的数学期望。解：（1）由与在上均服从均匀分布，可知，当时由随机变量与相互独立，可知事件与也是相互独立的。与相矛盾，因而。当时，即，即或（2）。（1995年、数学四、填空）设，则（ ）。[答案填：]解：。（1997年、数学四、选择）设是随机变量且，则对任意常数，（ ）成立。[答案选：]由，得显然（1997年、数学四、计算）设且，求：（1）与的联合概率分布；（2）。解：（1）由，可知由，得，（2）又。（1998年、数学四、计算）设商店经销某种商品的每周需求量服从区间上的均匀分布，而进货量为区间中的某一个整数，商店每售一单位商品可获利500元，若供大于求，则削价处理，每处理一单位商品亏损100元，若供不应求，则从外部调剂供应，此时每售出一单位商品仅获利300元，求此商店经销这种商品每周进货量为多少，可使获利的期望不少于9280元。解：设一商店经销某种商品的每周进货量为且当时，当时，即且令，即，即，取。答：此商店经销这种商品每周进货量为21个单位，可使获利的期望不少于9280元。（1999年、数学四、填空）设随机变量服从参数为的泊松（Poisson）分布，且已知，则（ ）。 [答案填：1]（20XX年、数学四、计算）设随机变量X和Y的联合分布在以点(0,1),(1,0),(1,1),为顶点的三角形区域D上服从均匀分布，试求随机变量U=X+Y的方差。解：由条件可知(X,Y)的联合分布密度为：，则：同理，

又：，综上可知：

（1993年、数学一、计算）设

（1）求E(X),D(X)；（2）求X与|X|的协方差且判定二者是否不相关；（3）判断X与|X|是否相互独立。解：（1）由于X的密度为偶函数则E(X)=0,若设随机变量Y服从参数为1的指数分布，利用指数分布随机变量的均值及方差的有关结论不难知：

（2），即X与|X|不相关。（3）设0<a<+,则从而，但是

则，即知X与|X|不独立。（1994年、数学一、计算）设，其中求：（1）E(Z),D(Z);（2）；（3）X与Z是否相互独立？为什么？解：（1），

（2）

所以

（3）由于X,Z均为正态变量，故独立与不相关等价，则由知X、Z独立。（2000年、数学一、选择）设二维随机向量(X,Y)服从二维正态分布，则随机变量与不相关的充要条件为（）。

[答案选：B]（1991年、数学三、计算）设与在圆域上服从联合均匀分布，（1）求与的相关系数；（2）问与是否独立？解：（1）由与服从圆域上的联合均匀分布，即可知关于各自的边缘概率密度函数为：且（奇函数对称区间上的积分为0）因而且，即与的相关系数为0。（2）由及可知，即与不独立。（1995年、数学三、选择）设与独立且同分布,，则与必（ ）。.不独立 .独立 .相关系数不为零 .相关系数为零 [答案：选]由与相互独立且同分布，可知且由且得：由，得且而（1999年、数学三、计算）假设二维随机变量在矩形上服从均匀分布，记，（1）求和的联合分布；（2）求和的相关系数。解：由题设可得，（1）有四个可能取值：，，，（2）由以上可见以及和的分布为：，，于是，有，（2000年、数学三、证明）设是二随机事件，随即变量：，试证明随机变量和不相关的充要条件是与相互独立。证明：记，由数学期望的定义，可见现在求。由于只有两个可能取值和，可见从而因此即随机变量和不相关当且仅当事件与相互独立。（20XX年、数学三、选择）将一枚硬币重复掷n次，以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数，则X和Y的相关系数等于（）。A.–1B.0C.0.5D.1

[答案选：A]

由X+Y=n知：Y=n-X,显然二者负相关。(2000年、数学四、计算）设二维随机变量的密度函数为：其中和都是二维正态密度函数，且它们对应的二维随机变量的相关系数分别为和，它们的边缘密度函数所对应的随机变量的数学期望都是零，方差都是。（1）求随机变量和的密度函数和，及和的相关系数（可以直接利用二维正态密度的性质）。（2）问和是否独立？为什么？解：（1）由于二维正态密度函数的两个边缘密度都是正态密度函数，因此和的两个边缘密度为标准正态密度函数，故同理：由于，可见，随机变量和的相关系数（2）由题设所以和不独立。(1998年、数学四、计算）设一箱装有100件产品，其中一、二、三等品分别为80、10、10件，现从中任取一件，且，。求：（1）二元随机变量与的联合分布；（2）与的相关系数。解：设事件{从100件产品种任取一件是等品}，，据题意可知（1）事件与的联合分布如下：因而（2）关于的边缘概率分布如下：关于的边缘概率分布如下：因此因此（1999年、数学四、选择）设随机变量和的方差存在且不等于0，则是和（ ）。、不相关的充分但非必要条件 、独立的必要但非充分条件、不相关的充要条件 、独立的充要条件。[答案：选择]（20XX年、数学一、填空）设随机变量X的方差为2，则根据切比雪夫不等式有（）。 [答案填：]（1988年、数学三、计算）某保险公司经多年的资料统计表明，在索赔户中被盗索赔户占20%，在随意抽查的100家索赔户中被盗的索赔户数为随机变量。（1）写出的概率分布；（2）利用棣莫佛—拉普拉斯定理，求被盗的索赔户数不少于14户且不多于30户的概率的近似值。附表：解：（1）据题意，可知100家索赔