专题4.4正弦定理和余弦定理及其应用-高考数学一轮复习宝典（新高考专用）

第四章三角函数、解三角形专题4.4正弦定理和余弦定理及其应用1.掌握正弦定理、余弦定理及其变形.2.理解三角形的面积公式并能应用.3.能利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题．考点一利用正弦定理、余弦定理解三角形考点二正弦定理、余弦定理的简单应用知识梳理1．正弦定理、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理内容eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2Ra2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝c2＋a2－2cacosB；c2＝a2＋b2－2abcosC变形(1)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；(2)sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)；(3)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinCcosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)；cosB＝eq\f(c2＋a2－b2,2ac)；cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)2．三角形解的判断A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝bsinAbsinA<a<ba≥ba>b解的个数一解两解一解一解3．三角形中常用的面积公式(1)S＝eq\f(1,2)aha(ha表示边a上的高)；(2)S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)bcsinA；(3)S＝eq\f(1,2)r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)．常用结论在△ABC中，常有以下结论：(1)∠A＋∠B＋∠C＝π.(2)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．(3)a>b⇔A>B⇔sinA>sinB，cosA<cosB.(4)sin(A＋B)＝sinC；cos(A＋B)＝－cosC；tan(A＋B)＝－tanC；sin

eq\f(A＋B,2)＝cos

eq\f(C,2)；cos

eq\f(A＋B,2)＝sin

eq\f(C,2).(5)三角形中的射影定理在△ABC中，a＝bcosC＋ccosB；b＝acosC＋ccosA；c＝bcosA＋acosB.(6)三角形中的面积S＝eq\r(pp－ap－bp－c)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(p＝\f(1,2)a＋b＋c)).第一部分核心典例题型一利用正弦定理、余弦定理解三角形1．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由正弦定理知：得.故选：B2．在中，已知，则角为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由及余弦定理的推论，得，因为，所以.故选：B.3．在中，边长，，，则边长（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】在中，边长，，，由正弦定理得，所以.故选：C4．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，，则外接圆的半径为（

）.A． B． C． D．3【答案】A【详解】因为为锐角，所以.设外接圆的半径为，因为，所以.故选：A5．在中，，，，则的面积为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为，所以，则的面积为.故选：A题型二正弦定理、余弦定理的简单应用6．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.(1)求A；(2)若，求面积的最大值.【详解】（1）根据正弦定理及，得.∵，∴.∵，∴.（2）由（1）知，又，由余弦定理得，即，∵，∴，即，当且仅当时取等号.∴.∴的最大值为.7．如图，在中，的垂直平分线交边于点．（1）求的长；（2）若，求的值．【详解】解：（1）在中，，整理得，即，所以或．（2）因为，由（1）得，所以．在中，由余弦定理得．所以．由，得．在中，由正弦定理得，即，所以．8．在中，角所对的边分别为.(1)求；(2)若为锐角三角形，且，求的最大值.【详解】（1）由得，，或，所以或或；（2）由为锐角三角形，，根据正弦定理,所以,其中为锐角，.所以当即时，有最大值1.所以的最大值为.9．在中，，，．(1)求；(2)若角为钝角，求的周长．【详解】（1）在中，因为，所以，因为，，所以，由，得，解得（2）因为，为钝角，所以，由得，整理得，解得或（舍），所以.所以的周长为.10．已知，，分别为内角，，的对边，且．(1)求的值；(2)若面积为，求边上的高的最大值．【详解】（1）∵，∴，，，∴，∵，∴.（2）由面积为得：，而，∴∵边上的高为，∴，则，∵，∴，当且仅当时，取“=”，即的最小值为2．此时最大为．第二部分课堂达标一、单选题1．中，，则b等于（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】根据正弦定理可知，，则.故选：A2．在中，角对边为，且，则的形状为（

）A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形【答案】B【详解】因为，所以，即，所以，在中，由余弦定理：，代入得，，即，所以.所以直角三角形.故选：B3．设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为，所以，由，得，所以.故选：C.4．的内角所对的边分别为，若，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为，由正弦定理得.又，所以.因为，所以，故.故选：A.5．冬奥会会徽以汉字“冬”（如图1甲）为灵感来源，结合中国书法的艺术形态，将悠久的中国传统文化底蕴与国际化风格融为一体，呈现出中国在新时代的新形象､△ABD（如图乙），测得，若点C恰好在边BD上，请帮忙计算sin∠ACD的值（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由题意，在中，由余弦定理可得，，因为，所以，在中，由得，故选：C6．在平行四边形ABCD中，，，则该平行四边形的面积为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：设AC与BD交于点O，在中，，所以，故平行四边形ABCD的面积．故选：A．7．在中，已知，，若有唯一值，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】由于，，且，因为，若，则，由正弦定理可知，故为锐角，从而唯一，所以唯一，有唯一值，满足要求，若，则，从而唯一，唯一，有唯一值，满足要求，故选：D8．已知中，若，，的面积为，为边的中点，则的长度是（

）A． B． C．1 D．2【答案】B【详解】因为的面积为，所以有，由余弦定理可知：，因为为边的中点，所以，因为，所以，故选：B二、多选题9．平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，则（

）A． B．锐角三角形C．的面积为 D．的外接圆半径大于2【答案】CD【详解】，所以，由正弦定理得，故A错误；由余弦定理，得，所以角是钝角，故B错误；由，得，的面积为，故C正确；设的外接圆半径为，则，故D正确.故选：CD10．已知在中，角A，B，所对的边分别为且，，，则下列说法正确的是（

）A．或 B．C． D．该三角形的面积为【答案】BC【详解】由余弦定理得，所以，由正弦定理得，所以，由于，所以，所以，三角形的面积为，故BC选项正确，AD选项错误.故选：BC.三、填空题11．正四面体中，O为的重心，则．【答案】【详解】解法一：如图，不妨设正四面体的棱长为2，则，，∴．解法二：如图，由三余弦公式，，显然，，∴．12．在中，，，则的形状为．【答案】等边三角形【详解】由正弦定理，所以，代入得，∴，所以，三角形为等边三角形，故答案为：等边三角形．四、解答题13．已知内角的对边分别为，设.(1)求；(2)若的面积为，求的值.【详解】（1）原式化简可得：，整理得：，由正弦定理可得：，因此三角形的内角；（2），，，.14．在中，内角所对的边分别为.已知.(1)求；(2)若，且的面积为，求的周长.【详