2022-2023学年四川省宜宾市高一（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年四川省宜宾市高一(下)期末数学试卷

一、单选题(本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项)

1.函数/(%)=s讥2%的最小正周期为()

7T

A.2B.nC.27rD.4兀

2.某班有男生25人，女生20人，采用分层抽样的方法从这45名学生中抽取一个容量为9的

样本，则应抽取的女生人数为()

A.2B.3C.4D.5

3.已知复数z满足z(C+D=4i,则|z|=()

A.1B.<7C.AT3D.2

4.△ABC中，角4B,C对应的边分别为a,b,c,已知a=「，B=1,A=1,贝必=()

A.2AA7B.2C.CD.7-2

5.△ABC中，~BD=3DC，则而=()

133112

研

B研c

4-4-4-4-3-3-

6.已知函数f(%)=sin(s+0(3>0,|在<》的部分图象

如图所示，贝！Jtcmg=()

A.

B.

C.1

D.V3

3

7.^tana=—0<cr<TT,则sina+cosa=()

4

A11

5-B.3-C.D.

8.在△ABC中，AB=BC=AC=2,将△ABC绕直线4B旋转一周，得到的旋转体的表面积

为()

A.B.4，37rC.兀D.1643兀

二、多选题(本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求)

9.在△ABC中，已知B=30。，c=2,且AABC有两解，则6的取值可以是()

A.1B.V-2C.CD.2

io.已知向量运=(o,i),b=(37-3,2)-则下列结论正确的是()

A.(a+b)■(a-b)=-28B.\a+b\=6

C.向量1+方与万的夹角为看D.向量为+B在方上的投影向量为33

11.将函数=COS7TX的图象沿X轴向右平移上个单位，再将图象上所有点的横坐标扩大为

原来的3倍(纵坐标不变)，得到函数y=g(©的图象，则下列判断正确的是()

A.y=g(x+3为偶函数

B.y=g(x-》为奇函数

C.g(x)在(0,3)单调递减

D.g(l)+g(2)+g⑶+-••+9(2023)=?

12.在正方体力BCD中，E是侧面上一动点，下列结论正确的是()

A.三棱锥4-BCE的体积为定值

B.若A\E〃B、C,则&E1平面ABC1

C.若A/1B]E,贝以亦与平面BiCE所成角为?

D.若BiE〃平面贝第亚与4B所成角的正弦最小值为殍

三、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.已知向量为=(1,1),b=(m,-2)，若五//B，则m=.

14.设zeC,且|z|W2,在复平面内z对应的点形成的图形的面积为.

15.数据X1，%2,…，马的方差为2,则数据2巧+1,2X2+1，…，2xn+1的方差为____.

16.已知力，B,C为球。的球面上的三个点，且4B1BC,球心。到平面4BC的距离为/攵,

若球。的表面积为12兀，则三棱锥。-4BC体积的最大值为.

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题10.0分)

设a为第二象限角，sina=?.

(1)求tcma的值;

„2sin(7t-2a'),,

(2)求病后高暮石的值，

18.(本小题12.0分)

某物业管理公司为了解小区住户对其服务管理水平的满意度，从4B两个小区住户中各随机

抽取50户参与满意度测评，根据住户的测评分数，得到4小区住户的满意度评分的频率分布

直方图和B小区住户的满意度评分的频数分布表.

满意度评分分组[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100)

频数51215108

(1)求a,并估计力小区住户的满意度评分的50%分位数；

(2)根据频率分布直方图，计算力小区住户的满意度评分的平均数；

(3)根据小区住户的满意度评分，将住户的满意度从低到高分为三个等级

满意度评分低于70分70分到90分不低于90分

满意度等级不满意满意非常满意

根据样本数据，估计哪个小区住户非常满意的百分比大？说明理由.

19.(本小题12.0分)

已知函数/'(x)=2Hstnx-sin(1+%)+2cos2K—1.

(1)求f(x)的单调递增区间；

(2)若Xe[-旌],求/(x)的值域.

20.(本小题12.0分)

如图，在四棱锥P—48CD中，底面48CD是正方形，E为PD的中点.

(1)证明：PB〃平面ACE；

(2)已知PC=CD=PD=2,乙4cp=45。，求二面角C-AP-D的余弦值.

21.(本小题12.0分)

△力BC中，角4B,C对应的边分别为a,b,c,已知s讥力s讥(B-C)=sinBs出(C一A).

(1)证明：2c2=a2+b2；

(2)若c=2,SAABC-求Z_C.

22.(本小题12.0分)

如图，在几何体ABCDEF中，平面ACE_L平面4BCD,四边形力BCD是平行四边形，N4CB=90°,

EF//BC.

(1)求证：CE1EF；

(2)若AC=BC=2，2，EF=/攵，AE=EC=2,G为OE上一动点，求直线CG与平面力BF所

成角的正弦值的取值范围.

/卜

B'r

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：sin2x—sin(2x+2TT)=sin2(x+zr),

•1•f(%)=S讥2久满足f(久)=f(x+7T),

由正切函数的定义可得，函数/'(X)=sin2x的最小正周期为兀.

故选：B.

利用三角函数的诱导公式结合正切函数的定义求得函数/(尤)=s讥2%的最小正周期.

本题考查三角函数的周期的求法，是基础的定义题.

2.【答案】C

【解析】解：根据分层抽样法从45人中抽取容量为9的样本，应抽取的女生人数为9x,=4.

故选：C.

根据分层抽样原理计算即可.

本题考查了分层抽样原理应用问题，是基础题.

3.【答案】D

【解析】解：z(V"~^+i)=4i,

则z=V3+t

4/

故团=1内|0+—1|=-2=2•

故选：D.

根据已知条件,结合复数模公式，即可求解.

本题主要考查复数模公式，属于基础题.

4.【答案】D

【解析】解：由正弦定理有：急=焉

__2

asinB_

b-

sinAtI

2

故选：D.

由正弦定理直接计算即可.

本题考查正弦定理的应用，属于基础题.

5.【答案】A

【解析】解：因为前=3万乙

所以前=|BC,

3

+-

故而=AB+JD=AB4BC=AB+-（AC-AB）=-AB+-AC.

故选：A.

根据已知条件，结合平面向量的线性运算，即可求解.

本题主要考查平面向量的线性运算，属于基础题.

6.【答案】B

【解析】解：由图象可知，。7=善玉=『可得7=兀，

41Zo4

则3=竿=2,

又/（%）过点篇0），

C.-T7-

则sin（2X—+（/））=0,

又i@V，

则0建，

所以tcmg=tan7=

63

故选：B.

根据图象可得函数/（%）的周期，进而求得3,再由/（乃过点（瑞,0）,结合0的范围，可得0的值,

进而得解.

本题考查三角函数的图象及性质，考查数形结合思想以及运算求解能力，属于基础题.

7.【答案】C

【解析】解：因为tcma=也竺=-p0<a<IT,

cosa4

所以s讥a>0,cosa<0,

3

所以sin2a+cos2a=(--coscr)2+cos2a=1,

4

解得cosa=-3或2(舍去),可得sizia=(―x(―=卷，

所;以sina+COSOL=——+—=——.

故选：C.

由己知利用同角三角函数基本关系式即可求解.

本题考查了同角三角函数基本关系式在三角函数求值中的应用，属于基础题.

8.【答案】B

C

【解析】解：AABC中，AB=BC=AC2,人

将△ABC绕直线4B旋转一周，得到的旋转体是两个圆锥体的组合体，如图所示：/H\\

因为圆锥底面圆的半径为C。=2s讥亨=4t向/

所以几何体的表面积为S=2兀x2=4「兀.X/

C

故选：B.

△ABC绕直线4B旋转一周，得到的旋转体是两个圆锥体的组合体，由此求出几何体的表面积.

本题考查了圆锥的侧面积计算问题，是基础题.

9.【答案】BC

【解析】解：•・•△4BC有两解，

•••csinB<b<c,

即2X]<6<2,

■■■Kb<2,

b的取值可以是，2，？.

故选：BC.

由三角形解的个数知识得到不等式即可.

本题考查三角形解的个数问题，属于基础题.

10.【答案】BD

【解析】解：已知向量3=(0,1),另=(3「,2)，

则五+1=(3，3,3)，a-b=(-3AT3,-1)>

对于选项A,(a+b)-(a-b)=3y/~3x-3x(-1)=-24，即选项A错误；

对于选项8,|万+石|=J(31^)2+32=6,即选项B正确；

对于选项C,cos<W+1,五>=警察=磊=:，即向量五+京^的夹角为点即选项C错误;

|a+d||a|0X1zJ

对于选项。，向量1+B在五上的投影向量为等密2=3落即选项。正确.

I可1可

故选：BD.

由平面向量数量积的坐标运算，结合平面向量的夹角及模的运算求解即可.

本题考查了平面向量数量积的坐标运算，重点考查了平面向量的夹角及模的运算，属基础题.

11.【答案】AD

【解析】解：将函数/'(久)=COS7TX的图象沿无轴向右平移六个单位，可得y=cos(兀久-的图象，

再将图象上所有点的横坐标扩大为原来的3倍(纵坐标不变)，得到函数y=g(x)=cos/x-9的

图象.

由于y=gQ+今=cos号工,显然它是偶函数，故A正确.

由于y=g(x-今=cos/x-5)，是非奇非偶函数，故2错误.

在(0,3)上，畀_旌(_1用)，函数gQ)没有单调性，故C错误.

27r

由于函数9(%)的最小正周期为〒=6,

3

、,•")、_兀冗［TC

g(l)+।g(2)+1g(3)4I—+1g(,6)=cos—+Icos—+cos-57-r+.cos-7-7-r+lcos—37r+cos-11-T-T=cos—+

。乙oo乙oo

Ti,57r,n,3TT57r八

cos-+cos—+COS7+cos———cos—=0,

26626

2023=6x337+1,

g(l)+g(2)+g(3)+…+g(2023)=337x0+/(I)=0+cos'=殍，故。正确.

故选：AD.

由题意利用函数y=4s讥(3X+R)的图象变换规律，求得g(x)的解析式，再利用余弦函数的周期

性求得要求式子的值.

本题主要考查函数y=4s出（3比+"）的图象变换规律，利用余弦函数的周期性求函数的值，属于

中档题.

12.【答案】ACD

【解析】解：对a选项，的面积一定，

又侧面4DD14〃侧面BCC/i，且E是侧面力DD14上一动点，

E到侧面BCG%的距离为定值，

二三棱锥/-BCE的体积为定值，4选项正确；

对B选项，如图，若A、E〃B\C,则瓦点在线段4D上，不包含4点,

・•・&E在上底面的射影为而&G与不垂直，

根据三垂线定理可知&E与41Q不垂直，

&E与平面&BC1不垂直，B选项错误；

对C选项，如图,若也，当如,

则根据三垂线定理可知：4Di垂直于4E在侧面力。2A内的射影,

而当在侧面4DD1&内的射影为4,且AD】1ArD,

・•.E点在线段上，

与平面BiCE所成角即为与平面B1CD4所成角，

又DC1平面BCC/i，BGu平面8"出，

BC11.DC,又BC[工B[C,S.DCClBrC=C,

BC]_L平面设8clnB^C=P,

则4/与平面B1CD4所成角为NBA/,

在RtAB4]P中，易知AiB=2BP,

sinZ-BA-^P=/-BAIP=

力1万Zo

故A/与平面/GE所成角为也C选项正确;

对。选项，如图，连接4%,ABr,BE，

则易证平面AZA〃平面BOG，

又E是侧面上一动点，且BiE〃平面BDQ,

••.E在线段也上，又4B〃4/i，

BiE与AB所成角为BiE与&&所成角，即为N&BiE,

又在Rt△&B1E中，tan乙。媪，又&的长度不变,

・•・当ZiE的长度最小时，即E为/1。与AD1的父点时,

-11

tan乙4/iE最小，乙4/任最小，此时/2-

xV2A1B1,

•••tan乙4$iE最小值为，*=

••.sin/A/iE最小值为色=?，；.。选项正确.

故选：ACD.

根据三棱锥的体积公式，三垂线定理，线面角的概念，面面平行的性质，异面直线所成角的概念,

对各个选项分别求解即可.

本题考查三棱锥的体积公式的应用，三垂线定理的应用，线面角的概念，面面平行的性质的应用，

异面直线所成角的概念，化归转化思想，属中档题.

13.【答案】-2

【解析】解：向量五=(1,1),b=a//b，

则1x(-2)=m,解得m=-2.

故答案为：-2.

根据已知条件，结合向量共线的性质，即可求解.

本题主要考查向量共线的性质，属于基础题.

14.【答案】47r

【解析】解：zee,且|z|W2,复平面内z对应的点形成的图形为以(0,0)为圆心，2为半径的圆,

以及内部区域，

故所求面积为兀x22=47r.

故选：47T.

根据已知条件，结合复数的几何意义，即可求解.

本题主要考查复数的几何意义，属于基础题.

15.【答案】8

【解析】解：设原数据的平均数为，则新数据的平均数为21+1,

222

则原数据的方差为;[(%!-X)+(X2-X)+...+(Xn-X)]=2,

22

则新数据的方差为q[(2%i+1—2%—1)2+(2%2+1—2%—1)+...+(2xn+1—2x—l)]=4x

i———

22

~[(%1-%)2+(%2-%)+...+(%n—%)]=8.

故答案为：8.

根据方差的计算公式可解.

本题考查方差的计算公式，属于中档题.

16.【答案】卓

【解析】解：,•・4，B,C为球。的球面上的三个点，且4B18C,

.•.过4,B,C三点的截面小圆的圆心。1为4c中点，

设4B=zn,BC=n,截面小圆01为的半径为2r,球。的半径为R,

则AC=2r,m2+n2=(2r)2,且球心0到平面4BC的距离为。01=yf2,

又球。的表面积为4兀7?2=12兀，；.R=/马，

.­.r=JR2-(00I)2=V3-2=1,•••m2+n2=4,

•，•A4BC的面积SAABC=^MNW[x(m2+n2)=1,(当且仅当m=n=，^取等)，

・•.△ABC的面积的最大值为1,又球心。到平面ABC的距离为。。1=/攵，

••・三棱锥。—48C体积的最大值为gxlx<7=^.

故答案为：£?.

根据球的表面积公式，重要不等式，三棱锥的体积公式，即可求解.

本题考查球的截面问题，三棱锥的体积的最值的求解，重要不等式的应用，属中档题.

17.【答案】解：(I)：a为第二象限角，sina=

「------2V~~5

•••cosa=—V1—sinza=------，

,sina1

tcincc=-----=一

cosa2

2sin(7r—2a)2sin2a4sinacosa4tana4

⑵2s(2a+sin2g-a)=2s讥2a+cos2a=2s讥2a+cos2a=Ztan^a+l=一王

【解析】(1)根据角的范围，利用同角三角函数基本关系式即可求解.

(2)利用诱导公式，同角三角函数基本关系式即可化简求值得解.

本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算

能力和转化思想，属于基础题.

18.【答案】解：(1)由题知：(2a+0.005+0.013+0.030+0,012)X10=1,

解得a=0.020,

设力小区住户的满意度评分的50%分位数为6，

则0.05+0.13+0.2+0.03X(m-70)=0.5,解得m=74,

2小区住户的满意度评分的50%分位数为74.

(2)4小区住户的满意度平均数为

%=45X0,05+55X0.13+65X0.2+75X0.3+85x0.2+95x0.12=73.3.

(3)4小区住户评分不低于9(0分)的频率为12%；

8小区住户评分不低于9(0分)的频数为8,频率为。=16%,

所以估计B小区住户非常满意的百分比大.

【解析】(1)由频率分布直方图中所有小矩形的面积和为1，求出a,进而求出50%分位数；

(2)由频率分布直方图求平均值；

(3)由频率分布直方图求频率.

本小题考查运用样本对总体进行估计，查由频率分布直方图求频率、平均值，考查频率公式，频

数，百分位数，同时也考查数据分析处理、数学运算等数学核心素养.

19.【答案】解：⑴由题意可得/(%)=2y/~3sinxcosx+cos2x=y/~3sin2x+cos2x=2sin(2x+》

令一?+2/CTT<2x+，工1+2/CTT,kEZf

所以一g+knW%Wg+kn,

3o

所以/'(久)的单调递增区间为［*+Mr*+时，k€Z；

⑵因为一花工恭，

所以*W2x+牌今

一？Wsin(2x+^)<1>

所以</(无)<2,

所以f(x)在％£［-屋］上的值域为［一/看,2］.

【解析】(1)利用三角恒等变换化简函数解析式，再利用正弦函数的单调性求解即可；

(2)由％的取值范围，由正弦函数的性质求出最值，即可求得值域.

本题主要考查三角函数恒等变换，正弦型函数的单调性与最值，考查运算求解能力，属于中档题.

20.【答案】解：(1)证明：连接4G，记4CnBD=。，连接E。,

因为4BCD是正方形，

所以。为的中点.

又因为E为2P的中点，

所以PB〃OE,

又因为OEu平面力EC,PBC平面4EC,

所以PB〃平面4CE.

(2)在AAPC中，PC=2,AC=NHCP=45。，

所以P4=2,

所以P4=PB=2,宗

取P力中点M,连接OM,DM,

所以DM1PA且DM=C，/D

因为”2cP2=AC2,sr

+DBC

所以PC1PA,

又因为0,M分别为AC,P4的中点，

所以。M〃PC且。M=1,

所以。M1PA.

所以二面角C-AP一。的平面角为NOMD,

在AOMD中，OM=1,MD=V_3>OD=2,

所以二面角C一4P-D的余弦值为

【解析】(1)连接4C1，记acnBO=。，连接E。，根据题意可得。为B0的中点，E为4P的中点，

由中位线定理可得PB〃。m再由线面平行的判定定理，即可得出答案.

(2)取P4中点M,连接OM,DM,则。Ml24且DM=门，由力P?+CP2=人。2,贝曲。j.pa,

又0,M分别为AC,PA的中点，进而可得。M〃PC且。M=1,推出二面角C—AP-D的平面角为

Z-OMD,进而可得答案.

本小题考查线面平行判定，二面角定义及判断等基础知识，考查逻辑推理、空间想象能力，考查

数学运算、直观想象等数学核心素养，属于中档题.

21.【答案】解：(1)因为sinIsin(B=C)=sinBs讥(C-4),

即sin(B+C)sin(B—C)=sin(C+4)sin(C-A),

贝!J(si7iBcosC+cosBsinC^sinBcosC—cosBsinC)=(sinCcosA+cosCsinA)(sinCcosA—

cosCsinA),

・••sin28cos2。—cos2Bsin2C=sinzCcos2A—cos2CsinzA,

・•・sin2B(l—sin2C)—(1—sin2B)sin2C=sin2c(1—sin2A)—(1—sin2C)sin27l,

••・sin2B—sin2Bsin2C—sin2c+sin2Bsin2C=sin2c—sin2Csin2^4—sin27l+sin2Csin2A,

则siMB—sin2c=sin2c—sin2i4,

所以2si?12c=sin2A+sin2B,

由正弦定理可得：2c2=a2+b2；

(2)因为2c2=小+庐，。=2,

所以M+万2=g,

又因为=小+川_2abcosC,

得abcosC=2,①

又因为S—BC=3absinC=V_3,

则absinC=2V"3,②

由您得tcmC=V_3,

又因为0VC<7T,所以

【解析】(1)将条件式用三角恒等变换知识化简后由正弦定理即可证明；

(2)由余弦定理和条件可得abcosC=2,再由三角形的面积公式得abs讥C=27"豆，两式相除可求

得