杭州科技职业技术学院

杭州科技职业技术学院教案教师姓名课程名称应用高等数学授课对象授课日期课时2课型理论课（新授）教学内容不定积分的概念及其性质教学目的和规定掌握原函数与不定积分的概念及性质;纯熟掌握基本积分公式.教学重点不定积分概念基本积分公式及应用.教学难点基本积分公式及应用.教学组织形式问题驱动、讲练结合（启发式教学，让学生积极学习）教学辅助手段多媒体辅助教学课外作业按作业册规定布置课后小结授课重要内容Ⅰ.课题导入,问2x的本来的函数?Ⅱ．讲授新课一、不定积分的概念1．原函数的概念定义1设是定义在某区间的已知函数，若存在函数，使得或,则称为的一个原函数．例由于，故是的一个原函数；由于，所以是的一个原函数，但，所以的原函数不是惟一的．原函数说明：第一，原函数的存在问题：假如在某区间连续，那么它的原函数一定存在(将在下章加以说明)．第二，原函数的一般表达式：前面已指出，若存在原函数，就不是惟一的，那么，这些原函数之间有什么差异？能否写成统一的表达式呢？对此，有如下结论：定理：若是的一个原函数，则是的所有原函数，其中为任意常数。证由于，又，所以函数族中的每一个都是的原函数。另一方面,设是的任一个原函数，即，则可证与事实上，由于所以，或者，这就是说的任一个原函数均可表达成的形式。这样就证明了的全体原函数刚好组成函数族。2.不定积分的概念定义2：函数的全体原函数叫做的不定积分，定积分，记为，其中,上式中的叫做积分变量，叫做被积函数，叫做被积表达式，叫做积分常数，“”叫做积分号。例1求下列不定积分：（1）； （2）； （3）．解（1）由于，所以.（2）由于，所以.（3）由于时，，又时，，所以例2设曲线过点（1，2）且斜率为，求曲线方程．解设所求曲线方程为．按，故．又由于曲线过点（1，2），故代入上式，得，于是所求方程为.例3设某物体运动速度为，且当时，，求运动规律．解按题意有，即，再将条件时代入得，故所求运动规律为

积分运算与微分运算之间的互逆关系：（1）或（2）或基本积分公式由于求不定积分是求导数的逆运算，所以由导数公式可以相应地得出下列积分公式：(1)(为常数)，(2)（），(3)，(4)，(5)，(6)，(7)，(8)（9)，(10)，(11)，(12)，(13).二、不定积分的性质性质1被积函数中不为零的常数因子可提到积分（）.性质2两个函数代数和的积分，等于各函数积分的代数和，即.例4求下列不定积分：（1） (2)； (3)．解（１）.（２）.（３）．例5求下列不定积分:（１）；（２）．解（1）（２）例6求下列不定积分：(1)；(2)．解(1)=(2)例7设求．解由于，所以，故知是的原函数，得.=3\*ROMANIII、课堂练习P66.习题4-11，2，3，4=4\*ROMANIV、小结1.基本积分公式2.不定积分的性质=5\*ROMANV、布置作业见作业册第四章第一讲作业杭州科技职业技术学院教案教师姓名课程名称授课对象授课日期课时2课型理论课（新授）教学内容第二节不定积分的换元积分教学目的和规定掌握不定积分的第一换元积分法教学重点不定积分的第一换元积分法教学难点解第一类换元积分法教学组织形式问题驱动、讲练结合（启发式教学，让学生积极学习）教学辅助手段多媒体辅助教学课外作业按作业册规定布置课后小结授课重要内容Ⅰ.课题导入不能直接积分，怎么办？Ⅱ.讲授新课一、换元积分法（一）第一换元积分法(凑微分法)例1求.解被积函数是复合函数，不能直接套用公式我们可以把原积分作下列变形后计算.直接验证得知，计算方法对的。例2求．解注意到被积式中具有项,而余下的部分恰有微分关系：。于是类似于例1,可作如下变换和计算：上述解法的特点是引入新变量,从而把原积分化为关于的一个简朴的积分，再套用基本积分公式求解,现在的问题是，在公式中，将换成了,相应得到的公式是否还成立?回答是肯定的,我们有下述定理：定理假如，则其中是的任一个可微函数。证由于,所以．根据微分形式不变性,则有：．其中是的可微函数，由此得这个定理非常重要，它表白：在基本积分公式中，自变量换成任一可微函数后公式仍成立。这就大大扩充了基本积分公式的使用范围．应用这一结论，上述例题引用的方法,可一般化为下列计算程序：这种先“凑”微分式，再作变量置换的方法，叫第换一元积分法，也称凑微分法．例3求.解设得,（二）几种类型a,b均为常数，且a¹0.例4求例4求例例5求3.运用三角函数的恒等式.例6求4.运用代数恒等式例例7求小结用第一换元积分法求不定积分的环节是：凑微分法运用时的难点在于原题并未指明应当把哪一部分凑成,这需要解题经验，假如记熟下列一些微分式,解题中则会给我们以启示。．下面的例子,将继续展示凑微分法的解题技巧。例6求下列积分：(1)(2)(3)(4)(5)(6)解（1）=类似得(2)(3)类似得(4)(5)类似得(6)．本题六个积分此后经常用到，可以作为公式使用。例7求下列积分：(1)(2)(3)(4)(5)(6)．解本题积分前，需先用代数运算或三角变换对被积函数做适当变形．（1）（２）（３）（４）（５）（６）（积化和差）例8计算积分解一解二由于所以本题说明，选用不同的积分方法，也许得出不同形式的积分结果。=3\*ROMANIII、课堂练习习题4-21.（1）--（16），2.=4\*ROMANIV、小结换元积分法=5\*ROMANV、布置作业见作业册第四章第二讲作业杭州科技职业技术学院教案教师姓名课程名称应用高等数学授课对象授课日期课时2课型理论课（新授）教学内容不定积分的分部积分法教学目的和规定掌握不定积分的分部积分法教学重点分部积分法的三种情形教学难点分部积分法的运用教学组织形式问题驱动、讲练结合（启发式教学，让学生积极学习）教学辅助手段多媒体辅助教学课外作业按作业册规定布置课后小结授课重要内容Ⅰ.课题导入形如，以前的方法都不能解，要引入新的方法。Ⅱ.讲授新课一、分部积分法设函数,具有连续导数，根据乘积微分公式有移项得两边积分得该公式称为分部积分公式，它可以将求的积分问题转化为求的积分，当后面这个积分较容易求时，分部积分公式就起到了化难为易的作用。例1求解设于是代入公式有====注：本题若设则有及，代入公式后，得到=,新得到积分反而比原积分更难，说明这样设是不合适的，由此可见，运用好分部积分关键是恰本地选择好和，一般要考虑如下两点：（1）要容易求得（可用凑微分法求出）；（2）要比容易积出。例2求.解==当熟悉分部积分法后，及可心算完毕，不必具体写出．例3求.解=例4.求.解将再次出现的移至左端，合并后除以2得所求积分为小结：下述几种类型积分，均可用分部积分公式求解，且的设法有规律可循．(1)，，，可设；(2)，，，可设，，；(3)，，可设，.说明：（1）常数也视为幂函数．（2）上述情况换成多项式时仍成立．例5.求.解先换元，令,则．当熟悉分部积分法后，及可心算完毕，不必具体写出．原式==--=-=.例6.求.解换元，令，则及．原式.例7.用多种方法求.解一分项，凑微分．=.解二令，则=.解三令=,则=解四令=.解五分部积分==.二、简朴有理式的积分（选学内容）有理分式是指两个多项式之比，即，这里与不可约．当的次数高于的次数时，是真分式，否则为假分式．运用多项式除法，总可把假分式化为一多项式与真分式之和，例如多项式部分可以逐项积分，因此以下只讨论真分式的积分法。一般真分式的积分方法：（1）将分母分解为一次因式（也许有重因式）和二次质因式的乘积（2）把该真分式按分母的因式，分解成若干简朴分式（称为部分分式）之和（3）简朴分式的积分。化真分式为部分分式之和举例说明：分母具有单因式时，这时分解式中相应有一项，其中A为待定系数．例如=．为拟定系数,我们用乘等式两边，得,由于这是一个恒等式，将任何值带入都相等.故可令,得,即．类似地，令,得，即=；令,得，即。于是得到==.(2)当分母具有重因式时，这时部分分式中相应有n个项：例如.为拟定系数A，B，C，将上式两边同乘以得,令,得；再令,得；令,得代入已求得的A，B值，得.所以.（3）当分母中具有质因式，这时部分分式中相应有一项.例如.为拟定待定系数，等式两边同乘以，得,令得即；再令得,即；令,得,即．所以（4）当分母具有因式时，这种情况积分过于繁复，略去不讨论了。有理真分式的积分：有理真分式的积分大体有下面三种形式:前两种积分，简朴凑微分法即可获解，下面举例说明（3）式的积分方法。例8.求积分.解改写被积分函数分子为,(注意:括号内正好是分母的导数.=)于是===-=-.例9.求.解由前面的情况（2）知，.所以==.例10.求．解被积函数是真分式，分母中为二次质因式，所以将等式两边同乘以，得分别令-，得=；得，即;,得,求得．所以.于是===.说明：（1）有些不定积分，如等，虽然这些不定积分都存在，却不能用初等函数表达所求的原函数，这时称“积不出”.（2）在工程技术问题中，我们还可以借助查积分表来求一些较复杂的不定积分，也可以运用数学软件包在计算机上求原函数。=3\*ROMANIII、课堂练习习题4-3.1-16．=4\*ROMANIV、小结分部积分法=5\*ROMANV、布置作业见作业册第四章第三讲作业.杭州科技职业技术学院教案教师姓名胡桐春课程名称应用高等数学（上）授课对象应用电子技术0801、0802授课日期2023年11月1课时2课型理论课（新授）教学内容不定积分习题课教学目的和规定掌握不定积分方法教学重点积分法的三种情形教学难点分部积分法教学组织形式问题驱动、讲练结合（启发式教学，让学生积极学习）教学辅助手段多媒体辅助教学课外作业按作业册规定布置课后小结授课重要内容例3求解设于是代入公式有====注：本题若设则有及，代入公式后，得到=,新得到积分反而比原积分更难，说明这样设是不合适的，由此可见，运用好分部积分关键是恰本地选择好和，一般要考虑如下两点：（1）要容易求得（可用凑微分法求出）；（2）要比容易积出。例4.求.解==当熟悉分部积分法后，及可心算完毕，不必具体写出．例5.求.解=例6.求.解将再次出现的移至左端，合并后除以2得所求积分为小结：下述几种类型积分，均可用分部积分公式求解，且的设法有规律可循．(1)，，，可设；(2)，，，可设，，；(3)，，可设，.说明：（1）常数也视为幂函数．（2）上述情况换成多项式时仍成立．例7.求.解先换元，令,则．当熟悉分部积分法后，及可心算完毕，不必具体写出．原式==--=-=.三、课堂练习复习题四1-5四、小结五、布置作业P761.2.3.4.5.杭州科技职业技术学院教案教师姓名课程名称应用高等数学授课对象授课日期课时2课型理论课（新授）教学内容第一讲定积分的概念和性质教学目的和规定纯熟掌握定积分的背景，定积分的概念；掌握定积分的几何意义，定积分的性质。教学重点1．定积分的背景；2.定积分的概念；3．定积分的几何意义；4.定积分的性质教学难点定积分的概念；定积分的性质教学组织形式问题驱动、讲练结合（启发式教学，让学生积极学习）教学辅助手段多媒体辅助教学课外作业按作业册规定布置课后小结授课重要内容Ⅰ.课题导入一、定积分的实际背景1.曲边梯形的面积曲边梯形面积的拟定方法：把该曲边梯形沿着y轴方向切割成许多窄窄的长条，把每个长条近似看作一个矩形，用长乘宽求得小矩形面积，加起来就是曲边梯形面积的近似值，分割越细，误差越小，于是当所有的长条宽度趋于零时，这个阶梯形面积的极限就成为曲边梯形面积的精确值了.如下图所示：yOMPQ曲边梯形面积的拟定方法：把该曲边梯形沿着y轴方向切割成许多窄窄的长条，把每个长条近似看作一个矩形，用长乘宽求得小矩形面积，加起来就是曲边梯形面积的近似值，分割越细，误差越小，于是当所有的长条宽度趋于零时，这个阶梯形面积的极限就成为曲边梯形面积的精确值了.如下图所示：yOMPQNBxCAA推广为曲边梯形面积的拟定环节：(1)分割任取分点,把底边[a,b]提成n个社区间,(.社区间长度记为(2)取近似在每个社区间[]上任取一点竖起高线,则得小长条面积的近似值为();(3)求和把n个小矩形面积相加(即阶梯形面积)就得到曲边梯形面积A的近似值;(4)取极限令社区间长度的最大值趋于零,则和式的极限就是曲边梯形面积A的精确值，即2．变速直线运动的路程设某物体作直线运动，已知速度是时间间隔[]上的连续函数，且≥0，要计算这段时间内所走的路程.解决这个问题的思绪和环节与上例类似：(1)分割任取分点，把[]提成个小段，每小段长（）2)取近似把每小段[]上的运动视为匀速，任取时刻，作乘积，显然这小段时间所走路程可近似表达为（）;(3)求和把n个小段时间上的路程相加，就得到总路程s的近似值，即;(4)取极限当时，上述总和的极限就是的精确值，即.Ⅱ．讲授新课二、定积分的概念定义设函数在[]上有定义，任取分点,分为n个社区间.记,再在每个社区间上任取一点，作乘积的和式：假如时,上述极限存在（即，这个极限值与的分割及点的取法均无关），则称此极限值为函数在区间上的定积分，记为其中称为被积函数,为被积式，为积分变量，为积分区间，分别称为积分下限和上限。定积分定义的说明：(1)定积分表达一个数，它只取决于被积函数与积分上、下限，而与积分变量采用什么字母无关，例如：.一般地，.(2)定义中规定积分限，我们补充如下规定：当时，,当时，.(3)定积分的存在性：当在上连续或只有有限个第一类间断点时,在上的定积分存在（也称可积）.三、定积分的几何意义假如，则，此时表达由曲线，及轴所围成的曲边梯形的面A，即。（如左下图）假如，则，此时表达由曲线，及轴所围成的曲边梯形的面积A的负值，即。（如右上图）假如在上有正有负时，则表达由曲线，直线及轴所围成的平面图形的面积位于轴上方的面积减去位于轴下方的面积，如下图所示，即四、定积分的性质性质1函数的代数和可逐项积分，即.性质2被积分函数的常数因子可提到积分号外面，即（为常数）.性质3（积分区间的分割性质）若，则.注：对于三点的任何其他相对位置，上述性质仍成立，譬如：，则,仍有性质4（积分的比较性质）在上若≥g(x)，则≥.性质5（积分估值性质）设M与m分别是在上的最大值与最小值，则≤≤.证由于≤≤（题设），由性质4得≤≤，再将常数因子提出，并运用，即可得证.性质6（积分中值定理）假如在上连续，则至少存在一点，使得.证将性质5中不等式除以，得≤≤M.设,即.由于为区间上的连续函数,所以,它能取到介于其最小值与最大值之间的任何一个数值（这就是连续函数的介值定理）.因此在上至少有一点，使得，即中值定理的几何意义：曲边在底上所围成的曲边梯形面积，等于同一底边而高为的一个矩形面积，如下图所示。从几何角度容易看出，数值表达连续曲线在上的平均高度，也就是函数在上的平均值，这是有限个数的平均值概念的拓广。例估计定积分的值解先求在[-1,1]上的最大值和最小值.由于,令，得驻点x=0，比较在驻点及区间端点处的函数值,故最大值,最小值=.由估值性质得，≤≤2.Ⅲ.课堂练习课本习题5-1：1，2，3；5-2：1，2，3，4Ⅳ.课时小结［学生总结］重要知识点：1.定积分的实际背景2.定积分的概念3.定积分的几何意义4.定积分的性质Ⅴ.课后作业见作业册第五章第一讲作业.杭州科技职业技术学院教案教师姓名课程名称应用高等数学授课对象授课日期课时2课型理论课（新授）教学内容第二讲牛顿－莱布尼茨公式教学目的和规定纯熟掌握变上限的定积分，微积分的基本公式；教学重点1．变上限的定积分2.微积分的基本公式教学难点变上限的定积分教学组织形式问题驱动、讲练结合（启发式教学，让学生积极学习）教学辅助手段多媒体辅助教学课外作业按作业册规定布置课后小结授课重要内容Ⅰ.课题导入引例设物体以速度作直线运动，规定计算时间内的路程.从定积分概念出发，由前面已讨论的结果知道[]所通过的路程为.若从不定积分概念出发，则知道函数为其中，于是[]时间内所走路程就是.综合上述两个方面，得到.这个等式表白速度函数在[]上的定积分,等于其原函数在区间[]上的改变量.那么，这一结论有没有普遍的意义呢？Ⅱ．讲授新课一、变上限的定积分设函数在[]上连续,[]，于是积是一个定数，这种写法有一个不方便之处，就是既表达积分上限，又表达积分变量.为避免混淆，我们把积分变量改写成，于是这个积分就写成了.当在[]上变动时，相应于每一个值,积分就有一个拟定的值，因此是变上限的一个函数，记作=（≤≤）通常称函数为变上限积分函数或变上限积分，其几何意义如图所示(见下).定理1假如函数在区间[]上连续，则变上限积分=在[]上可导，且其导数是（≤≤）.证当上限获改变量时，函数获得改变量为如下图所示:由积分中值定理得（在及之间）,.再令,从而，由的连续性，得,即，证毕.推论连续函数的原函数一定存在.且函数=即为其原函数.例1计算=在=0,处的导数.解由于=,故；.例2求下列函数的导数：(1)；解这里是的复合函数，其中中间变量，所以按复合函数求导法则，有.(2).解.二、牛顿-莱布尼茨（Newton-Leibniz）公式定理2设函数在闭区间上连续，又是的任一个原函数，则有.证由定理1知，变上限积分也是的一个原函数，于是知,为一常数,即.我们来拟定常数的值，为此，令，有，得.因此有再令，得所求积分为.因此积分值与积分变量的记号无关，仍用表达积分变量，即得,其中.上式称为牛顿-莱布尼茨公式，也称为微积分基本公式.为计算方便，该公式常采用下面的格式：.例1求定积分：(1)；（2）；（3）.解（1）.（2）.（3）在上写成分段函数的形式于是例2计算.解由于时,,故本题属型未定式,可以用洛必达法则来求.这里是的复合函数,其中,所以,于是有.Ⅲ.课堂练习课本习题5-3：1（1）-（7），2（1）（2）Ⅳ.课时小结［学生总结］重要知识点：1.变上限的定积分2.牛顿-莱布尼茨公式Ⅴ.课后作业见作业册第五章第二讲作业.杭州科技职业技术学院教案教师姓名课程名称应用高等数学授课对象授课日期课时2课型理论课（新授）教学内容第三讲定积分换元积分法和分部积分法教学目的和规定1.掌握定积分的换元法；2.纯熟掌握定积分的分部积分法教学重点积分的换元法；定积分的分部积分法教学难点积分的换元法；定积分的分部积分法教学组织形式问题驱动、讲练结合（启发式教学，让学生积极学习）教学辅助手段多媒体辅助教学课外作业按作业册规定布置课后小结授课重要内容Ⅰ.课题导入求.Ⅱ．讲授新课一、定积分的换元积分法例1求.解一于是=.上述方法，规定求得的不定积分、变量必须还原，但是，在计算定积分时，这一步事实上可以省去，这只要将本来变量的上、下限按照所用的代换式换成新变量的相应上、下限即可。本题可用下面方法来解.解二设，即.当时,;当时，.于是.解二要比解一来得简朴一些，由于它省掉了变量回代的一步，而这一步在计算中往往也不是十分简朴的.以后在定积分使用换元法时，就按照这种换元同时变换上下限的方法来作.一般地，定积分换元法可叙述如下：设在上连续,而满足下列条件：（1）在上有连续导数；（2）,且当在上变化时,的值在上变化，则有换元公式：.上述条件是为了保证两端的被积函数在相应区间上连续，从而可积。应用中，我们强调指出：换元必须换限。（原）上限对（新）上限，（原）下限对（新）下限.例2求.解设，即.换积分限：当时，,当时，,于是.例3求.解设，则.换积分限:当时，；时，,于是=..例4求.解一（换元法）令，所以，当时，；当时，，于是.解二（凑微分法）.注意：求定积分一定要注意定积分的存在性。例5设在对称区间[]上连续，试证明证由于对积分作变量代换，由定积分换元法，得于是.（1）若为偶函数,即,由上式得;（2）若为奇函数,即,有,则.该题几何意义是很明显的，如下页图所示例6证明.证令.换积分限：当时，=；=时，,于是二、定积分的分部积分法设,在[a,b]上有连续导数，则有.该公式称为定积分分部积分公式，使用该公式时要注意，把先积出来得那一部分代上下限求值，余下的部分继续积分.这样做比完全把原函数求出来再代上下限简便一些.例7求解.例8求.解.由于时,,这时;x≥1时,≥,这时.于是,分别用分部积分求右端两个积分得,,最后得.例9计算.解由于积分区间[-2,2]为对称区间，考察被积函数有否奇偶性，于是有,用换元法，令,则.Ⅲ.课堂练习课本习题5-4：1（1）-（14）Ⅳ.课时小结［学生总结］重要知识点：定积分的换元积分法2.定积分的分部积分Ⅴ.课后作业见作业册第五章第三讲作业.杭州科技职业技术学院教案教师姓名课程名称应用高等数学授课对象授课日期课时2课型理论课（新授）教学内容第四讲广义积分，定积分的几何应用教学目的和规定1.掌握无穷区间上的广义积分；2.掌握定积分应用微元法，用定积分求平面图形的面积。教学重点1．无穷区间上的广义积分2.定积分应用微元法3.用定积分求平面图形的面积教学难点无穷区间上的广义积分；定积分应用微元法；用定积分求平面图形的面积。教学组织形式讲练结合（启发式教学，让学生积极学习）教学辅助手段多媒体辅助教学课外作业按作业册规定布置课后小结授课重要内容Ⅰ.课题导入讨论积分区间为无限的情形。Ⅱ．讲授新课一、无穷区间上的广义积分定义1设函数在[]上连续，取,我们把极限称为在[]上的广义积分，记为.若极限存在，称广义积分收敛；若极限不存在，则称发散.类似地，可定义在(上的广义积分为,在()上的广义积分为.其中为任意实数（譬如取），当右端两个广义积分都收敛时，广义积分才是收敛的，否则是发散的.例1求.解为了书写简便，实际运算过程中经常省去极限记号，而形式地把当成一个“数”,直接运用牛顿-莱布尼茨公式的格式进行计算.,.其中为的原函数，记号应理解为极限运算：.例2讨论的敛散性.解,所以发散.例3计算下列积分:（1）;（2）.解(1).(2).注意:在中用代替，实际是计算极限.例4讨论的敛散性（a>0）.解（1）当时，(收敛);（2）当时，=(发散);（3）当时，（发散）.综上，二.定积分应用的微元法用定积分计算的量的特点：(1)所求量（设为）与一个给定区间有关，且在该区间上具有可加性.就是说，是拟定于上的整体量，当把提成许多社区间时，整体量等于各部分量之和，即。(2)所求量在区间上的分布是不均匀的，也就是说，的值与区间的长不成正比（否则的话，使用初等方法即可求得，而勿需用积分方法了）.用定积分概念解决实际问题的四个环节：第一步：将所求量分为部分量之和，即:;第二步：求出每个部分量的近似值，≈第三步：写出整体量的近似值，≈；第四步：取时的极限，则得.观测上述四步我们发现，第二步最关键，由于最后的被积表达式的形式就是在这一步被拟定的，这只要把近似式中的变量记号改变一下即可（换为；换为）.而第三、第四两步可以合并成一步：在区间上无限累加，即在上积分.至于第一步，它只是指明所求量具有可加性，这是能用定积分计算的前提，于是，上述四步简化后形成实用的微元法.定积分应用的微元法：(一)在区间上任取一个微社区间，然后写出在这个社区间上的部分量的近似值，记为(称为的微元);(二)将微元在上积分（无限累加），即得微元法中微元的两点说明：(1)作为的近似值表达式，应当足够准确，确切的说，就是规定其差是关于的高阶无穷小.即.这样我们就知道了，称作微元的量，事实上是所求量的微分;(2)具体如何求微元呢?这是问题的关键，这要分析问题的实际意义及数量关系，一般按着在局部上，以“常代变”、“匀代不匀”、“直代曲”的思绪（局部线性化），写出局部上所求量的近似值，即为微元三、用定积分求平面图形的面积直角坐标系下的面积计算用微元法不难将下列图形面积表达为定积分.（1）曲线及轴所围图形，如下左图，面积微元，面积.（2）由上、下两条曲线及所围成的图形，如下右图，面积微元，面积.（3）由左右两条曲线及所围成图形（见下左图）面积微元（注意，这时就应取横条矩形，即取为积分变量），面积.例1求两条抛物线所围成的图形的面积.解（1）画出图形简图（如下右）图）并求出曲线交点以拟定积分区间：解方程组得交点（0，0）及（1，1）.(2)选择积分变量，写出面积微元，本题取竖条或横条作均可，习惯上取竖条，即取为积分变量，变化范围为[0，1]，于是(3)将表达成定积分，并计算例例2求及所围成图形面积解作图（如下图）求出交点坐标。观测图得知，宜取为积分变量，变化范围为（考虑一下，若取为积分变量，即竖条切割，有什么不方便之处？），于是得，Ⅲ.课堂练习课本习题5-5：1（1）-（8），2，5-6：1（1）-（4），2，3，4Ⅳ.课时小结［学生总结］重要知识点：