初中二元二次方程组

二元二次方程组

知识点

含有两个未知数、且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫做二元二次方程.

由一个二元一次方程和•个二元二次方程组成的方程组，或由两个二元二次方程组组成的方程组，叫做二元二次方

程组.

一、由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组

一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组一般都可以用代入法求解.其蕴含着转化思想：将二元一次

方程化归为熟悉的一元二次方程求解.

2x—y=0(1)

【例J1】解方程组

2

X-/+3=0⑵

x+y=11(1)

【例2】解方程组

孙=28⑵

解：根据一元二次方程的根与系数的关系，把x、y看成是方程22-1上+28=0的两根，解方程得：2=4或2=7.

*=4或,=7

原方程组的解是:

>1=7=4

说明：(1)对于这种对称性的方程组,一，利用一元二次方程的根与系数的关系构造方程时，未知数要换成

xy=b

异于x、y的字母，如z.

x—4x—7

(2)对称形方程组的解也应是对称的，即有解《，则必有解〈.

y=71y=4

v2—4x—2v+1=0

【例3】已知方程组《J)有两个不相等的实数解，求攵的取值范围。

y=kx+2

分析：由②代入①得到关于汇的一元二次方程，当且二次项系数不为零时，此方程有两个不相等的实数根，

从而原方程组有两个不相等的实数解。

解：由②代入①并整理得：k2x2+(2k-4)x+l=0

k2Hok^Q

即4

△=(2%—4了—41=-164+16>0k<l

...当Z<1且女#0时.，原方程组有两个不相等的实数解。

\3x~+y=29X[=x,=a,

【例4】方程组1，的两组解是1,P1不解方程组，求名其+a,4的值。

[x+y=5=4[y2=A

分析：将y=5—x代入①得x的一元二次方程，6、a?是两根，可用根与系数的关系，将4=5-6,A=5-a2

代入如22+。24后，用根与系数的关系即可求值。

二、由两个二元二次方程组成的方程组

1.可因式分解型的方程组

方程组中的一个方程可以因式分解化为两个二元一次方程，则原方程组可转化为两个方程组，其中每个方程组都是

由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成.

[x2-y2=5(x+y)(1)

【例3】解方程组“

+xy+y~=43(2)

分析：注意到方程/一J?=5(x+y),可分解成(x+y)(x-y-5)=0,即得x+y=0或x-y-5=0,则可得

到两个二元二次方程组，且每个方程组中均有一个方程为二元一一次方程.

解：由(1)得：x?-y?-5(x+y)=0=>(x+y)(x—y)-5(x+y)=0=>(x+y)(x-y-5)=0

x+y=0或x-y-5=0

x—y—5=0Ix+y=0

...原方程组可化为两个方程组：4,,或《，，

x~+xy+)/=43[x~+xy+y=43

,_x,——I[x-,—6W=v43x=-V43

用代入法解这两个方程组，得原方程组的解是：{1J2<4

71=~61为=1%=-V43%=V43

说明：由两个二元二次方程组成的方程组中，有一个方程可以通过因式分解，化为两个二元一次方程，则原方程组

转化为解两个方程组，其中每一个方程组均有一个方程是二元一次方程.

【例6】解方程组[,+?=12⑴

[xy+y=4(2)

分析：本题的特点是方程组中的两个方程均缺一次项，我们可以消去常数项，可得到一个二次三项式的方程.对其

因式分解，就可以转化为例3的类型.

解：⑴-⑵x3得：x2+xy-3(xy+y2)=0

即x2-2xy-3y2=0=>(x-3yxx+J7)=0

/.x-3y=4-y=0

x-3y=0+y=0

・・・原方程组可化为两个二元一次方程组:,V

xy+y2=4[xy+j2=4

玉=3x=—3

用代入法解这两个方程组，得原方程组的解是:2

5=1…

说明：若方程组的两个方程均缺一次项，则消去常数项，得到i个二元二次方程.此方程与原方程组中的任•个

方程联立，得到一个可因式分解型的二元二次方程组.

x2+y2=26(1)

［例7］解方程组《

.孙=5(2)

解：(1)+(2)x2得：//+2xy=36=(x+y)2=36nx+y=6或x+y=—6,

(1)-(2)x2得：Y+/-2xy=16=>(x-y)2=16nx-y=4或x-y=-4.

%=5x=1x=—1x=—5

解此四个方程组，得原方程组的解是:JT'i%2=5[%3=-51%4=-l

(222_

xz+y=a2-y=m…

说明：对称型方程组，如《X+)’="都可以通过变形转化为<7的形式，通过构造一元

x+y=bxy=h=n

二次方程求解.

2.可消二次项型的方程组

xy+x=3(1)

【例8】解方程组〈

3盯+y=8⑵

解：(1)x3-(2)得：3x-y=lny=3x-l(3)

代入(1)得：x(3x—1)+x=3n3x2=3=>演=1或x2=—1.

分别代入⑶得：y=2或%=-4.

_X.—1fx,=—1

原方程组的解是：\'或｛2

5=2［%=~4

说明：若方程组的两个方程的二次项系数对应成比例，则可用加减法消去二次项,得到一个二元一次方程，把它

与原方程组的任意一个方程联立，解此方程组，即得原方程组的解.

二元二次方程组类型多样，消元与降次是两种基本方法，具体问题具体解决.

练习题

1.解下列方程组:

x+y2=6x2+2y2=8

(1)­(2)■

y=xx+y=2

⑶(x+y=1(4)1x-2y=0

2x2+3盯+=53x2+2xy=10

2.解下列方程组：

⑴1x+y=—3x+y=1

⑵

xy=2xy=-6

3.解下列方程组：

fx(2x-3)=0(3x+4y-3)(3x+4y+3)=0

⑴1⑵(

y=x2-\3x+2y=5

(x-y+2)(x+y)=0(x+y)(%+y-1)=0

⑶1(4)\

+/=8(x-y)(x-y-l)=0

4.解下列方程组：

x2+y2=3、xy+x=16

⑴<(2)\

xy-x=S

5.解下列方程组：

x+2y=32x-3y=1

⑴1(2)5

f-2y+3x-2=02x-3A>!+y-4x+3y-3=0

6.解下列方程组：

x-y=3x+2y=4

⑴1⑵5

xy=-22xy=-21

7.解下列方程组：

f3x2-y2=8r2+V2=4

⑴(2)<'

x+xy+y=42xy=-21

8.解下列方程组：

x24-y2=5x+y=4

⑴1(2)1°)

xy=-2[x2+/=10

-、填空题：

v=x+1

1、方程组4、的解是o

y=x-2x-3

x~—4y2=3

2、方程组《-的解是,

x+2y=1

+丫2=20

3、解方程组《'一时可先化为________________和________________两个方程组。

(x-2y)(x-3y)=0

(x+y=a[x,=a,fx,=a,

4、方程组《的两组解为<,\一，贝1]。]42一仇"2=______-

[xy^b出="〔为=%

二、选择题:

x-y=]

由方程组《°消去y后得到的方程是()

(x-1)2+(y+l)2+4

A、2x?—2x—3=0B、2厂一2x+5=0

C、2x2+2x+1=0D、2x2+2x+9=0

x+y=0

2、方程组《解的情况是()

1x~++x+y—3=0

A、有两组相同的实数解B、有两组不同的实数解

C、没有实数解D、不能确定

x2+y2—1=0

3、方程组有唯一解,则〃?的值是()

y-x-m=0

AsV2B、—V2C.±V2D、以上答案都不对

V=X

4、方程组有两组不同的实数解，则()

y=x+in

一11

A^m----B、m>—C、——<m<—D、以上答案都不对

444

三、解下列方程组：

x+y=5x+y=7x2-2xy4-y2=11x+y=7

3、《4、<

x2-y1=\5x2+y2=25[2x2-5xy-3y2=0〔砂=12

2

Y21—20

四、机为何值时，方程组《”v~有两组相同的实数解，并求出这时方程组的解。

x+y=m

8VioVio

^2--X,F

&=一3x2=2%=0一3x=42

1・⑴­,(2),(3)针⑷

[%=-3%=2[22[y=-3二眄V10

%=-3月_丁

玉二3x,=-2

2.(1),(2)

=-2区=-lI一

3

713

=0|,(2)<V3—1x,——1-V3=-2

王X2"T,(3)<

3,,

=e+l'

7>=1-6=2

%-11%=-4

4IM=

=

九4=2玉=0X41

,(4)22

74-2=0]_74=°

%=

2~2

瓜\V6_V6V6

王---

2%4=x=4

4.⑴一马。~T⑵4

逅'=近'VTb=3

为=-《

2一2

7

x,=7-3

=

%1•-5工2=14尤,—5n3=1x2=2

5.⑴「⑵■6・⑴,(2)3，<7

M=4*3M=-2&=T>2

2

2

6V136x/13

x.=------x=--------—0f%2=0近=-0

7.13123Z=2(2)2=

(1)2

2旧,27131y3="2=-2M=2%=-2、%=-0>4=0

y2,=---1-3-

%=2W=1X=-2王=1=3

8.(1)4(2)

%二T%=%=-2乂二131y2=1

-、填■空题:

x=2

=4x2+y2=20x2+y2=20

X1=1.%=2x2=3

、<一、