数学分析-Ch12-反常积分与含参积分习题

第十二章反常积分

习题12.1反常积分的概念和计算

1.物理学中称电场力将单位正电荷从电场中某点移至无穷远处所

做的功为电场在该点处的电位。一个带电量+q的点电

荷产生的电场对距离，•处的单位正电荷的电场力为8

F=4(%为常数)，求距电场中心x处的电位。\

解1/=打』拆=也。q二〃

xrx

图8.1.4

2.证明：若『/(幻心和『g(x)dx收敛，占和k2为常数，

则『kja)+&g(x)L也收敛，且

J"伙"(尤)+%2g(x)W尤=4J“f(x)dx+k2^g(x)dx0

证设/°/(x)dx=J：f(x)dx,g(x)dx=/mJ：g(x)dx,则

/佃/(九)+%28。)人=lim『L"(x)+Bg(x)k龙

JaA->+8

=%『m「于(x)dx+22J：g(x)dx=Zc1^0°/(x)6(r+k2^g(x)dx。

3.计算下列无穷区间的反常积分(发散也是一种计算结果)：

r+ao

⑴e~2xsin5xdx；(2)J()e~3xcos2xdx；

f+X______1______dx

2222

•+oo1J。(x+a)(x+b)

⑶-------;dx；

-8尤2+x+1

(a>0,Z?>0)；

⑸£xeax~dx(a£R)；(6)pf+OOIdx(peR)；

J2xin1x

⑺/r、1r+0”0（x2+11）3/2-.；⑻小、Jfo+00e+e1-'l_；

r%

⑼TEJo\+x2

'+OO

2x

解（1）J；e-sin5xdx=--e~2xdcos5x=--—^re-2vcos5x公

fo55Jo

w1^/sin5x=--—e-2vsin5xiir，

525

所以

r+1»,3

八e-2oAsin5xdx-——。

Jo29

（2）J：e-3*cos2xdx=—e"3vJsin2x=—j："e-Xvsin2xdx

Jo2J。2,°

=-3。/e"3'dcos2x广e-3vcos2x<ix，

4Jo44Jo

所以

广'e"3'cos2xdx--

Jo130

(4)当"人时,

'+"_______J_______dx=_!_严f_!_

°（二+“2）（/+⑹-b2_a2JO（炉+。2

当a=b时,

711.+81711p+oodx717171

，彳J。X（77^）=万一彳J。

此结果等于在a，h时的结果中以h=a代入后的结果。

（5）当a"）时积分发散；当a<0时，

1

2a

（6）当时积分发散；当”>1时,

『+8—J—dx=一(山外-刈/

J2」一(In2)3。

xln°x_p+lIP-1

(7)令x=tanf,则

+81-

讣3/2^=虑C°Stdt=2。

(X+1)~2

(8)令e，=r,则

1："7---~^=广~"、,=-----^r|r=-o

°e+e-pJi(]+产产2(1+产)14

(9)利用第六章第3节习题1(10)的结果

1—dx=In",+里”+1+^2Ltan(V2x+1)+arctan(72%-1)+C>

Jx4+18%2_缶+14'J4

即可得到

7t

2V2

（10）*詈T—+广小

对等式右端任一积分（例如第二个积分）作变量代换x=1,则

t

所以

4.计算下列无界函数的反常积分(发散也是一种计算结果):

re1

(2)f.—/-dx；

xVl-ln2x

⑶「看公；(4)[------/—dx；

Jo(2r)Vi匚7

产1

⑸Ctsin(公；

X1「⑷-凸/—

解⑴=dx=-/)'=lo

J:*x/l-x22

(2)J：-idx-(1=或1©=arcsin(lnx)|f=­o

j，Jin112

(3)令Vx-1=t,则

=2,(1+…)”=:。

(4)令11一x-1,则

1=公=2「q=工

Jo(2-x)VPxJol+r22

(5)[,^-sin^-dr=01.1,rl1.1,

r—―sin——dx+—7sm7dx。

x3x21X3尤2J。/工2

J；gsin5公=一；J卜in5d(!)=g(cos!)]'+,

由于既如中极限不存在，所以积分®sm"发散；同理积分

公也发散。

(6)令Jtanx=。，再利用上面习题3(9),得到

5.求极限lim迎。

“Toon

解limIn—=lim—^ln—=J'inxdx=-1,

0

〃->8〃〃->8nk=[n

所以

痂1

rlim---=—o

〃->8YIe

6.计算下列反常积分：

2

(1J()Incosxdx；(2，J；xInsinx公。

c>/“•riarcsinx,

(3J°xcotx公；(4，/山;

(女会。

解(1)令％=J,再利用例8.1.11,得到

2

r-2c—7t

j0lncos^=f｛；lnsin^^--ln2o

(2)令x=7l-t,由

Pxln^vaxdx=pTrlnsinrJf-ffflnsinr

JoJoJo力?，

得到

冗兀7T乃.2

J。xInsin尤公=,J；Insinx公=JiInsinxdx=---In2。

r-1..兀、c

(3)j2xcotxdx=j2xdInsinx=(xlnsinx)Q2Insinxdx=—m2。

((Jo2

(4)令>=arcsinn,得到

riarcsinx.1冗、、

八-------------------dx=2tcottdt=—In2o

xJo2

=(lnxarcsinx)|o—「"csinx.71

=fInxdarcsinxclx------In2o

Jo

X2

7.求下列反常积分的Cauchy主值：

⑴(cpv)J*：J^〃x；(2)(cpv)j4-^—rfx；

001+xz1x-2

⑶(cpv)J：-―

'i/2%inx

解⑴峥仁M

dx-lim[arctanx+—ln(l+x2)[：：=»o

Af+82

(2)(cpv)J：dx=ljnij(ln|x-2|)|露+(In|x-2|)|［勺=in2。

(3)(cpv)Ji；dx=喘6|Inx|)|Q+(ln|lnx|)|⑶=。。

8.说明一个无界函数的反常积分可以化为无穷区间的反常积分。

证设金/"(外公是一个无界函数反常积分，x是/⑴的唯一奇点

(即/(x)在x=8的左领域无界)。令t=j,则

b-x

J：/(x)dx=(b-a)j；8f^b__展,

等式右端就是一个无穷区间的反常积分。

9.⑴以［：/(幻公为例，叙述并证明反常积分的保序性和区间可加

性；

⑵举例说明，对于反常积分不再成立乘积可积性。

解(1)保序性：

设;fMdx与广g(x)dx收敛，且在［a,+8)成立/(%)>g(x),则

£7fMclx>广g(x)dx；

证明：由定积分的保序性，可知，/(x)dxN/g(x)dx,再令Af+8。

区间可加性：

设j；"/(x)dx收敛，则对任意ce[a,+oo)，「"/O)dx收敛，且

I；/(尤)"％=j：f(x)dx+j；/(x)dx;

证明：由定积分的区间可加性，可知r/(x)dx=J"(x)dx+.八x)dx,再

A->+000

(2)设/(x)=g(x)=,则广f{x}dx与广g(x)dx收敛，但广/(九)g(x)公

不收敛。

10.证明当。＞0时，只要下式两边的反常积分有意义，就有

产(工a}]nx..「+00/xa}1,

f—+----dx=]na\/—+—\—dxo

J。(ax)xJ。\ax)x

证一山或8/仔+31公=r/口+4Inx-Ina

dx

J。\ax)x。\aX)xuyax)x

ra/xQ、Inx—In〃,r+s/xa'lnx-lna,

』。/『一^dx+i心+力一^^

/2

对上式右端两积分中任意一个(例如第二个)作变量代换无=<，则

t

114n-+xataInx-lntz.lnf-ln

Tx:ci->-pootrj,11ci-0;JEL—i—=—i—，--------dx=--------。dt,,

axatxt

于是由

r+s/xa\]nx-]na,cat.(ta}]nt-]na,

得到

Xxa\\.

一+一\—dx

axX

+〃]Inf-Ina

dt=00

x

11.设ff(x)dx收敛，且limf(x)=Ao证明A=0。

Jax-»+co

证用反证法。不妨设A>0,则对£=[A>0,3X>a,X/x>X：

2

|/(X)-A|<|A,从而/(x)>gA。由

[^f{x)dx=J：fMdx+\^f[x}dx>Jj/(尤)dx+gA(B-X),

可知lim[Bf(x)dx-+oo,与「-A尤)「收敛发生矛盾。

同理也可证明不可能有A<0,所以A=0。

12.设/(x)在[a,+8)上可导，且「"/(x)公与八幻办都收敛，证明

limf(x)=0。

XTE

证]；"/'(无必》=[；'研(*)=lim/(x)-f(a),

由J+8/，(XMX的收敛性，可知lim/(X)存在且有限，再利用第11题的结

°X->+8

论，得到

lim/(x)=0o

XT+O0

习题12.2反常积分的收敛判别法

1.⑴证明比较判别法(定理8.2.2)；

(2)举例说明，当比较判别法的极限形式中/=0或+8时，

「，⑺公和「/(X)公的敛散性可以产生各种不同的的情况。

JaJa

解(1)定理8.2.2(比较判别法)设在［区+8)上恒有0W7(x)WK°(x),

其中K是正常数。则

当收敛时也收敛；

当「"(x)公发散时「，⑶心也发散。

JaJa

证当夕(x)d*收敛时，应用反常积分的Cauchy收敛原理，

V£>0»3AQ>a,VA,A'>A^:J；(p(x)dx<(。

于是

j；f(x)dx<J：KQ(X)M<£,

所以「7(x)公也收敛；

当「V(X)公发散时，应用反常积分的Cauchy收敛原理，

r

36'0>0,V4>a,3A,A>A^tJ八f(x)dxNKe。

于是

「o(x)Nnr'f(x)dx>分,

所以17啖x)dx也发散。

(2)设在［a,+oo)上有f(x)之0,9(%)。0,且lim=0。则当广/'(x)t/x

X->+8(p{X)°

发散时，J：8(x)dx也发散；但当「"/(x)以收敛时，J：。")公可能收敛，

也可能发散。

例如/。)=与，9(x)=」-(0<p<2),则lim四=0。显然有

P

XXXf+0O叭X)

『"/(x)dx收敛,而对于广/(x)dx,则当l<p<2时收敛，当0<「41时

发散。

设在［a,+8)上有/(%)>0,(p{x)20,且lim=+00。则当「"/(x)dx收敛

.r->+oo(p(x)°

时，J：Mx)以也收敛；但当//(尤)公发散时，可能发散，也

可能收敛。

例如/(x)=3，W(x)=’-(P>3，则1皿4^=+00。显然有

A/XXp2

//⑴右发散，而对于『心心，贝I」当g<p《i时发散，当〃>i时收

敛。

2.证明Cauchy判别法及其极限形式(定理8.2.3)。

证定理8.2.3(Cauchy判别法)设在3+8)u(0,+8)上恒有f(x)20,

K是正常数。

⑴若且〃>1,则「'"(X)公收敛；

⑵若/(x)2匹，且则rAx)公发散。

XPJ"

推论(Cauchy判别法的极限形式)设在［a,+00)u(0,+8)上恒有/(%)>0,

且

limxpf(x)=I，

Xf+QO

则

⑴若0W/<+oo,且〃>1,则J/(x)tZx收敛；

(2)若0</w+oo,且pKl,则「"/(xMx发散。

证直接应用定理8.2.2(比较判别法)及其推论(比较判别法的极

限形式)，将函数w(x)取为二。

xp

3.讨论下列非负函数反常积分的敛散性:

广garctanx

dx；

⑴rdx；⑵1l+1

1yJx3-e~2x+lnx+l

r+ooX。

、r+QO1,

小,---------dx(p，4£R*).

(3L--------------dx；(4)l+x〃

J。1+x|sinx|

解(1)当x-»+oo时，

]〜],

-e~2x+Inx+1|

x2

所以积分J：/,,公收敛。

Jr-i+inx+l

(2)当x—+oo时,

arctanx〜兀

1+?2/'

所以积分JJ专詈公收敛。

(3)因为当x»0时有

1+x|sinx|l+x

而积分「8—L公发散，所以积分一J公发散。

J。1+XJ。l+x|sinx|

(4)当x—>+oo时,

q

__x______1_

\+xpxp-q'

所以在时，积分广广J公收敛，在其余情况下积分

1I4

广片公发散。

J|1+炉

4.证明：对非负函数/(x),(cpv)公收敛与匚/(X)公收敛是等

价的。

证显然，由七/⑴公收敛可推出(CPV)]。⑴公收敛，现证明当

/(X)20时可由(cpv)J]"(x)公收敛推出匚/(X)办收敛。

由于(cpv)J；/(x)公收敛，可知极限

limF(A)-lim/f(x)dx

Af+ooA->+ooJ-A

存在而且有限，由Cauchy收敛原理，

Ve>0,34>0,VA,Af>4：I产(A)—尸(A')|<£,

于是与成立

^7(x)^<|F(A)-F(A)|<f与|^,/(%)^<|F(B)-F(B,)|<f,

。

这说明积分察以X1dx与J°J(x)公都收敛，所以积分收敛。

5.讨论下列反常积分的敛散性(包括绝对收敛、条件收敛和发散，

下同):

(1)Jf—sinxdlx；⑵J「皿公(peR+)；

12InxXP

/c、r+8sinxarctanx，/_\"、r+«>.,,

⑶-----------dx(peR+)；(4)J。sin(x-)公；

JIxi

fP"'")sinxdx(p,“(x)和q“(x)分另U是加和〃次多项式，

J"4"(x)

⑸

(x)在xe[a,+◎范围无零点。)

解(1)因为b(A)=J；sinxdx有界，在［2,+QO)单调，且lim=0，

2Inx-inx

由Dirichlet判别法，积分丁粤sinx办收敛；

"Inx

大工Inlnx.、InInx.1InInx..。、而工口人

由十----sinxN-----sin2x---------(l-cos2x),枳分

InxInx2Inx

广皿公发散，©cos2Mx收敛，所以积分广亚Esinxdx发

」21nxJ2Inx」2Mx

散，即积分广喏sinx公条件收敛。

(2)当p>l时，竽4,而广：公收敛，所以当p〉l时积分

广必公绝对收敛

当0vp〈l时，因为尸(A)=j：sinx公有界，在［1,+8)单调，且lim—=0,

XPXfH»X〃

由Dirichlet判别法，积分广等公收敛；但因为当0<”1时积分

”二血发散，所以当°<0<1时积分婴公条件收敛。

⑶当…时,丁年而『°［公收敛，所以当时

积分jjsinx?;tanx公绝对收敛;

当0<〃41时，因为F(A)=/sinxdx有界，哼竺在［1,+8)单调，且

lim蚂吧=0,由Dirichlet判别法，积分j：smxarctanx小收敛;但因

r->+8JX”

为当0<〃V1时积分「80丝阿水/x发散，所以当0<p41时积分

xp

广丁^条件收敛。

(4)令”一，［小(.办=」「学力,由于广学力条件收敛，可知

2"27t

积分sin(/)公条件收敛。

Pm。).

(5)当〃>加+1且x充分大时，有——sinx«与，可知当〃>777+1时

q/x)

积分广乙凹sinMx绝对收敛。

置(x)

当〃=加+1时，因为尸(A)=/sina有界，且当x充分大时，名回单调

1册⑴

且lim=o,由Dirichlet判别法可知「^^sinx公收敛;但由于

1+8qn(x)为(防

当龙.+00时，P"")〜区,易知广］外0^山》办:发散，所以当〃=加+1时,

J)

%,(x)x\qn(x)

积分广2口sinx公条件收敛。

%(x)

当〃<〃?+1时，由lim⑴=A,A为非零常数、+8或-oo,易知积分

xf+8qn(x)

P"'")sinxdx发散。

Jaq“(x)

6.设/(x)在［a,句只有一个奇点x=b,证明定理8.2.3和定理8.2.5，。

定理8.2.3,(Cauchy判别法)设在出㈤上恒有/(x)20,若当x属

于6的某个左邻域力-%,加时，存在正常数K,使得

⑴/(x)«s\p，且”1,则J：/(x心收敛；

(2)f(x)>*，且pN1,则J，(x)公发散。

—X)1

证(1)当〃<1时，积分f瓶士产公收敛，由反常积分的Cauchy收

敛原理,

V£>0,36>(),V77k(0,5):"------dx<—o

ib-，)(b-xyK

由于忆”(x)小吃’▲$<£,所以力3公收敛。

(2)当pNl时，积分广£7dx发散，由反常积分的Cauchy收敛原

理,

为°〉0，VJ>0,力力e(0»):07dx吸。

由于忆“(X)叱仁房产“族所以J”。心发散。

推论(Cauchy判别法的极限形式)设在［a,b)上恒有/(x)20,且

lim(Z?—x)p/(x)=I，

x->b-

则

(l)若0</v+oo,且〃<1,则J；/(x)公收敛；

(2)若0</<KO,且〃N1,贝1J公发散。

证(1)由limS-x)，/(x)=/(p<1,0<Z<+00),可知

xfb一

3<J>0,Vxeg—5,份：/(x)</+1，

(b-x)p

再应用定理8.2.3,的(Do

(2)由lim(。一x)，/(x)=/(p>l,0</<+oo),可矢口

A—>Z>-

m5>0,VXG3-3,。)：/(x)>-------，

2(b-x)p

再应用定理8.2.3,的(2)。

定理8.2.5，若下列两个条件之一满足，则J〉(x)g(x)公收敛：

⑴(Abel判别法)「/(x)公收敛，g(x)在[a,匕)上单调有界；

(2)(Dirichlet判别法)/⑺)=J""/(x)dr在(0,力-可上有界，g(x)在

[a,b)上单调且limg(x)=0。

XTb-

证(1)设|g(x)|SG,因为f/(x)办:收敛，由Cauchy收敛原理，

PA'F

VE>0,3^>0>VA,A'(Jb-3.b):f(x)dx<——。

由积分第二中值定理，

J：/(x)g(x)心Sg(A»J；/(x)d+|g(A)”]f(x)dx

<Gf(x)dx+Gjf{x}dx<]=£。

(2)设|F(V)区M,于是VAAt[a,。)，有「f(x)cb\v2M。因为Umg(x)=0,

JAlb-

V£>o,皿>0,\fx^(b-S,b),有|g(尤)k，-。由积分第

AM

二中值定理，

J：/(x)g(x)N^g(A)|-|£/(x)^|+|g(f{x}dx

<2Mg(A)|+2M|g(A')|<|+]=£。

所以无论哪个判别法条件满足，由Cauchy收敛原理，都有

「"/(x)g(xMx收敛的结论。

Ja

7.讨论下列非负函数反常积分的敛散性：

⑶Jo-2丫。；八2V小；

cos2xsin2x

(5)f('\\nx\pdx\

X，“(1-x)q~]\\nx\cbc.

1

解(1)因为（元—>）---------（XT1-），

2~y0+,,-

^/x（l-x）X（）

x3\1-%（1-工

所以积分1而匕公收敛。

(2)因为隔芈匚=L且对任意0<3<1,lim《U=O,即当x〉0

X-1一x1-J2io+x2-1

充分小时，有I詈J<十,所以积分J;皆公收敛。

(3)因为一~~40-0+),—~^―~——1——(x一三一)，

cosxsinxxcosxsinx_1)22

所以积分1,1.工必发散。

。cos**xsm2x

(4)因为小警〜」五。_>0+),所以当〃<3时积分。3丝公收

x2xX，

敛，当pN3时积分「工詈公发散。

(5)首先对任意的0<8<1与任意的p,有lim\xd|Inx|p]=0?即当x>0

x->0+

充分小时，有|lnx「<3；且|ln/、〜——-——(x->1-)o所以当〃>-1时,

X(1-x)p

积分J；|lnx1〃公收敛，当〃<-1时，积分J；|lnx|〃公发散。

(6)产61-%)1〜一j^—(X-0+),一T(l-X)gT~——]——(X1-),所

x'~p(1-X产

以在p>0,q>0时积分收敛，在其余情况下积分

J；XPT(1-X)g以发散。

(7)/T(l-x)4T|lnx|〜1——(x-1-),且

(17户

lim[x^P-'（1_y-'IInxI）]=0,即当x>0充分小时，有

x->0+x

1

/T(1—x严Inx<，所以当°>0,4>-1时积分£)-(]_X)"|in%|公

i-二

X2

收敛，在其余情况下积分j>K(l-x)2|lnx|dx发散。

8.讨论下列反常积分的敛散性：

-1

.1rP—元夕一।/、r+oo1

⑴J。一麻一dx(P，"*R')；⑵J。^7^1)2(x—2)小；

ln(l+x)r+8arctanx,

⑶dx；-----dx

XPJo

N/2Jtanx

1x

⑸八-----------------dx⑹Jox'-'e-dx；

°开

]

>+81dx.

⑺n--p---Cidx⑻

0x+X九PIn,x

1

■IxP--11产1[rp-i_产1

解(1)dx=(2----dx-fj----dx+f:----------dxo

0InxJoInxJo]nx〃Inx

2

当〃>0,g>0时积分球三一dx与积分球定二公显然收敛，且当Xfl-

时，

=[(1+(1)产"一|(1+(1)/-1]〜("幻。-1)

Inxln(l+(%-1))x-\，

即J；=公不是反常积分，所以积分J：匕品上公收敛。

2

(2)『,1---公=J：/1公+J:I)-----dx

^/X(X-1)2(X-2)^X(X-1)2(X-2)^/X(X-1)2(X-2)

r+81.

+1[dx。

?ylx(x—(x—2)

因为

/)~一T7T*~T(x-0+)，

^x(x-l)-(x-2)垃/

11

y(Xf1—)，

—(x—2)

(X-IV

所以积分£一」dx收敛；

J°VXX-1)2(X-2)

因为

_______1

---------(Xf1+)，

yjx(X—I)2(X—2)

U-l)3

VX-r-l)2(x-2)V2(X_2)(

所以积分J：j1公收敛;

*(x-l)2(x-2)

因为

11

__________________----------(x->2+),

也0-1)2*-2)V2

(x-2)3

j〜F(x-+8),

^X(X-1)2(X-2)T

所以积分।力收敛。

~#x(x-l)2(x-2)

_______1

由此可知积分厂dx收敛。

Vi(x-l)2(x-2)

ln(l+x),iln(l+x),r4-oc111(1+X).

dx=rL--------dx+I--------dxo

⑶rxPJoxpJ|xp

由吗旦〜」7。->0+),可知当P<2时，积分，约5公收敛，当

xpxpxp

时，积分J：蚂詈dx发散；

当〃〉1时，limx-.ma+x)=0,即当x>0充分大时，有

x->+oc

止其中生11>1,可知当0>1时，积分「8蚂包公收

”吧2J1xp

X2

敛，当时，积分。他歹小发散；

综上所述，当l<p<2时，积分/蚂产公收敛，在其余情况下积分

「仁也办发散。

JoxP

/\c+<x>arctanx,iarctanx,+ocarctan%,

（4A）------dx=Lr------dx+,f-----------dx。

JoYpJOYPYP

由里等〜*a-o+）,可知当”2时积分J：幽产公收敛;

XXX

由哼竺〜木（X.+8）,可知当〃>］时积分J：胆詈公收敛。

所以当1<〃<2时积分『处詈公收敛，在其余情况下积分

发散。X

由里手〜一=（X-0+）,可知当p<3时积分/4止也公收敛，当

%B2xp

pN（时积分;当广公发散;

由在M〜_j_工可知积分匕：恒三公收敛。

X。唱一姬2-M

所以当时积分上公收敛，当时积分

2X，2

广与公发散。

(6)e-xdx=b"-dx+e-'dx。

•0J0J1

由于积分公收敛，及产，-〜击(X-0+),所以当〃>0时

积分。"Te-dr收敛，当p«0时积分。"tef4发散。

(7)---dx-['----------dx+:----------dxo

J。犷+巾Jo/'+xiJ,xp+xq

当〃=4时，显然积分广彳三公发散；

当pHq时，由于

------—~(—r(x^0+)，7---------------；—r(x->+°o7)，

PIQmin(p,g)、p,qmax(p,q)、

YI人Y»A-人I人1

所以当min(p,g)<1,且max(p,q)>1时积分J；"公收敛，其余情况

0xp+xq

下积分J:一^公发散。

Joxp+X11

(8)设〃〉1,则对任意的q,当x充分大时，有一-—<—二,因为

Mln"%四

X2

可知积分――公收敛。

2xl\nqx

设〃<1,则对任意的q,当x充分大时，有一^>」了，因为"<1,

xp\nqx四2

X2

可知积分广工公发散。

设”1,令—，则广公=个立，由此可知当”1或

J2/IMXJln2八

〃=i,4>i时积分公收敛，在其余情况下积分j「不」公

xInJCxInx

发散。

9.讨论下列反常积分的敛散性：

P]q

/I、r+ooX~+8xsinx/、

⑴J。》物,--------dx(p>0)；

⑵L।l+x。

s,nxsinx

9、f+ooecosx./八r+«)esin2x,

⑶1。一''⑷J。——dx；

.(1

(5」，rcos±dx；sinx+—

•4-00l%

dx(p>0).

%1xP

p-l

jr+ooX1,

ax+I--------axo

解⑴rSJ|1+x2

]/T|

由---7〜—;—(X->0+),----V〜——(XT+00),可知当0vpv2时积

l+x2x]-p\+x2X3~p

分广盛公收敛，在其余情况下积分J「二公发散。

⑵当”1时，由,f,可知积分广罂不绝对收

敛。

Aj.

当时，因为b(A)=J；sin尤公有界，当x充分大时---^单

J|l+xp

qq♦

调减少，且lim上一=0,由Dirichlet判别法，积分J：上江公收敛；

但因为积分广:*XIdx发散,所以当p-时积分J7若公条

件收敛。

当q》时，由于〃fco时广"+"必二公不趋于零，可知积分

J2,w1+x'

q

'+ocxsinx

dx发散。

1l+x〃

r+ooesinAcosx：sinzcosx.+a>esinvcosx7

(3)公=虑f

JoPdx+I--------------axo

Xxp一

由空警〜々(X-0+),可知当〃<1时积分J：之畀公收敛，在其

xpX1X1

余情况下积分J；三詈dx发散。

当"1时，易知积分发散;当〃<0时，易知积分

xp

/丁s安inx^公发散。

当0<p<l时，因为［Ae，111*COSAZZX<e-l,单调减少，且lim'=0,

Jl1xPxf+8Xp

aSinx

由Dirichlet判别法；可知积分（0号2竺公收敛。

综上所述，当0<〃<1时，积分J「三詈八条