东莞威远职中文化课数学教案：复数

东莞威远职中文化课数学教案：复数

一、基础知识

1.复数的定义：设i为方程x'-l的根，i称为虚数单位，由i与实数进行加、

减、乘、除等运算。便产生形如a+bi(a,b©R)的数，称为复数。所有复数构

成的集合称复数集。通常用C来表示。

2.复数的几种形式。对任意复数z=a+bi(a,bGR),a称实部记作Re(z),b称虚

部记作Im(z).z=ai称为代数形式，它由实部、虚部两部分构成；若将(a,b)作

为坐标平面内点的坐标，那么z与坐标平面唯一一个点相对应，从而可以建立复

数集与坐标平面内所有的点构成的集合之间的一一映射。因此复数可以用点来表

示，表示复数的平面称为复平面，x轴称为实轴，y轴去掉原点称为虚轴，点称

为复数的几何形式；如果将(a,b)作为向量的坐标，复数z又对应唯一一个向量。

因此坐标平面内的向量也是复数的一种表示形式，称为向量形式；另外设z对应

复平面内的点Z,见图15T,连接0Z,设NxOZ=。10Z|=r,则a=rcos。，b=rsin

9,所以z=r(cos9+isin0),这种形式叫做三角形式。若z=r(cos9+isin9),

则9称为z的辐角。若0W。〈2n,则。称为z的辐角主值，记作9=Arg(z).r

称为Z的模,也记作|z1,由勾股定理知|z1=+》2.如果用e""表示cos9+isin

。，则2=「/°,称为复数的指数形式。

3.共辗与模，若2=2+员，(a.bGR)，则£=a-bi称为z的共辗复数。模与共轲

2

的性质有：(1)±z2=Zj±z2；(2)Zj-z2=Zj-z2s的)z-z=\z\；(4)

包=2;(5)IZ1-z21=1l-lz2I；(6)包|=印；(7)||ziHz2m

JZZ2

1222lz2I

_1

±z||zj+|z|;(8)|Zi+z12+1Z-Z12=21Zj12+21z12；(9)若|z|=l,贝(Jz=-。

22222z

4.复数的运算法则：(1)按代数形式运算加、减、乘、除运算法则与实数范围

内一致，运算结果可以通过乘以共辗复数将分母分为实数；(2)按向量形式，力口、

减法满足平行四边形和三角形法则；(3)按三角形式，若ZE(COS9i+isin9J,

z2=r2(cos92+isin02),见IZiz2=rir2[cos(9i+92)+isin(9i+92)];若

1(1"

^0,—=—[cos(9-92)+isin(9i-92)],用指数形式记为ZiZ2=rir2e"

Z212

匕且=ZLe'a%)

Z2「2

5.棣莫弗定理：[r(cos9+isin9)]n=rn(cosn9+isinn9).

6.开方：若=r(cos0+isin9),贝Uw=丘(CGS®+2k兀+jsin'+"兀),

nn

k=0,1,2,•••,n-lo

7.单位根：若wn=l,则称w为1的一个n次单位根，简称单位根，记

Z^cos—+isin—,则全部单位根可表示为1,Z],Z；,…,Z：T.单位根的基本性

nn

质有(这里记乙=Zf,k=l,2,…,n-l)：(1)对任意整数k,若女二四+匕口6％,。

WrWn-l,有Znq+r=Zr；(2)对任意整数m,当nN2时，有

0当〃Im

1+Z；"+Zf+…+Z3=5,'特别1+Z1+Z2+…+Z-1=0；(3)xFx叫...

当〃Im,n

2-1

+x+l=(x-Zi)(x-Z2)(x-Zn-1)=(x-Zi)(x-Z])••­(x-Zf).

8.复数相等的充要条件：（1）两个复数实部和虚部分别对应相等；（2）两个复数

的模和辐角主值分别相等。

9.复数z是实数的充要条件是z=N;z是纯虚数的充要条件是：z+N=0（且zWO）.

10.代数基本定理：在复数范围内，一元n次方程至少有一个根。

11.实系数方程虚根成对定理：实系数一元n次方程的虚根成对出现，即若

z=a+bi（bWO）是方程的一个根，则之=a-bi也是一个根。

12.若a,b,cGR,aWO,则关于x的方程ax'+bx+cR,当△=b2-4ac〈0口寸方程的

根为五2二士与I，

二、方法与例题

1.模的应用。

例1求证：当nGN+时，方程（Z+I）2n+（Z-1）2n=0只有纯虚根。

［证明］若Z是方程的根，则（Z+1）2"R（Z-I）2n,所以|（Z+1）2nh是（ZT产［，即

Iz+11IZ-112,BP(z+1)(Z+1)=(z-1)(Z-1)»化简得z+JO,又z=O不是方程的

根，所以z是纯虚数。

例2设f(zhz,az+b,a,b为复数,对一切|z|=l,有|f(z)|=l,求a,b的值。

［解］因为4=(1+a+b)+(1-a+b)-(T+ai+b)-(T-ai+b)

21f⑴+|f(-D+|f(i)+|f(-i)=4,其中等号成立。

所以£(1),£(-1),寸(。，--)四个向量方向相同，且模相等。

所以f(1)=f(-1)=-f(i)=-f(-i),解得a=b=O.

2.复数相等。

例3设入GR,若二次方程(bi)x2+(入+i)x+l+Ai=0有两个虚根，求人满足的

充要条件。

［解］若方程有实根，则方程组卜：+女+1=0有实根，由方程组得(入+l)x+入

%2-x-2=0

+1=0.若入=T,则方程x?-x+l=O中△<0无实根，所以入WT。所以x=T,入=2.

所以当AW2时，方程无实根。所以方程有两个虚根的充要条件为入W2。

3.三角形式的应用。

例4设nW2000,nGN,且存在。满足(sin。+icos9)"=sinn。+icosn。，那么

这样的n有多少个？

［解］由题设得

［cos(—-61)+isin(--。)丁=cosn(--3)+isin(-—。)=cos(--nd)+isin(--n0)

222222

,所以n=4k+l.又因为0WnW2000,所以lWkW500,所以这样的n有500个。

4.二项式定理的应用。

例5计算：(1)C°oo-QQQ+C^o---+C：；S；(2)C；oo-C；oo+C；oo-----琮

[解](l+i)100=[(l+i)2]50=(2i)50=-250,由二项式定理(l+i)100=

%+%，+//+…+喷产+啮严。do-Goo+Goo---+Cioo)+(

GOO-CI3OO+CI5OO----。焉)i，比较实部和虚部，得

Goo-C，ioo+C100---+C100=-250>Goo-Cioo+Cwo------Cioo=O°

5.复数乘法的几何意义。

例6以定长线段BC为一边任作△ABC,分别以AB,AC为腰，B,C为直角顶点

向外作等腰直角AABM、等腰直角AACN。求证：MN的中点为定点。

［证明］设|BC|=2a,以BC中点0为原点，BC为x轴，建立直角坐标系，确定

复平面，则B,C对应的复数为-a,a,点A,M,N对应的复数为

Zi,z2,z3,CA=Zi=Zi，由复数乘法的几何意义得：

CN=z3-a=-i(zj-a),①BM=z2+a=-a),②由①+②得

z2+z3=i(zi+a)-i(z-a)=2ai.MN的中点为P,对应的复数z=—〜=出，为定

2

值，所以MN的中点P为定点。

例7设A,B,C,D为平面上任意四点，求证：AB・AD+BC・ADNAC・BD。

［证明］用A,B,C,D表示它们对应的复数，则

(A-B)(C-D)+(B-C)(A-D)=(A-C)(B-D),因为|A-B|•|C-D|+|B-C|•|A-D|N

(A-B)(C-D)+(B-C)(A-D).

所以|A-B|«IC-D|+IB-C|«IA-D|2|A-C|«|B-D|,成立当且仅当

R_AR—CH—AR—C

Arg(-----)=Arg(-----),即Arg(-----)+Arg(-----)=",即A,B，3D共

D-AC-DB-AD-C

圆时成立。不等式得证。

6.复数与轨迹。

例8△ABC的顶点A表示的复数为3i,底边BC在实轴上滑动，且|BC|=2,求

AABC的外心轨迹。

［解］设外心M对应的复数为z=x+yi(x,y©R),B,C点对应的复数分别是b,b+2.

因为外心M是三边垂直平分线的交点，而AB的垂直平分线方程为|z-b|=|z-3i|,

BC的垂直平分线的方程为|z-b|=|z-b-2］,所以点M对应的复数z满足

z-b|=|z-3i|=|z-b-2|,消去b解得/=6(y,).

所以AABC的外心轨迹是轨物线。

7.复数与三角。

例9已知cosa+cosP+cosY=sina+sin3+sinY=0,求证：cos2a+cos23

+cos2Y=0o

［证明］令Zi=cosa+isina,z2=cosB+isinB,z3=cosY+isinY,贝

Zi+z2+zs=0o所以Zi+乞2+Z3—+Z2+Z3=0.又因为IZiI=1,i=l,2,3.

——1

所以Zi*z,.=L即G=——.

z,・

=

由Zi+z2+z30得xf+%；+%；+2ziz2+2工2工3+223Zi—0.①

(111)———

又Zi+Z3Zi=ZiZ2Z3---1----1----ZiZ2^3(^1+Z2+Z3)=0.

1哥Z2Z3J

所以z；+z；+z；=0.

所以cos2a+cos2B+cos2Y+i(sin2a+sin2B+sin2Y)=0.

所以cos2a+cos2B+cos2Y=0o

例10求和：S=cos20°+2cos40°+-+18cosl8X20°.

［解］令w=cos20°+isin200,贝！Jw18=l,令P=sin2Oo+2sin4O°+*--+18sinl8X20°,则

S+iP=w+2w2+***+18w18.①由①Xw得w(S+iP)=w2+2w3+***+17w18+18w19,②由①一②

19

得(l—w)(S+iP)=w+w?+…+W18~18W19=—^-^--18w,所以

1-w

-18w

S+iP=所以T

1-w

8.复数与多项式。

例n已知f(z)=CoZn+ciznT+…+CnTZ+Cn是n次复系数多项式(coWO).

求证：一定存在一个复数Zo,IZolW1,并且［f(Zo)存ICo+cn

nn-118

［证明］记CoZ+ciZ+---+cn-iZ=g(z),令6=Arg(Cn)-Arg(zo),则方程g(Z)-coe=O

18

为n次方程，其必有n个根，设为Zi,Z2,…，Zn,从而g(z)-coe=(z-zi)(z-z2),---

n

,(z-zn)Co,令z=0得-Coe”=(T)ZiZ2…ZnCo,取模得|z&…z"=1。所以Zi,Z2,…，

18

Zn中必有一个Zi使得|z"W1,从而f(zi)(zi)+cn=coe=ctt,所以|f(zj|=|c()e'"

+Cn|=|co|+|Cn|.

9.单位根的应用。

例12证明：自。0上任意一点p到正多边形A岛…人各个顶点的距离的平方和

为定值。

［证明］取此圆为单位圆，0为原点，射线0Ali为实轴正半轴，建立复平面，顶

生.

点Al对应复数设为£=67，则顶点AA…An对应复数分别为e2,丁，…，£n.

设点P对应复数Z,贝1JZ1=1,且

=k

2n-J^IpAk\-=^\z-e\-=t(z-£*)(z-J)=£(2-/Z——Z)

k=\k=lk=lk=1

=2n-zZ-—zgJ=2〃-zZ—-zg/=2〃.命题得证。

k=\k=lk=lk=l

10.复数与几何。

例13如图15-2所示，在四边形ABCD内存在一点P,使得APAB,APCD都是

以P为直角顶点的等腰直角三角形。求证：必存在另一点Q,使得AQBC,AQDA

也都是以Q为直角顶点的等腰直角三角形。

［证明］以P为原点建立复平面，并用A,B,C,D,P,Q表示它们对应的复数,

由题设及复数乘法的几何意义知D=iC,B=iA；取。=则c-Q=i(B-Q),则

1-z

ABCQ为等腰直角三角形；又由C-Q=i(B-Q)得2=。=z(--Q),即A-Q=i(D-Q),

ii

所以AADQ也为等腰直角三角形且以Q为直角顶点。综上命题得证。

例14平面上给定AAAA,及点P。，定义As=As.3,s24,构造点列p。,Pi,P2,…，使

得Pk+i为绕中心Ak+i顺时针旋转120°时Pk所到达的位置,k=0,1,2,•••,若pi986=Po.

证明：△A向As为等边三角形。

［证明］令11=6々，由题设，约定用点同时表示它们对应的复数，取给定平面为

复平面，则pi=(l+u)A「up(),

p2=(l+u)A2-UP1,

p3=(l+U)A3-UP2,

①义1?+②X(-U)得p3=(l+u)(Aa-uAa+u%)+po=w+po,W为与Po无关的常数。同理得

22

P6=w+p3=2w+po,PI986=662W+PO=PO,所以w=0,从而A3-uA2+uAi=0.由u=u-lWA3-AI=

(A2-ADu,这说明AAiA2A3为正三角形。

三、基础训练题

1.满足(2X2+5X+2)+(y2-y-2)i=0的有序实数对(x,y)有组。

2.若zGC且z2=8+6i,且z3T6z-W°=。

z

3.复数z满足1z|=5,且(3+4i)・z是纯虚数，贝Uz=。

4.已知z=---,贝U1+z+z?+…+z"92=_______________0

1+V3z

5.设复数z使得*的一个辐角