福建省漳平第二中学2023-2024学年高一下学期第二次月考数学试题（含答案）

-2024学年福建省漳平二中高一（下）第二次月考数学试卷一、单选题1．（5分）若z•i＝1+i，则z的虚部为（）A．i B．﹣i C．1 D．﹣12．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A＝45°，B＝30°（）A． B． C． D．3．（5分）已知直线m∥平面α，直线n⊥平面β，则“m∥n”是“α⊥β”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．（5分）已知在正四面体A﹣BCD中，M为AB的中点，则直线CM与AD所成角的余弦值为（）A． B． C． D．5．（5分）掷一枚均匀的正六面体骰子，设A表示事件“出现2点”，B表示“出现奇数点”则P（A∪B）（）A． B． C． D．6．（5分）已知圆锥的轴截面为正三角形，该圆锥的侧面积数值与其体积数值相等，则该圆锥的底面积为（）A．3π B．12π C．27π D．48π7．（5分）某校举办了数学知识竞赛，并将1000名学生的竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图（）①a的值为0.005②估计这组数据的众数为75③估计这组数据的下四分位数为60④估计成绩高于80分的有300人A．1 B．2 C．3 D．48．（5分）如图，在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P在线段BD1上，且＝2，M为线段B1C1上的动点，则三棱锥M﹣PBC的体积为（）A．a3 B．a3 C．a3 D．与点M的位置有关二、多选题（多选）9．（6分）若复数z满足（﹣1+i）•z＝1+5i（i是虚数单位），则下列说法正确的是（）A．z的虚部为﹣3 B．z的模为 C．z的共轭复数为3﹣2i D．z在复平面内对应的点位于第四象限（多选）10．（6分）有下列说法，其中错误的说法为（）A．λ、μ为实数，若，则与共线 B．若、，则 C．两个非零向量、，若，则与垂直 D．若，S△AOC、S△ABC分别表示△AOC、△ABC的面积，则S△AOC：S△ABC＝1：6（多选）11．（6分）在如图所示的三棱锥O﹣ABC中，OA＝OB＝OC＝1，OA，OC两两互相垂直，下列结论正确的为（）A．直线AB与平面OBC所成的角为30° B．二面角O﹣BC﹣A的正切值为 C．O到面ABC的距离为 D．作OM⊥平面ABC，垂足为M，则M为△ABC的重心三、填空题12．（5分）如图，直角梯形ABCD是某个多边形的斜二测直观图，∠ABC＝45°，DC⊥BC，则该多边形原本的面积为．13．（5分）将一颗质地均匀的正方体骰子（每个面上分别写有数字1，2，3，4，5，6）先后抛掷2次，观察向上的点数．14．（5分）锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则△ABC面积S的取值范围．四、解答题15．（13分）已知向量，．（1）若，求实数k的值；（2）若，求实数k的值．16．（15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，且PA＝AD＝2，点E为线段PD的中点．（Ⅰ）求证：PB∥平面AEC；（Ⅱ）求证：AE⊥平面PCD；（Ⅲ）求三棱锥A﹣PCE的体积17．（15分）文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[40，50），60），…，[90（1）求频率分布直方图中a的值；（2）求样本成绩的第75百分位数；（3）已知落在[50，60）的平均成绩是61，方差是7，70）的平均成绩为70，方差是4和总方差s2．18．（17分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）求B；（2）若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围．19．（17分）如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，AD＝6，BC＝2AB＝4，E，AD上，EF∥AB，使BE⊥EC．（1）若BE＝1，在折叠后的线段AD上是否存在一点P，使得CP∥平面ABEF？若存在的值；若不存在（2）求三棱锥A﹣CDF的体积的最大值，并求出此时点F到平面ACD的距离．2023-2024学年福建省漳平二中高一（下）第二次月考数学试卷参考答案与试题解析一、单选题1．（5分）若z•i＝1+i，则z的虚部为（）A．i B．﹣i C．1 D．﹣1【分析】由已知化简求出复数z，再根据虚部的定义即可求解．【解答】解：因为z•i＝1+i，则z＝，所以z的虚部为﹣1，故选：D．【点评】本题考查了复数的运算性质，涉及到求解复数虚部的问题，属于基础题．2．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A＝45°，B＝30°（）A． B． C． D．【分析】由已知结合正弦定理即可直接求解．【解答】解：由正弦定理可得，＝，所以b＝，故选：A．【点评】本题主要考查了正弦定理在求解三角形中的应用，属于基础试题．3．（5分）已知直线m∥平面α，直线n⊥平面β，则“m∥n”是“α⊥β”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【分析】根据题意，由空间中的线面关系，分别验证命题的充分性与必要性即可得到结果．【解答】解：因为直线m∥平面α，直线n⊥平面β，可得α⊥β；当α⊥β时，m，n不一定平行，故必要性不满足；所以“m∥n”是“α⊥β”的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题考查充分必要条件的证法，属于基础题．4．（5分）已知在正四面体A﹣BCD中，M为AB的中点，则直线CM与AD所成角的余弦值为（）A． B． C． D．【分析】设正四面体A﹣BCD的棱长为2，取BD的中点N，连结MN，CN则MN∥AD，∠CMN是CM与AD所成的角，由此能求出直线CM与AD所成角的余弦值．【解答】解：如图，设正四面体A﹣BCD的棱长为2，连结MN，CN，∴MN∥AD，∴∠CMN是CM与AD所成的角，设MN的中点为E，则CE⊥MN，在△CME中，ME＝，∴直线CM与AD所成角的余弦值为cos∠CME＝＝＝．故选：C．【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．5．（5分）掷一枚均匀的正六面体骰子，设A表示事件“出现2点”，B表示“出现奇数点”则P（A∪B）（）A． B． C． D．【分析】先由古典概型的概率公式求出事件A，B的概率，判断出A，B为互斥事件，利用互斥事件的概率和公式求出A∪B的概率．【解答】解：由古典概型的概率公式得∵，事件A与B为互斥事件由互斥事件的概率和公式得故选：B．【点评】求一个事件的概率关键是判断出该事件所属于的概率模型，然后选择合适的概率公式进行解决．6．（5分）已知圆锥的轴截面为正三角形，该圆锥的侧面积数值与其体积数值相等，则该圆锥的底面积为（）A．3π B．12π C．27π D．48π【分析】由轴截面正三角形可得，进而由圆锥的侧面积数值与其体积数值相等可求半径，从而可得圆锥的底面积．【解答】解：几何体如图所示：因为轴截面△PAB是正三角形，所以，圆锥的侧面积等于πrl＝2πr2，圆锥的体积等于，由圆锥的侧面积数值与其体积数值相等，得，得，故圆锥的底面积为πr4＝12π．故选：B．【点评】本题考查圆锥的侧面积与体积的计算，属于中档题．7．（5分）某校举办了数学知识竞赛，并将1000名学生的竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图（）①a的值为0.005②估计这组数据的众数为75③估计这组数据的下四分位数为60④估计成绩高于80分的有300人A．1 B．2 C．3 D．4【分析】利用频率分布直方图的性质判断①；利用众数、百分位数的求法判断②③；根据频率分布直方图计算可估计总体判断④．【解答】解：由频率分布直方图可知10×（2a+3a+4a+6a+5a+a）＝7，解得a＝0.005，故①正确；根据频率分布直方图可知众数落在区间[70，80），即众数为75；前两组频率之和为（0.01+4.015）×10＝0.25，∴这组数据的下四分位数为60，故③正确；成绩高于80分的频率为（0.025+6.005）×10＝0.3，∴估计总体成绩高于80分的有1000×4.3＝300人，故④正确．故选：D．【点评】本题考查频率分布直方图、众数、百分位数等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8．（5分）如图，在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P在线段BD1上，且＝2，M为线段B1C1上的动点，则三棱锥M﹣PBC的体积为（）A．a3 B．a3 C．a3 D．与点M的位置有关【分析】由题意转化顶点计算棱锥的体积即可．【解答】解：由题意可得：，点P到平面BCM4B1的距离为，则其体积：．故选：A．【点评】本题主要考查锥体体积的计算，属于基础题．二、多选题（多选）9．（6分）若复数z满足（﹣1+i）•z＝1+5i（i是虚数单位），则下列说法正确的是（）A．z的虚部为﹣3 B．z的模为 C．z的共轭复数为3﹣2i D．z在复平面内对应的点位于第四象限【分析】先根据复数的除法运算求出复数z，再根据虚部的定义，复数的模的计算公式，共轭复数的定义及复数的几何意义逐一判断即可．【解答】解：由（﹣1+i）•z＝1+2i，得，则z的虚部为﹣3，故A正确；z的模为，故B正确；z的共轭复数为2+3i，故C错误；z在复平面内对应的点为（6，﹣3），故D正确．故选：ABD．【点评】本题主要考查复数的概念，复数的几何意义，属于基础题．（多选）10．（6分）有下列说法，其中错误的说法为（）A．λ、μ为实数，若，则与共线 B．若、，则 C．两个非零向量、，若，则与垂直 D．若，S△AOC、S△ABC分别表示△AOC、△ABC的面积，则S△AOC：S△ABC＝1：6【分析】由零与任何向量共线，即可判断B；由三角形的重心的向量表示和性质可判断D；由向量共线的性质可判断A；根据平面向量数量积的运算律判断C，从而得出结论．【解答】解：对于选项A，当λ＝μ＝0时，与，满足，但与不一定共线；对于B选项，如果、，，满足题中条件，故B错；对于C选项，若，则＝，展开化简，∴与垂直；对于D选项，∵，设，，故有OA′+OB+OC′＝0，可得O为△A'BC'的重心，设S△AOB＝x，S△BOC＝y，S△AOC＝z，则S△A'OB＝7x，S△BOC'＝3y，S△A'OC'＝6z，由4x＝3y＝6z，可得S△AOC：S△ABC＝z：（x+y+z）＝4：6，故D正确；故选：AB．【点评】本题主要考查两个向量共线的性质，向量的模的定义和求法，平面向量的运算，属于中档题．（多选）11．（6分）在如图所示的三棱锥O﹣ABC中，OA＝OB＝OC＝1，OA，OC两两互相垂直，下列结论正确的为（）A．直线AB与平面OBC所成的角为30° B．二面角O﹣BC﹣A的正切值为 C．O到面ABC的距离为 D．作OM⊥平面ABC，垂足为M，则M为△ABC的重心【分析】利用线面垂直的判定定理可得AO⊥平面OBC，可得∠ABO为直线AB与平面OBC所成的角，即可判断A项；利用线面垂直的判定定理可得BC⊥平面AOD，即得∠ODA为二面角O﹣BC﹣A的平面角，即可判断B项；利用等体积法求点面距离即可判断C项；利用线面垂直得判定定理结合等边三角形的性质即可判断D项．【解答】解：因为OA，OB，OB∩OC＝O，故∠ABO为直线AB与平面OBC所成的角，又OA＝OB＝OC＝1，故直线AB与平面OBC所成的角为45°，故A错误；取BC中点为D，连接OD，因为OA＝OB＝OC＝1，OA，OC两两互相垂直，OD⊥BC，因为OD∩AD＝D，所以BC⊥平面AOD，则，故二面角O﹣BC﹣A的正切值为；因为，所以，则，解得；因为，故△ABC为等边三角形，因为OM⊥平面ABC，则M点为O点在平面ABC上的投影，即O点到△ABC顶点A，B，C的距离相等，B，C的距离相等，故M为△ABC的重心，故D项正确；故选：BD．【点评】本题主要考查线面角的计算，二面角的计算，点面距离的计算，空间想象能力的培养等知识，属于中等题．三、填空题12．（5分）如图，直角梯形ABCD是某个多边形的斜二测直观图，∠ABC＝45°，DC⊥BC，则该多边形原本的面积为3．【分析】根据题意，求出直观图的面积，结合直观图面积与原图面积的关系，分析可得答案．【解答】解：根据题意，直观图ABCD是直角梯形，AD＝DC＝1，则BC＝1+8＝2，其面积S′＝＝，则该多边形原本的面积为S＝2S′＝3．故答案为：5．【点评】本题考查平面图形的直观图，注意直观图面积与原图面积的关系，属于基础题．13．（5分）将一颗质地均匀的正方体骰子（每个面上分别写有数字1，2，3，4，5，6）先后抛掷2次，观察向上的点数．【分析】先求出基本事件总数n＝6×6＝36，再由列举法求出“点数之和等于6”包含的基本事件的个数，由此能求出“点数之和等于6”的概率．【解答】解：将一枚骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，基本事件总数n＝6×4＝36，“点数之和等于6”包含的基本事件有：（1，6），1），4），2），3），∴“点数之和等于6”的概率为p＝．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．14．（5分）锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则△ABC面积S的取值范围（1，2）．【分析】先利用正弦定理进行角化边，结合余弦定理算出，然后根据将面积S化成关于边c的函数，利用角B和角C的关系，结合正切函数的性质算出c的取值范围，进而可得△ABC面积S的取值范围．【解答】解：由，得，整理得，结合余弦定理，可得，π），根据b＝2，由正弦定理得，由△ABC为锐角三角形，可得，且，由tanB＞1，得，所以，即．故答案为：（1，2）．【点评】本题主要考查正弦定理与余弦定理、三角恒等变换公式、正切函数的性质等知识，属于中档题．四、解答题15．（13分）已知向量，．（1）若，求实数k的值；（2）若，求实数k的值．【分析】（1）利用向量平行的性质能求出结果．（2）利用向量坐标运算法则、向量垂直的性质能求出结果．【解答】解：（1）向量，，因为，所以1×k﹣2×2＝0．（2）因为，，所以，因为，所以1×7+2×（2+2k）＝3．【点评】本题考查向量坐标运算法则、向量平行、向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．16．（15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，且PA＝AD＝2，点E为线段PD的中点．（Ⅰ）求证：PB∥平面AEC；（Ⅱ）求证：AE⊥平面PCD；（Ⅲ）求三棱锥A﹣PCE的体积【分析】（Ⅰ）连结BD，交AC于点O，连结OE．可得PB∥OE，再由线面平行的判定可得PB∥平面ACE；（Ⅱ）由PA＝AD，E为线段PD的中点，得AE⊥PD，再由PA⊥平面ABCD，得PA⊥CD，由线面垂直的判定可得AE⊥平面PCD；（Ⅲ）根据AE⊥平面PCD，结合三棱锥的体积公式求出其体积即可．【解答】（Ⅰ）证明：连结BD，交AC于点O，如图示：∵O是正方形ABCD对角线交点，∴O为BD的中点，由已知E为线段PD的中点，∵PB∥OE，又OE⊂平面ACE，PB⊄平面ACE，∴PB∥平面ACE；（Ⅱ）证明：∵PA＝AD，E为线段PD的中点，∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD，在正方形ABCD中，CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD，又AE⊂平面PAD，∴CD⊥AE，又PD∩CD＝D，∴AE⊥平面PCD；（Ⅲ）∵AE⊥平面PCD，故三棱锥A﹣PCE的体积V＝S△PCE•AE＝×PE•CD•AE＝××＝．【点评】本题考查直线与平面平行、直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．17．（15分）文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[40，50），60），…，[90（1）求频率分布直方图中a的值；（2）求样本成绩的第75百分位数；（3）已知落在[50，60）的平均成绩是61，方差是7，70）的平均成绩为70，方差是4和总方差s2．【分析】（1）根据频率分布直方图中各个小矩形的面积之和为1求解；（2）根据百分位数的定义求解；（3）根据平均数和方差的计算公式求解．【解答】解：（1）∵每组小矩形的面积之和为1，∴（0.005+8.010+0.020+a+0.025+3.010）×10＝1，∴a＝0.030；（2）成绩落在[40，80）内的频率为（6.005+0.010+0.020+4.030）×10＝0.65＜0.75，成绩落在[40，90）内的频率为（3.005+0.010+0.020+4.030+0.025）×10＝0.2＞0.75，所以第75百分位数落在[80，90）内，设第75百分位数为m，则0.65+（m﹣80）×7.025＝0.75，解得m＝84，即第75百分位数为84；（3）由图可知，成绩在[50，成绩在[60，70）的市民人数为100×0.2＝20，故＝＝67，设成绩在[50，60）中10人的分数分别为x1，x2，x8，⋯，x10；成绩在[60，70）中20人的分数分别为y1，y2，y7，⋯，y20，则，，∴，，∴＝＝23．【点评】本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了百分位数、平均数和方差的计算，属于基础题．18．（17分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）求B；（2）若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围．【分析】（1）由已知结合正弦定理进行化简，然后结合三角形内角和可求；（2）由已知先求出C的范围，然后结合正弦定理及三角形面积公式，和差角公式，同角基本关系进行化简，然后结合正切函数的性质可求．【解答】解：（1）根据题意，由正弦定理得，因为2＜A＜π，故si