2025届黑龙江省黑河市数学高一下期末考试模拟试题含解析

2025届黑龙江省黑河市数学高一下期末考试模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知角的终边经过点，则的值是（）A． B． C． D．2．三棱锥的高，若，二面角为，为的重心，则的长为（）A． B． C． D．3．在三棱锥中，已知所有棱长均为，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）A． B． C． D．4．已知样本的平均数是10，方差是2，则的值为（）A．88 B．96 C．108 D．1105．若展开式中的系数为-20，则等于（）A．-1 B． C．-2 D．6．设向量，且，则实数的值为（）A． B． C． D．7．如图所示，已知以正方体所有面的中心为顶点的多面体的体积为，则该正方体的外接球的表面积为（）A． B． C． D．8．已知函数与的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围是（）．A． B． C． D．9．函数，当上恰好取得5个最大值，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．10．若、为异面直线，直线，则与的位置关系是（）A．相交 B．异面 C．平行 D．异面或相交二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．一个几何体的三视图如图所示（单位:m）,则该几何体的体积为.12．给出以下四个结论：①过点，在两轴上的截距相等的直线方程是；②若是等差数列的前n项和，则；③在中，若，则是等腰三角形；④已知，，且，则的最大值是2.其中正确的结论是________（写出所有正确结论的番号）.13．圆台两底面半径分别为2cm和5cm，母线长为cm，则它的轴截面的面积是________cm2.14．若角的终边经过点，则实数的值为_______.15．在中，已知，则下列四个不等式中，正确的不等式的序号为____________①②③④16．若数列的前项和为，则该数列的通项公式为______.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知四棱锥的底面ABCD是菱形，平面ABCD，，，F，G分别为PD，BC中点，.（Ⅰ）求证：平面PAB；（Ⅱ）求三棱锥的体积；（Ⅲ）求证：OP与AB不垂直.18．已知直线经过点，斜率为1.（1）求直线的方程；（2）若直线与直线:的交点在第二象限，求的取值范围.19．在中，角的对边分别为，且．（1）求角A的大小；（2）若，求的面积.20．如图，已知圆：，点.（1）求经过点且与圆相切的直线的方程；（2）过点的直线与圆相交于、两点，为线段的中点，求线段长度的取值范围.21．已知在四棱锥中，底面是矩形，平面，，分别是，的中点，与平面所成的角的正切值是；（1）求证：平面；（2）求二面角的正切值．

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、D【解析】

首先计算出，根据三角函数定义可求得正弦值和余弦值，从而得到结果.【详解】由三角函数定义知：，，则：本题正确选项：【点睛】本题考查任意角三角函数的求解问题，属于基础题.2、C【解析】

根据AB=AC，取BC的中点E，连结AE，得到AE⊥BC，再由由AH⊥平面BCD，得到EH⊥BC.，所以∠GEH是二面角的平面角，然后在△GHE中，利用余弦定理求解.【详解】:如图所示：取BC的中点E，连结AE，∵AB=AC，∴AE⊥BC，且点G在中线AE上，连结HE.∵AH⊥平面BCD，∴EH⊥BC.∴∠GEH=60°.在Rt△AHE中，∵∠AEH=60°，AH=∴EH=AHtan30°=3，AE=6，GE=AE=2由余弦定理得HG2=9+4-2×3×2cos60°=7.∴HG=故选：C【点睛】本题主要考查了二面角问题，还考查了空间想象和推理论证的能力，属于中档题.3、A【解析】

取的中点，连接、，于是得到异面直线与所成的角为，然后计算出的三条边长，并利用余弦定理计算出，即可得出答案．【详解】如下图所示，取的中点，连接、，由于、分别为、的中点，则，且，所以，异面直线与所成的角为或其补角，三棱锥是边长为的正四面体，则、均是边长为的等边三角形，为的中点，则，且，同理可得，在中，由余弦定理得，因此，异面直线与所成角的余弦值为，故选A．【点睛】本题考查异面直线所成角的计算，利用平移法求异面直线所成角的基本步骤如下：（1）一作：平移直线，找出异面直线所成的角；（2）二证：对异面直线所成的角进行说明；（3）三计算：选择合适的三角形，并计算出三角形的边长，利用余弦定理计算所求的角．4、B【解析】

根据平均数和方差公式列方程组，得出和的值，再由可求得的值．【详解】由于样本的平均数为，则有，得，由于样本的方差为，有，得，即，，因此，，故选B．【点睛】本题考查利用平均数与方差公式求参数，解题的关键在于平均数与方差公式的应用，考查计算能力，属于中等题．5、A【解析】由，可得将选项中的数值代入验证可得，符合题意，故选A.6、D【解析】

根据向量垂直时数量积为0，列方程求出m的值．【详解】向量，（m+1，﹣m），当⊥时，•0，即﹣（m+1）﹣2m＝0，解得m．故选D．【点睛】本题考查了平面向量的数量积的坐标运算，考查了向量垂直的条件转化，是基础题．7、A【解析】

设正方体的棱长为，则中间四棱锥的底面边长为，由已知多面体的体积求解，得到正方体外接球的半径，则外接球的表面积可求．【详解】设正方体的棱长为，则中间四棱锥的底面边长为，多面体的体积为，即．正方体的对角线长为．则正方体的外接球的半径为．表面积为．故选：．【点睛】本题考查几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力，是基础题．8、A【解析】若函数f（x）=a﹣x2（1≤x≤2）与g（x）=2x+1的图象上存在关于x轴对称的点，则方程a﹣x2=﹣（2x+1）⇔a=x2﹣2x﹣1在区间[1，2]上有解，令g（x）=x2﹣2x﹣1，1≤x≤2，由g（x）=x2﹣2x﹣1的图象是开口朝上，且以直线x=1为对称轴的抛物线，故当x=1时，g（x）取最小值﹣2，当x=2时，函数取最大值﹣1，故a∈[﹣2，﹣1]，故选：A．点睛：图像上存在关于轴对称的点，即方程a﹣x2=﹣（2x+1）⇔a=x2﹣2x﹣1在区间[1，2]上有解，转化为方程有解求参的问题，变量分离，画出函数图像，使得函数图像和常函数图像有交点即可；这是解决方程有解，图像有交点，函数有零点的常见方法。9、C【解析】

先求出取最大值时的所有的解，再解不等式，由解的个数决定出的取值范围．【详解】设，所以，解得，所以满足的值恰好只有5个，所以的取值可能为0,1,2,3,4，由，故选C．【点睛】本题主要考查正弦函数的最值以及不等式的解法，意在考查学生的数学运算能力．10、D【解析】解：因为为异面直线，直线，则与的位置关系是异面或相交，选D二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】该几何体是由两个高为1的圆锥与一个高为2的圆柱组合而成,所以该几何体的体积为.考点：本题主要考查三视图及几何体体积的计算.12、②④【解析】

①中满足题意的直线还有，②中根据等差数列前项和的特点，得到，③中根据同角三角函数关系进行化简计算，从而进行判断，④中根据基本不等式进行判断.【详解】①中过点，在两轴上的截距相等的直线还可以过原点，即两轴上的截距都为，即直线，所以错误；②中是等差数列的前n项和，根据等差数列前项和的特点，，是一个不含常数项的二次式，从而得到，即，所以正确；③中在中，若，则可得，所以可得或，所以可得或，从而得到为直角三角形或等腰三角形，所以错误；④中因为，，且，由基本不等式，得到，所以，当且仅当，即时，等号成立.所以，即的最大值是，所以正确.故答案为：②④【点睛】本题考查截距相等的直线的特点，等差数列前项和的特点，判断三角形形状，基本不等式求积的最大值，属于中档题.13、63【解析】

首先画出轴截面，然后结合圆台的性质和轴截面整理计算即可求得最终结果.【详解】画出轴截面，如图，过A作AM⊥BC于M，则BM＝5－2＝3(cm)，AM＝＝9(cm)，所以S四边形ABCD＝＝63(cm2)．【点睛】本题主要考查圆台的空间结构特征及相关元素的计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.14、.【解析】

利用三角函数的定义以及诱导公式求出的值.【详解】由诱导公式得，另一方面，由三角函数的定义得，解得，故答案为.【点睛】本题考查诱导公式与三角函数的定义，解题时要充分利用诱导公式求特殊角的三角函数值，并利用三角函数的定义求参数的值，考查计算能力，属于基础题.15、②③【解析】

根据，分当和两种情况分类讨论，每一类中利用正、余弦函数的单调性判断，特别注意，当时，.【详解】当时，在上是增函数，因为，所以，因为在上是减函数，且，所以，当时，且，因为在上是减函数，所以，而，所以.故答案为：②③【点睛】本题主要考查了正弦函数与余弦函数的单调性在三角形中的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.16、【解析】

由，可得出，再令，可计算出，然后检验是否满足在时的表达式，由此可得出数列的通项公式.【详解】由题意可知，当时，；当时，.又不满足.因此，.故答案为：.【点睛】本题考查利用求，一般利用来计算，但要对是否满足进行检验，考查运算求解能力，属于中等题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（Ⅰ）见解析（Ⅱ）（Ⅲ）见解析【解析】

（Ⅰ）连接，，由已知结合三角形中位线定理可得平面，再由面面平行的判断可得平面平面，进而可得平面；（Ⅱ）首先证明平面，而为的中点，然后利用等积法求三棱锥的体积；（Ⅲ）直接利用反证法证明与不垂直.【详解】（Ⅰ）如图，连接，∵是中点，是中点，∴，而平面，平面，∴平面，又∵是中点，是中点，∴，而平面，平面，∴平面，又∴平面平面，即平面.（Ⅱ）∵底面，∴，又四边形为菱形，∴，又，∴平面，而为的中点，∴.（Ⅲ）假设，又，且，∴平面，则，与矛盾，∴假设错误，故与不垂直.【点睛】本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用反证法证明线线垂直问题，训练了利用等积法求解多面体的体积，属于中档题．18、（1）；（2）【解析】

（1）由条件利用用点斜式求直线的方程．（2）联立方程组求出直线与直线的交点坐标，再根据交点在第二象限，求得的取值范围．【详解】解：（1）由直线经过点，斜率为1，利用点斜式可得直线的方程为，即．（2）由，解得，故直线与直线的交点坐标为．交点在第二象限，故有，解得，即的取值范围为．【点睛】本题主要考查用点斜式求直线的方程，求直线的交点坐标，属于基础题．19、（1）A=；（2）.【解析】

（1）由正弦定理将角关系转化为变关系，再利用余弦定理得到答案.（2）利用余弦定理得到，代入面积公式得到答案.【详解】解：（1）因为所以由正弦定理可得整理可得左右同除以得到,即A=(2)由余弦定理，得，故，所以三角形的面积.【点睛】本题考查了是正弦定理，余弦定理，面积公式，意在考查学生的计算能力.20、（1）或；（2）.【解析】试题分析：（1）设直线方程点斜式，再根据圆心到直线距离等于半径求斜率；最后验证斜率不存在情况是否满足题意（2）先求点的轨迹：为圆，再根据点到圆上点距离关系确定最值试题解析：（1）当过点直线的斜率不存在时，其方程为，满足条件．当切线的斜率存在时，设：，即，圆心到切线的距离等于半径3，，解得．切线方程为，即故所求直线的方程为或．（2）由题意可得，点的轨迹是以为直径的圆，记为圆．则圆的方程为．从而，所以线段长度的最大值为，最小值为，所以线段长度的取值范围为．21、(1)见证明；(2)【解析】

（1）取的中点，连接，通过证明四边形是平行四边形，证得，从而