铜陵市第一中学2025届高一下数学期末综合测试模拟试题含解析

铜陵市第一中学2025届高一下数学期末综合测试模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．与直线平行，且与直线交于轴上的同一点的直线方程是（）A． B． C． D．2．如图，设是正六边形的中心，则与相等的向量为（）A． B． C． D．3．已知数列2008，2009，1，-2008，-2009…这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2019项之和S2019A．1 B．2010 C．4018 D．40174．若a，b是方程的两个根，且a，b，2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则的值为()A．-4 B．-3 C．-2 D．-15．下列函数中，在区间上为减函数的是A． B． C． D．6．如右图所示，直线的斜率分别为则A． B．C． D．7．已知平面平面，直线，直线，则直线，的位置关系为（）A．平行或相交 B．相交或异面 C．平行或异面 D．平行､相交或异面8．已知圆和两点，，若圆上存在点，使得，则的最大值为（）A．7 B．6 C．5 D．49．“”是“直线(m+1)x+3my+2=0与直线(m-2)x+(m+1)y-1=0相互垂直”的（）A．充分必要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件10．设向量，，若三点共线，则（）A． B． C． D．2二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知,且关于的方程有实数根，则与的夹角的取值范围是______.12．设，则函数是__________函数（奇偶性）.13．已知无穷等比数列的前项和，其中为常数，则________14．某校高一、高二、高三分别有学生1600名、1200名、800名，为了解该校高中学生的牙齿健康状况，按各年级的学生数进行分层抽样，若高三抽取20名学生，则高一、高二共抽取的学生数为.15．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为___________。16．如图，在中，，，点D为BC的中点，设，.的值为___________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知正项数列的前项和为，对任意，点都在函数的图象上.（1）求数列的通项公式；（2）若数列，求数列的前项和；（3）已知数列满足，若对任意，存在使得成立，求实数的取值范围.18．如图，四棱锥中，底面为矩形，面，为的中点．（1）证明：平面;（2）设，，三棱锥的体积，求A到平面PBC的距离．19．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，.（1）求角B；（2）若，求周长的取值范围.20．“中国人均读书本（包括网络文学和教科书），比韩国的本、法国的本、日本的本、犹太人的本少得多，是世界上人均读书最少的国家”，这个论断被各种媒体反复引用.出现这样统计结果无疑是令人尴尬的，而且和其他国家相比，我国国民的阅读量如此之低，也和我国是传统的文明古国、礼仪之邦的地位不相符.某小区为了提高小区内人员的读书兴趣，特举办读书活动，准备进一定量的书籍丰富小区图书站，由于不同年龄段需看不同类型的书籍，为了合理配备资源，现对小区内看书人员进行年龄调查，随机抽取了一天名读书者进行调查，将他们的年龄分成段：，，，，，后得到如图所示的频率分布直方图.问：（1）估计在这名读书者中年龄分布在的人数；（2）求这名读书者年龄的平均数和中位数；（3）若从年龄在的读书者中任取名，求这两名读书者年龄在的人数恰为的概率.21．如图，在三棱锥中，侧面与侧面均为边长为2的等边三角形，，为中点.(1)证明:;(2)求点到平面的距离.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、A【解析】

直线交于轴上的点为，与直线平行得到斜率，根据点斜式得到答案.【详解】与直线平行直线交于轴上的点为设直线方程为：代入交点得到即故答案选A【点睛】本题考查了直线的平行关系，直线与坐标轴的交点，属于基础题型.2、D【解析】

容易看出，四边形是平行四边形，从而得出.【详解】根据图形看出，四边形是平行四边形故选：【点睛】本题考查相等向量概念辨析，属于基础题.3、C【解析】

计算数列的前几项，观察数列是一个周期为6的数列，计算得到答案.【详解】从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和计算数列前几项得：2008，2009，1，-2008，-2009，-1,2008,2009,1，-2008…观察知：数列是一个周期为6的数列每个周期和为0S故答案为C【点睛】本题考查了数列的前N项和，观察数列的周期是解题的关键.4、D【解析】

由韦达定理确定，，利用已知条件讨论成等差数列和等比数列的位置，从而确定的值．【详解】由韦达定理得：，，所以，由题意这三个数可适当排序后成等比数列，且，则2一定在中间所以，即因为这三个数可适当排序后成等差数列，且，则2一定不在的中间假设，则即故选D【点睛】本题考查了等差数列和等比数列的基本性质，解决本题的关键是要掌握三个数成等差数列和等比数列的性质，如成等比数列，且，，则2必为等比中项，有．5、D【解析】试题分析：在区间上为增函数；在区间上先增后减；在区间上为增函数；在区间上为减函数，选D.考点：函数增减性6、C【解析】试题分析：由图可知，，所以，故选C．考点：直线的斜率．7、C【解析】

根据直线与直线的位置关系，结合题意，进行选择.【详解】因为平面平面，直线，直线，所以直线没有公共点，所以两条直线平行或异面.故选：C.【点睛】本题考查直线与直线的位置关系，属基础题.8、B【解析】由题意知，点P在以原点（0，0）为圆心，以m为半径的圆上，又因为点P在已知圆上，所以只要两圆有交点即可，所以，故选B.考点：本小题主要考查两圆的位置关系，考查数形结合思想，考查分析问题与解决问题的能力.9、B【解析】试题分析：当时，直线为和直线，斜率之积等于，所以垂直；当两直线垂直时，，解得：或，根据充分条件必要条件概念知，“”是“直线(m+1)x+3my+2=0与直线(m-2)x+(m+1)y-1=0相互垂直”的充分不必要条件，故选B．考点：1、充分条件、必要条件；2、两条直线垂直的关系．10、A【解析】

利用向量共线的坐标表示可得，解方程即可.【详解】三点共线，，又，，，解得.故选：A【点睛】本题考查了向量共线的坐标表示，需掌握向量共线，坐标满足：，属于基础题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】

先由得出，再根据即可求出与的夹角的取值范围.【详解】因为关于的方程有实数根，所以，即，设与的夹角为，所以，因为，所以，即与的夹角的取值范围是【点睛】本题主要考查平面向量的夹角公式的应用等，属基础题.12、偶【解析】

利用诱导公式将函数的解析式进行化简，即可判断出函数的奇偶性.【详解】，因此，函数为偶函数.故答案为：偶.【点睛】本题考查三角函数奇偶性的判断，解题的关键就是利用诱导公式对三角函数解析式进行化简，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题.13、1【解析】

根据等比数列的前项和公式，求得，再结合极限的运算，即可求解.【详解】由题意，等比数列前项和公式，可得，又由，所以，所以，可得.故答案为：.【点睛】本题主要考查了等比数列的前项和公式的应用，以及熟练的极限的计算，其中解答中根据等比数列的前项和公式，求得的值，结合极限的运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.14、70【解析】设高一、高二抽取的人数分别为，则，解得.【考点】分层抽样.15、3；【解析】

由三视图还原几何体，根据垂直关系和勾股定理可求得各棱长，从而得到最长棱的长度.【详解】由三视图可得几何体如下图所示：其中平面，，，，，，四棱锥最长棱为本题正确结果：【点睛】本题考查由三视图还原几何体的相关问题，关键是能够准确还原几何体中的长度和垂直关系，从而确定最长棱.16、【解析】

在和在中,根据正弦定理,分别表示出.由可得等式,代入已知条件化简即可得解.【详解】在中,由正弦定理可得,则在中,由正弦定理可得,则点D为BC的中点,则所以因为,,由诱导公式可知代入上述两式可得所以故答案为:【点睛】本题考查了正弦定理的简单应用,属于基础题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）；（3）.【解析】

（1）将点代入函数的解析式得到，令，由可求出的值，令，由得，两式相减得出数列为等比数列，确定该数列的公比，利用等比数列的通项公式可求出数列的通项公式；（2）求出数列的通项公式，利用错位相减法求出数列的前项和；（3）利用分组求和法与裂项法求出数列的前项和，由题意得出，判断出数列各项的符号，得出数列的最大值为，利用函数的单调性得出该函数在区间上的最大值为，然后解不等式可得出实数的取值范围.【详解】（1）将点代入函数的解析式得到.当时，，即，解得；当时，由得，上述两式相减得，得，即.所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，因此，；（2），，因此，①，②由①②得，所以；（3）．令为的前项和，则.因为，，，，当时，，令，，令，则，当时，，此时，数列为单调递减数列，，则，即，那么当时，数列为单调递减数列，此时，则.因此，数列的最大值为.又，函数单调递增，此时，函数的最大值为．因为对任意的，存在，.所以，解得，因此，实数的取值范围是.【点睛】本题考查利用等比数列前项和求数列通项，同时也考查了错位相减法求和以及数列不等式恒成立问题，解题时要充分利用数列的单调性求出数列的最大项或最小项的值，考查化归与转化思想的应用，属于难题.18、（1）证明见解析（2）到平面的距离为【解析】

试题分析：（1）连结BD、AC相交于O，连结OE，则PB∥OE，由此能证明PB∥平面ACE．（2）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出A到平面PBD的距离试题解析：(1）设BD交AC于点O，连结EO．因为ABCD为矩形，所以O为BD的中点．又E为PD的中点，所以EO∥PB又EO平面AEC，PB平面AEC所以PB∥平面AEC．（2）由，可得.作交于．由题设易知，所以故，又所以到平面的距离为法2：等体积法由，可得.由题设易知,得BC假设到平面的距离为d，又因为PB=所以又因为(或)，，所以考点：线面平行的判定及点到面的距离19、（1）；（2）【解析】

（1）根据辅助角公式和的范围，得到的值；（2）利用余弦定理和基本不等式，得到的范围，结合三角形三边关系，从而得到周长的取值范围.【详解】（1）因为，所以，即，因为，所以，所以，所以；（2）在中，由余弦定理得由基本不等式可知，又，所以解得，根据三角形三边关系得，即，故所以周长的范围为.【点睛】本题考查辅助角公式，余弦定理解三角形，基本不等式求最值，三角形三边关系，属于中档题.20、（1）；（2）；（3）.【解析】

(1)识别频率直方图，注意其纵轴的意义；(2)在频率直方图中平均数是每组数据的组中值乘以频率，中位数是排在最中间的数;(3)求出古典概型中的基本事情总数和具体事件数，利用比值求解.【详解】（1）由频率分布直方图知，年龄在的频率为所以，名读书者年龄分布在的人数为人.（2）名读书者年龄的平均数为：设中位数为，解之得，即名读书者年龄的中位数为岁.（3）年龄在的读书者有人，记为，；年龄在的读数者有人，记为，，，从上述人中选出人，共有如下基本事件：,共有基本事件数为个,记选取的两名读者中恰好有一人年龄在中为事件，则事件包含的基本事件数为个:故.【点睛】本题考查识别频率直方图和样本的数字特征，属于基础题.21、（1）见解析；（2）【解析】

（1）由题设AB=AC=SB=SC=SA，连结OA，推导出SO⊥BC，SO⊥AO，由此能证明SO⊥平面ABC;（2）设点B到平面SAC的距离为h，由VS﹣BAC