沪教版 八年级数学 平行四边形的性质和判定

生平行四边形的性质和判定条

专课前测试

【题目】课前测试

如图,口ABCD中，zABC和/BCD的平分线交于AD边上一点E,且BE=4,CE=3,求

AB的长。

【答案】2.5

【解析】“ABCD

.-.AB=CDAD=BCzABC+zBCD=180°

.zABC和/BCD的平分线交于AD边上一点E

11

...NABE=NEBC=—/ABCNDCE=NECB=-NBCD

22

1111

...NEBC+NECB=—NABC+—NBCD=—(/ABC+NBCD)=—xl80°=90°

2222

.•.zBCE=180°-(zEBC+zECB)=180°-90°=90°

在RbBCE中，BE=4CE=3

，BC=^BE2+CE2)=^(42+32)=5

X.AD//BC

.-.zEBC=zAEBzECB=zDEC

.-.zABE=zAEBzDCE=zDEC

..AB=AECD=DE

115

；.AB=AE=DE=—AD=—BC=—

222

总结：充分利用平行四边形的性质以及勾股定理的知识进行解题。

【难度】3

【题目】课前测试

如图，分别以RtMBC的直角边AC及斜边AB向外作等边^ACD、等边^ABE,已知N

BAC=30°,EF±AB,垂足为F,连接DF。求证：四边形ADFE是平行四边形。

【解答】证明：在Rt-ABC,NBAC=30°,

.-.ZABC=60°,

等边工ABE中,zABE=603,且AB=BE,

-.EFxAB,

"EFB=90°,

.-.Rt-ABC^Rt-EBF,

.-.AC=EF,

又在等边工ACD中,zDAC=60°,AD=AC,

又2BAC=30°,

.-.ZDAF=90°,

.-.ADllEF,

又；AC=EF,..AD=EF,

，四边形ADFE是平行四边形.

总结：熟悉平行四边形的判定以及等边三角形的性质、全等三角形判定进行解题

【难度系数】4

售知识定位

适用范围沪教版，初二年级

知识点概述：平行四边形是初中几何中应用的重点，很多大题的证明都需要用到这一知

识点，也是中考的重要考查部分。同学们学习这一章节要掌握并灵活运用平行四边形的性质

和判定，后面学矩形、正方形、菱形都是在平行四边形的基础上展开的，所以非常关键。

适用对象成绩中等

;主意事项跟学生讲清楚性质和判定，然后主要对几何题目给学生引导和分析，帮助学生

一步步分析向结论出发。

重点选讲：

①平行四边形的性质

II

②平行四边形的判定

③平行四边形，性质和判定的综合应用

磬知识梳理

卷知识梳理1:平行四边形的性质

⑥知识梳理2:平行四边形的判定

(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形(定义法)

数学语言描述：若AB//CD,AD〃BC,则口ABCD

(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形

数学语言描述：若AB=CD,AD=BC,则。ABCD

(3)两组对角分别相等的四边形是平行四边形

数学语言描述：若NA=NC,zB=zD,则oABCD

(4)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

数学语言描述：若AB//CD,AB=CD,贝！J口ABCD

(5)对角线互相平分的四边形是平行四边形

数学语言描述：若OA=OC,OB=OD,贝!!DABCD

X1/

3管3总结：5种判定方法都是利用全等三角形来证明两组对边平行，从而得出四边

形ABCD是平行四边形.......一^

「这5种判定你都

\掌握了吗？)

。知识梳理3:平行四边形性质和判定的综合应用

思考：

1、平行四边形的性质有哪些？

2、如何判定一个四边形是平行四边形？

3、有关平行四边形几何大题中该如何处理解题

会解答提示:紧抓平行四边形的性质和判定，分析题目条件进行解题。

念例题精讲

【题目】题型1:平行四边形的性质

如图，ABCD中，AC交BD于0,AE±BD于E,zEAD=60°,AE=2cm,

AC+BD=14cm,求：三角形BOC的周长。

【答案】11cm

【解析】.AEJ_BD,zEAD=60°,

.-.zADE=30°,

.,.AD=2AE=4cm,

.四边形ABCD是平行四边形，

.,.AO=CO,BO=DO,BC=AD=4cm,

■.AC+BD=14cm,

；.B0+C0=7cm,

.“OBC的周长为：7+4=ll(cm)

故答案为：11cm

总结:充分利用平行四边形的性质和含30°的直角三角形的性质进行解题。

【难度】3

【题目】题型1变式练习1:平行四边形的曲

如图，EF过ABCD对角线的交点。，交AD于E,交BC于F,若ABCD的周长为18,

0E=1.5,求四边形EFCD的周长。

【答案】112

【解析】

解：•・四边形ABCD是平行四边形,周长为18,

.-.AB=CD,BC=AD,OA=OC,ADIIBC,

.-.CD+AD=9,zOAE=zOCF,

'AOAE=ZOCF

在二AE。和aCFO中，,OA=OC,

AAOE=ACOF

."AEOaCFO(ASA),

.-.OE=OF=1.5,AE=CF,

则EFCD的周长=ED+CD+CF+EF=(DE+CF)+CD+EF=AD+CD+EF=9+3=12.

总结：灵活使用平行四边形的性质，摘取到题目要求的关键性质进行解题！

【难度】3

【题目】题型1变式练习2:平行四边形的性质

如图在ABCD中,CE±AD,CF±BA，交BA的延长线于F/FBC=30°,CE=3cm,CF=5cm,

求ABCD的周长。

【答案】32cm

【解析】.CE^AD/FBC=30°,CF=5cm

.-.BC=2CF=2x5=10cm

•・四边形ABCD是平行四边形

.-.zCDE=zFBC=30°

X'.CE±AD,CE=3cm

.•.CD=2CE=2x3=6cm

ABCD的周长为：2(BC+CD)=2(10+6)=32cm

总结：掌握平行四边形和性质和含30。锐角的直角三角形性质进行解题

【难度系数】3

【题目】题型2:平行四边形的判定

如图：在四边形ABCD中，AB//DC,对角线AC、BD交于点O,EF过。点交AB于E,

交CD于F,且OE=OF,则四边形ABCD是平行四边形，试说明理由。

【答案】见解析

【解析】四边形ABCD是平行四边形，理由如下:

­.AB//DC

.-.zOBE=zODF

在（BE和AODF中

NOBE=NODFNBOE=NDOF（对顶角）OE=OF（已知）

."OBE当ODF（AAS）

.-.BE=DF

同理AAOE当COF

.-.AE=CF

；.BE+AE=DF+CF

即AB=DC

又.AB〃DC

，四边形ABCD是平行四边形

总结：通过两组三角形全等可以得出对边平行且相等，从而证明四边形ABCD是平行四边

形。

【难度系数】3

【题目】题型2变式练习1:平行四边形的判定

判断题

（1）相邻的两个角都互补的四边形是平行四边形。（V）

（2）两组对角分别相等的四边形是平行四边形。（V）

（3）一组对边平行，另一组对边相等的四边形。（x）

（4）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。（V）

（5）对角线相等的四边形是平行四边形。（x）

（6）对角线互相平分的四边形是平行四边形。（V）

【解析】

(1)根据平行线的判定，四边形中相邻两个角互补可以得出两组对边平行，从而判断是平

行四边形。

(2)两组对角分别相等是平行四边形的其中一种判定，所以成立。

(3)一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是平行四边形，也可能是等腰梯形，所

以不成立。

(4)一组对边平行且相等也是平行四边形的其中一种判定，所以成立。

(5)对角线相等的四边形不能判断是平行四边形，有很多别的可能。

(6)对角线互相平分也是平行四边形的其中一种判定，所以成立。

总结：掌握多种平行四边形的判定方法并灵活运用，不要急混淆了！

【难度系数】2

【题目】题型2变式练习2:平行四边形的判定

如图，BD是ABCD的对角线，点E、F在BD上，要使四边形AECF是平行四

边形，还需要增加的一个条件是O

【答案】OE=OF、BE=DF、AF〃CE、AE〃CF、NBEA=NDFC(能证出来均可)

【解析】

.四边形ABCD是平行四边形

.-.OA=OCOB=OD

要证明四边形AECF是平行四边形

已经有OA=OC

所以只要满足

①对角线OE=OF成立即可（因为对角线互相平分的四边形是平行四边形）；

②满足BE=DF,由于OB=OD,所以OB-BE=OD-DF,即对角线OE=OF,同①成立；

③满足AE〃CF,可以得出NAEO=NCF。，NAOE=NCOF,又有OA=OC,则&AOE^^COF,

所以OE=OF,同①成立；

④同③一样

⑤满足NBEA=NDFC,可得至IJNAEO=NCFO,也就是AE〃CF,后面证明同③

总结：具体题目中证明平行四边形，要根据已知题目条件找到合适的判定方法进行证明。

【难度系数】3

【题目】题型3:平行四边形性质和判定的综合应用

如图所示，四边形ABCD为平行四边形，对角线AC,BD相交于点。，过。作直线EF分

别交AD,BC于点E,F。求证：四边形BEDF为平行四边形。

【答案】见解析

【解析】

证明：；四边形ABCD是平行四边形

.-.OD=OB,AD//BC

.-.zOED=zOFBNODE=NOBE

..△ODE学OBF(AAS)

.-.ED=BF

X.AD//BC即ED//BF

二四边形BEDF是平行四边形

总结：只要经过平行四边形对角线交点的直线，一定能被对角线平分，并且得到新的平行四

边形。反之，告诉四边形一组对边平行，经过四边形对角线交点的线段被对角线平分，一定

可以判断出这个四边形是平行四边形。（对照例题2,要给学生作归纳总结哦）

【难度系数】3

【题目】题型3变式练习1:平行四边形性质和判定的综合应用

已知：如图，ABCD中，E、F分别是AB、CD上的点，AE=CF,M、N分别是DE、

BF的中点。求证：四边形ENFM是平行四边形。

【答案】见解析

【解析】

证明：1.四边形ABCD是平行四边形

，AB〃CD且AB=CD

-,AE=CF

.-.BE=DF

，四边形DFBE是平行四边形

..DE〃BF且DE=BF

X-.-M、N分别是DE、BF的中点

..ME〃FN且ME=FN

，四边形ENFM是平行四边形

总结：先证四边形DEBF为平行四边形，再证ME=NF0一题中融入性质和判定，综合解题。

【难度系数】3

【题目】题型3变式练习2:平行四边形性质和判定的综合应用

如图所示：四边形ABCD是平行四边形，DE平分NADC,BF平分/ABC,DE与CB延长

线交于E点，BF与AD延长线交于F点，试证明四边形BFDE是平行四边形。

【解析】

证明：1.四边形ABCD是平行四边形

.-.AD//CB即DF//BEzADC=zABC

'.DE平分NADC,BF平分/ABC

11

.,.zl=z2=-zADCN3=N4=—NABC

22

.,.zl=z2=z3=z4

•.DF//BE

;.NF=N3

.,.zF=zl

.■.FB//DE

X.DF//BE

，四边形BFDE是平行四边形

【难度系数】3

【题目】兴趣篇1

如图，已知分别是以的邻边、为边向外所作的等边三角形。

ABCE、ADCFABCDBCCD

求证：AAEF是等边三角形。

【答案】见解析

【解析】

证明:ABCD

.'.DA=BC,AB=DCzABC=zADC

“BCE、ACDF是等边三角形

..NCBE=60。BC=BE

NCDF=60。DC=FD

..NCBE=NCDFAB=FDBE=DA

.'.zABC+zCBE=zADC+zCDF

即NABE=NFDA

在AABE和AFDA中

；AB=FDNABE=NFDABE=DA

.“ABE学FDA(SAS)

.-.AE=AF

设NBCD=X，贝！UABC=180°-X

NABE=NABC+NCBE=(180°-x)+60°=240°-x

zFCE=360°-zBCD-zBCE-zDCF=360o-x-60o-60o=240°-x

所以NABE=NFCE

又.AB=FCBE=CE

.,.△ABE^AFCE

.-.AE=EF

.-.AE=AF=EF

故AAEF是等边三角形

【难度系数】4

【题目】兴趣篇2

如图，口ABCD的对角线AC,BD相交于点。，EF过点。且与AB,CD分别相交于点E,

F,连接EC.

(1)求证：OE=OF;

(2)若EF±AC,ABEC的周长是10,求口ABCD的周长.

AD

【答案】（1）见解析

(2)20

【解析】(1)证明：,••四边形ABCD是平行四边形，

.QD=OB,DCIIAB.

..NFDO=NEBO.

在ADFO和ABEO中，

2D0=NEB0,

<OD=OB,

、NFOD=NEOB,

.-.ADFO^BEO(ASA).

；QE=OF.

⑵.四边形ABCD是平行四边形，

..AB=CD,AD=BC,OA=OC.

■.EF±AC,.-.AE=CE.

•sBEC的周长是10,

.'.BC+BE+CE=BC+BE+AE=BC+AB=10.

ABCD=2(BC+AB)=20.

【难度系数】3

【题目】备选试题1

平行四边形的两邻边分别是4和6,其中一边上的高是3,求平行四边形的面积。

【答案】12或18

【解析】

【解析】当高是任平行四边形的边长为4的边匕此时平行四边彬的面枳为：3x4=12

当高是位平行四边形的边长是6的边匕此时平行四边形的面积为：3x6=18

故答案为：12或18

【难度系数】2

【题目】•选试题2

如图,四边形ABCD的对角线AC、BD交于点。，且BD平分AC,若BD=8,AC=6,z

BOC=120°,求四边形ABCD的面积。

【答案】1223

【解析】解析：BD平分AC,所以OA=OC=3,

因为NBOC=120。.

所以/LXX'=ZA0B=60°.过C作CH±BDTH.

过A作AG_LBDFG.在△CHO中,ZC0H=60°.

OC=3,所以

同理：AG=；W,

所以四边形ABCD的面积=S-Q+=8x［石=12拒.

【难度系数】3

【题目】•选试题3

如图，°ABCD的对角线AC,BD交于点O