数学（文）一轮教学案第二章第6讲对数与对数函数

第6讲对数与对数函数

考纲展示命题探究

考点展示考纲要求高考命题探究

(1)理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式能招TQ

1.内容探究：对数及对数的运算性质，以

对数转化成自然对数或常用对数;了解对数在简化运算中的

对数函数为载体的对数型函数的图象与

作用.

性质,考直函数值的大小比较及单调性的

(2)理解对数函数的概念;理解对数函数的单调性，掌握函

对数与对数函数应用,尤其是有关对数函数的复合函数是

数图象通过的特殊点.

高考热点.

(3)矢暗寸数函数是一类重要的函数题型.

2.形式探究：高考中本讲内容多以选择

(4)了解指数函数.尸〃与对数函数产10gM互为反函数30.

题和解答题形式出现.

«#1).

7

考点对数与对数函数

任基础点重难点

1对数的概念

如果〃=N(a>0，且aWl),那么数%叫做以。为底N的对数,

记作X=、O&aN,其中团叫做对数的底数，”叫做真数.

2对数的性质与运算法则

(1)对数的性质

几个恒等式(M,N,a,匕都是正数，且a,g)

n

①alog“N=N；②10&〃=凶③logbN=能会;@log<w,Z?=^log„Z>；

⑤log"氤，

推广logaZblogQlogcd=log“d.

⑵对数的运算法则(。>0,且。Wl,M>0,N>0)

①10ga(NM=10gaM+10&JV；②log。那=logaM—lORjV；③logJW"

=〃10gaM〃£R)；④10ga%?=[k>gaM.

3对数函数的图象及性质

a>l0<«<1

a>l0<。<1

定义域：(0,+8)

值域：R

性过点(L0),即％=]_时，y=0

质当%>1时，y>0当x>l时，y<0

当0cx<1时，y<0当0<%<1时，y>0

在(0,+8)上是增函数在(0,+8)上是减函数

M注意点对数的运算性质及公式成立的条件

对数的运算性质以及有关公式都是在式子中所有的对数符号有

意义的前提下才成立的，不能出现log212=log2[(-3)X(-4)]=

log2(-3)+10g2(-4)等错误.

〃、题机做：

1.思维辨析

⑴若10g2(10g3X)=Iog3(log2>)=0,则%+y=5.()

(2)21og510+log50.25=5.()

(3)已知函数兀t)=lg%,若犬ab)=l,贝(J大屋)+/(")=2.()

(4)当%>1时log〃%>0.()

|+x

(5)函数y=ln■与y=ln(1+%)—In(1一%)的定义域相

1JC

同・()

(6)若log«m<log„n,贝！Jm<n.()

答案(1)V(2)X(3)J(4)X(5)J(6)X

2.函数产｛RML的定义域为()

A.(-4,-1)B.(-4,1)

C.(-1,1)D.(-1,1]

答案C

x+1>0,

解析要使函数有意义，须使[T—3x+4>。，解得f

所以函数的定义域为(-1,1).

3.(1)若2a=5%=10,则｝+'=

2

⑵已知a3=和〉0),则log2a=.

答案(1)1(2)3

解析⑴•.•2"=5%=10,.,.a=k)g210,0=log510,2,；=

坨5'•••!+[=lg2+lg5=l.

2

(2)因为a3

故log2a=log2

33

话命题法解题法

>［考法综述］考查对数运算，换底公式及对数函数的图象和性

质，对数函数与塞指数函数相结合.综合考查利用单调性比较大小、

解不等式等是高考热点.主要以选择题、填空题形式出现.

典例(1)函数./(x)=21n%的图象与函数g(x)=f—4%+5的图

象的交点个数为()

A.3B.2

C.1D.0

_3

Q)即"+log31+log31=.

(3)已知。>0,。〉0,。。=8,贝1］当a的值为时，log20k)g2(2。)

取得最大值.

［解析I(1)在同一直角坐标系下画出函数«x)=21n%与函数g(x)

=/-4%+5=(%—2)2+1的图象，如图所示.

-------+111--------►

()\\234工

V/(2)=21n2>g(2)=1,.../(%)与g(x)的图象的交点个数为2.

_3

⑵原式=|W］4+1陶(泻RI卜+9考

(3)当log2a与log2(2b)有一个为负数时，log2tz-log2(2Z?)<0显然不

是最大值.

当10g2fl与10g2(2Z?)都大于零时，

1阳°1唯(2份耳现2。+臂(2"=卜竽/=4,当且仅当a

=2b,即a=4,。=2时"="成立.

27

［答案］(1)B⑵至(3)4

A【解题法】对数运算及对数函数问题解题策略

(1)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对

数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幕的运算.

(2)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在

求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思

想求解.

(3)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，

利用数形结合法求解.

髭对点题必刷题

1.设/(x)=lnx,O<a<。，若p=fiy[ab'),q=fa>,r=5(/(Q)+/(/7)),

则下列关系式中正确的是()

A.q=r<pB.p=r<q

C.q=r>pD.p=r>q

答案B

解析'：0<a<h,又八%)=ln%在(0,+8)上单调

递增，故人犯,即q>p,Vr=+//?))=1(lna+lnZ?)

=lny[ab=_f(y[ab)—p,.,.〃=r</故选B.

7U)=10gl(12—4)的单调递增区间为()

2

A.(0,+°0)

B.(一8,0)

C.(2,+8)

D.(-8,-2)

答案D

解析由％2—4〉。得了>2或％<—2,因此函数定义域为(-8,—

2)U(2,+8).令，=%2一%当%£(-8,—2)时，，随％的增大而减

小，y=logl/随/的增大而减小，所以y=logl(X2—4)随工的增大而

22

增大，即“X)在(一8,—2)上单调递增.故选D.

3.设。=log37,h=2,c,则()

A.b<a<cB.c<a<b

C.c<b<aD.a<c<b

答案B

角星析由3<7<9得Iog33<log37<log39,A\<a<2,由2>21=2得

h0—1得c<l,因此c<a<h,故选B.

4.已知关于％的方程.卜=卢产有正根，则实数。的取值范围

1—1ga

是()

A.(0,1)B.(0.1,10)

C.(0.1,1)D.(10,+8)

答案c

解析当x>0时，0<住}<1,,.•关于％的方程d}=岩黑有正根,

,］华<1，

1+I2a1-Iga

；.0<-~~^<1,,解得一l<lga<0,.故选

l-lga1+lga

,>0,

11—lga

C.

5.函数y=21og4(l-x)的图象大致是()

CD

答案c

解析函数y=21og4（l—%）的定义域为（一8,1）,排除A、B；

又函数y=21og4（l—x）在定义域内单调递减，排除D.选C.

6.若q=log43,则2"+2-"=.

答案挈

log2V3Tog#

解析Va=log43=log2A/3,：.2a-\-2~a=2+2'=小

,14^/3

十市—3・

学霸错题警示不考虑定义域导致错误

最函数y=logi(•?—2%)的单调递减区间是.

2

［错解］

今〃二/一27,则j/Ko%,

•:a=(L/Y」应(一④，/)上单通递减，

一(/,十④)上率阀或琏.

卸y二2。？/,。＜/＜乙

，多二?。&〃华阀良臧，

.・・多义。恐(如一功)的军阀通城区间水/,十8).

［错因分析］易出现两种错误：一是不考虑定义域，二是应用复

合函数的单调性法则时出错.

［正解|由(-2%＞0,得函数y=log,(f—2%)的定义域为(一8,

2

0)U(2,+8).

令〃=/—2%,则“在(一8,0)上是减函数，在(2,+8)上是增

函数，

又y=logj_〃在(0,+8)上是减函数，

所以函数y=logj_a2—2%)在(-8,0)上是增函数，在(2,+°°)

2

上是减函数.

故函数y=k)gj_(1?—2%)的单调递减区间是(2,+°°),故填(2,+

2

[心得体会]

对数函数的定义成是解复合用数单阀怛问

熟时极易忽碱的条件,另外宴掌握复合感数的

隼洞怛的判用方注.

.整课时撬分练

时间：60分钟

基础组

_1

一9

1.[2016彳断水中学模拟]已知Iog7[log3(log2%)]=0,那么％等于

()

A-i

c雪

答案D

解析由Iog7[log3(log2^)]=0,得10g3(10g2X)=l,即log2_X=3,

1_1

解得％=8,所以x2=82=7^=云巨=\；故选D.

2

3Q

2.[2016・武邑中学仿真]lg«T丽-8°=()

23

T

答案B

2232

解析lg^/T000-83=lg牛正一83=lgIO5-(23)3=j-

,17

4一T

3.[2016•冀州中学猜题]已知％=log2小，y=log47t,z,则()

A.x<y<zB.z<y<x

C.y<z<xD.y<x<z

答案A

解析y=log47T=^|^=log2Vji>log2W，即>>%,z>l,所以

故选A.

4.［2016•枣强中学期中］已知函数Kx)=logM,若在［1,8］上任取一

个实数刈,则不等式1W_A%o)W2成立的概率是()

B3

C.|

D，2

答案C

4—2

解析1W/5))W2=1Wlog*oW2=2WxoW4,，所求概率为二y

O—1

2

7-

5.［20⑹衡水二中仿真］已知函数g(x)是偶函数，/U)=g(%—2),

且当时其导函数/㈤满足(X—2)/(x)>0,若l<a<3,贝U()

A.火4")勺(3)勺(log3。)

B.八3)勺(log3a)勺(4")

C.八log3。)勺(3)勺(4〃)

D./Uog3a)勺(4。)勺(3)

答案B

解析(工)〉0,，%>2时，f(x)>0；X<2时，fU)<0.

.,.段)在(2,+8)上递增，在(—8,2)上递减.-ga)是偶函数，二.

g(%—2)关于％=2对称，即<%)关于％=2对称，*/l<fl<3,

八3)勺Uog3〃)勺(华).故选B.

6.[2016•枣强中学期末]已知函数段)=|loglX|,若W,有角n)

2

=f(n),则m+3〃的取值范围是()

A.[2小，+8)B.(26，+8)

C.[4,+8)D.(4,+8)

答案D

解析•.,_/(%)="g#,若有力")=&2),「.logj,根=—logj.

22

3

n.mn=1.0<m<1,〃>1....m+3〃="+而在加£(0,1)上单调递减.当

m—1时，m+3n=4,/.m+3n>4.

7.[2016彳断水二中模拟]已知函数八%)=log(_?-ar+3a)在[2,+

8)上单调递减，则。的取值范围是()

A.(—8,4]B.[4,+8)

C.[-4,4]D.(-4,4]

答案D

解析令t=g(x)=x2—ax-\-3a,\'j(x)=\ogt在定义域上为减函

数，要使火工)=108(_?一。%+3。)在[2,+8)上单调递减，则，=g(%)=

x2—QX+3Q在[2,+8)上单调递增，且t=g(x)=x1—ax-\-3a>0,即

「2,

aW4,

即一4<aW4,选D.

«>—4,

8.[2016・武邑中学预测]函数y=lg二匕的大致图象为（）

1二十11

答案D

解析y=lgJ[是偶函数，关于y轴对称，且在（0,+8）上单调

I人I

递减，而y=lg厂长的图象是由y=lg=的图象向左平移一个单位长

\X\i\|用

度得到的.故选D.

9.[2016•冀州中学仿真|函数y^cvc2+bx与y=logb%(a/层0,

⑷刊例）在同一直角坐标系中的图象可能是（）

答案D

解析从对数的底数入手进行讨论，结合各个选项的图象从抛物

bh1b1

线对称轴的取值范围进行判断，D选项0<-<1,0<三；<5,0<—

Ih

或一2〈一五<0,故选D.

10.［2016•武邑中学猜题］若直角坐标平面内的两个不同点M,N

满足条件：

①M,N都在函数y=/(x)的图象上；

②M,N关于原点对称.

则称点对［M,N］为函数y=/U)的一对“友好点对”.(注：点对

［M,N］与IN,M］为同一“友好点对”)

Iog3%(x>0),

已知函数/(%)=,“，1c、此函数的''友好点对”有

［一/一4%(%^0),

()

A.0对B.1对

C.2对D.3对

答案C

解析由题意，当％>0时，将九¥)=logM的图象关于原点对称后

可知，g（x）=-log3（—%）（%<。）的图象与％W0时“X）=—%2—4%的图象

存在两个交点，如图所示，故“友好点对”的个数为2,故选C.

2

11.［2016彳氮水二中期末］已知。>0且aWl,若函数/U）="g（x-2Y

+3）有最大值，则不等式logatx2—5%+7）〉0的解集为.

答案（2,3）

解析因为好一2x+3=（x—1/+222有最小值2,所以1g。2—

2%+3）与lg2,所以要使函数7U）有最大值，则函数八x）必须单调递减，

OVA2—5%+7,

所以0<%(%2—5%+7)〉0得CKx2—5%+7<1,即，解得

2<%<3,即原不等式的解集为（2,3）.

12.［2016•冀州中学预测］已知函数段）=logl（%2—2ar+3）.

2

（1）若函数«x）的定义域为（一8,1）U（3,+8）,求实数。的值;

（2）若函数«x）的定义域为R,值域为（-8,-1］,求实数。的值;

（3）若函数人处在（-8,1］上为增函数，求实数。的取值范围.

解（1）由题意可知，JC2—2以+3=0的两根为为=1,

%2=3,..%1+%2=2。，..4=2.

（2）因为函数兀T）的值域为（-8,—1］,则«X）max=—l,

所以y=/—2"+3的最小值为>min=2,

由y—x2—2ax~\~3—（x—6z）2+3—a2,得3—a2—2,

所以层=1,所以。=±i.

（3加工）在（-8,1］上为增函数，则y=/—2or+3在（-8,1］上

为减函数，有y>0,

1,

所以即c故IWaa的取值范围是［1,2).

1一2。+3>0,a<2,

能力组

1

2-

z

(

13.[2016•枣强中学模拟]设«=log32,b=\n2,c=5\

A.a<b<cB.b<c<a

C.c<a<bD.c<h<a

答案