2024年高考数学试卷（新课标Ⅱ卷）（解析卷）

2024年普通高等学校招生全国统一考试（新课标II卷）

数学

本试卷共10页，19小题，满分150分.

注意事项：

1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证

号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试

卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.

3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草

稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.

4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，

只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.

z=

1.已知z=-1-i，则（）

A.0B.1C.2D.2

【答案】C

【解析】

【分析】由复数模的计算公式直接计算即可.

【详解】若z=-1-i，则z=-12+-12=2.

故选：C.

2.已知命题p："xÎR，|x+1|>1；命题q：$x>0，x3=x，则（）

A.p和q都是真命题B.Øp和q都是真命题

C.p和Øq都是真命题D.Øp和Øq都是真命题

【答案】B

【解析】

【分析】对于两个命题而言，可分别取x=-1、x=1，再结合命题及其否定的真假性相反即可得解.

【详解】对于p而言，取x=-1，则有x+1=0<1，故p是假命题，Øp是真命题，

对于q而言，取x=1，则有x3=13=1=x，故q是真命题，Øq是假命题，

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综上，Øp和q都是真命题.

故选：B.

rrrrrrrrr

3.已知向量a,b满足a=1,a+2b=2，且b-2a^b，则b=（）

123

A.B.C.D.1

222

【答案】B

【解析】

rrrr2rrrrrrrr2r2

【分析】由b-2a^b得b=2a×b，结合a=1,a+2b=2，得1+4a×b+4b=1+6b=4，由此即

可得解.

rrrrrrr2rr

【详解】因为b-2a^b，所以b-2a×b=0，即b=2a×b，

rrr

又因为a=1,a+2b=2，

rrr2r2

所以1+4a×b+4b=1+6b=4，

r2

从而b=.

2

故选：B.

4.某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg）并

部分整理下表

亩产[900，[950，[1000，[1100，[1150，

量950）1000）1050）1150）1200）

频数612182410

据表中数据，结论中正确的是（）

A.100块稻田亩产量的中位数小于1050kg

B.100块稻田中亩产量低于1100kg的稻田所占比例超过80%

C.100块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间

D.100块稻田亩产量的平均值介于900kg至1000kg之间

【答案】C

【解析】

【分析】计算出前三段频数即可判断A；计算出低于1100kg的频数，再计算比例即可判断B；根据极差计

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算方法即可判断C；根据平均值计算公式即可判断D.

【详解】对于A,根据频数分布表可知,6+12+18=36<50,

所以亩产量的中位数不小于1050kg,故A错误；

对于B，亩产量不低于1100kg的频数为24+10=34，

100-34

所以低于1100kg的稻田占比为=66%，故B错误；

100

对于C，稻田亩产量的极差最大为1200-900=300，最小为1150-950=200，故C正确；

对于D，由频数分布表可得，亩产量在[1050,1100)的频数为100-(6+12+18+24+10)=30，

1

所以平均值为´(6´925+12´975+18´1025+30´1075+24´1125+10´1175)=1067，故D错

100

误.

故选；C.

5.已知曲线C：x2+y2=16（y>0），从C上任意一点P向x轴作垂线段PP¢，P¢为垂足，则线段PP¢

的中点M的轨迹方程为（）

x2y2x2y2

A.+=1（y>0）B.+=1（y>0）

164168

y2x2y2x2

C.+=1（y>0）D.+=1（y>0）

164168

【答案】A

【解析】

【分析】设点M(x,y)，由题意，根据中点的坐标表示可得P(x,2y)，代入圆的方程即可求解.

【详解】设点M(x,y)，则P(x,y0),P¢(x,0)，

因为M为PP¢的中点，所以y0=2y，即P(x,2y)，

又P在圆x2+y2=16(y>0)上，

x2y2

所以x2+4y2=16(y>0)，即+=1(y>0)，

164

x2y2

即点M的轨迹方程为+=1(y>0).

164

故选：A

6.设函数f(x)=a(x+1)2-1，g(x)=cosx+2ax，当xÎ(-1,1)时，曲线y=f(x)与y=g(x)恰有一个

交点，则a=（）

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1

A.-1B.C.1D.2

2

【答案】D

【解析】

【分析】解法一：令Fx=ax2+a-1,Gx=cosx，分析可知曲线y=F(x)与y=G(x)恰有一个交

点，结合偶函数的对称性可知该交点只能在y轴上，即可得a=2，并代入检验即可；解法二：令

hx=f(x)-gx,xÎ-1,1，可知hx为偶函数，根据偶函数的对称性可知hx的零点只能为

0，即可得a=2，并代入检验即可.

【详解】解法一：令f(x)=gx，即a(x+1)2-1=cosx+2ax，可得ax2+a-1=cosx，

令Fx=ax2+a-1,Gx=cosx，

原题意等价于当xÎ(-1,1)时，曲线y=F(x)与y=G(x)恰有一个交点，

注意到Fx,Gx均为偶函数，可知该交点只能在y轴上，

可得F0=G0，即a-1=1，解得a=2，

若a=2，令Fx=Gx，可得2x2+1-cosx=0

因为xÎ-1,1，则2x2³0,1-cosx³0，当且仅当x=0时，等号成立，

可得2x2+1-cosx³0，当且仅当x=0时，等号成立，

则方程2x2+1-cosx=0有且仅有一个实根0，即曲线y=F(x)与y=G(x)恰有一个交点，

所以a=2符合题意；

综上所述：a=2.

解法二：令hx=f(x)-gx=ax2+a-1-cosx,xÎ-1,1，

原题意等价于hx有且仅有一个零点，

因为h-x=a-x2+a-1-cos-x=ax2+a-1-cosx=hx，

则hx为偶函数，

根据偶函数的对称性可知hx的零点只能为0，

即h0=a-2=0，解得a=2，

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若a=2，则hx=2x2+1-cosx,xÎ-1,1，

又因为2x2³0,1-cosx³0当且仅当x=0时，等号成立，

可得hx³0，当且仅当x=0时，等号成立，

即hx有且仅有一个零点0，所以a=2符合题意；

故选：D.

52

7.已知正三棱台ABC-ABC的体积为，AB=6，AB=2，则AA与平面ABC所成角的正切值为

1113111

（）

1

A.B.1C.2D.3

2

【答案】B

【解析】

43

【分析】解法一：根据台体的体积公式可得三棱台的高h=，做辅助线，结合正三棱台的结构特征求

3

43

得AM=，进而根据线面夹角的定义分析求解；解法二：将正三棱台ABC-A1B1C1补成正三棱锥

3

P-ABC，A1A与平面ABC所成角即为PA与平面ABC所成角，根据比例关系可得VP-ABC=18，进而可

求正三棱锥P-ABC的高，即可得结果.

【详解】解法一：分别取BC,B1C1的中点D,D1，则AD=33,A1D1=3，

131

可知S=´6´6´=93,S=´2´3=3，

VABC22VA1B1C12

设正三棱台ABC-A1B1C1的为h，

15243

则VABC-ABC=93+3+93´3h=，解得h=，

111333

如图，分别过A1,D1作底面垂线，垂足为M,N，设AM=x，

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16

则AA=AM2+AM2=x2+，DN=AD-AM-MN=23-x，

113

216

可得DD=DN2+DN2=23-x+，

113

2

æ6-2ö

结合等腰梯形BCCB可得22,

11BB1=ç÷+DD1

è2ø

2

2161643

即x+=23-x++4，解得x=，

333

AM

所以AA与平面ABC所成角的正切值为tanÐAAD=1=1；

11AM

解法二：将正三棱台ABC-A1B1C1补成正三棱锥P-ABC，

则A1A与平面ABC所成角即为PA与平面ABC所成角，

PAAB1VP-ABC1

因为1=11=，则111=，

PAAB3VP-ABC27

2652

可知V=V=，则VP-ABC=18，

ABC-A1B1C127P-ABC3

113

设正三棱锥P-ABC的高为d，则V=d´´6´6´=18，解得d=23，

P-ABC322

取底面ABC的中心为O，则PO^底面ABC，且AO=23，

PO

所以PA与平面ABC所成角的正切值tanÐPAO==1.

AO

故选：B.

8.设函数f(x)=(x+a)ln(x+b)，若f(x)³0，则a2+b2的最小值为（）

111

A.B.C.D.1

842

【答案】C

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【解析】

【分析】解法一：由题意可知：f(x)的定义域为-b,+¥，分类讨论-a与-b,1-b的大小关系，结合符

号分析判断，即可得b=a+1，代入可得最值；解法二：根据对数函数的性质分析ln(x+b)的符号，进而

可得x+a的符号，即可得b=a+1，代入可得最值.

【详解】解法一：由题意可知：f(x)的定义域为-b,+¥，

令x+a=0解得x=-a；令ln(x+b)=0解得x=1-b；

若-a£-b，当xÎ-b,1-b时，可知x+a>0,lnx+b<0，

此时f(x)<0，不合题意；

若-b<-a<1-b，当xÎ-a,1-b时，可知x+a>0,lnx+b<0，

此时f(x)<0，不合题意；

若-a=1-b，当xÎ-b,1-b时，可知x+a<0,lnx+b<0，此时f(x)>0；

当xÎ1-b,+¥时，可知x+a³0,lnx+b³0，此时f(x)³0；

可知若-a=1-b，符合题意；

若-a>1-b，当xÎ1-b,-a时，可知x+a0,lnx+b0，

此时f(x)<0，不合题意；

综上所述：-a=1-b，即b=a+1，

2

2222æ1ö1111

则a+b=a+a+1=2ça+÷+³，当且仅当a=-,b=时，等号成立，

è2ø2222

所以22的最小值为1；

a+b2

解法二：由题意可知：f(x)的定义域为-b,+¥，

令x+a=0解得x=-a；令ln(x+b)=0解得x=1-b；

则当xÎ-b,1-b时，lnx+b<0，故x+a£0，所以1-b+a£0；

xÎ1-b,+¥时，lnx+b>0，故x+a³0，所以1-b+a³0；

2

2222æ1ö11

故1-b+a=0，则a+b=a+a+1=2ça+÷+³，

è2ø22

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11

当且仅当a=-,b=时，等号成立，

22

1

所以22的最小值为.

a+b2

故选：C.

【点睛】关键点点睛：分别求x+a=0、ln(x+b)=0的根，以根和函数定义域为临界，比较大小分类讨

论，结合符号性分析判断.

二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，

有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.

π

9.对于函数f(x)=sin2x和g(x)=sin(2x-)，下列正确的有（）

4

A.f(x)与g(x)有相同零点B.f(x)与g(x)有相同最大值

C.f(x)与g(x)有相同的最小正周期D.f(x)与g(x)的图像有相同的对称轴

【答案】BC

【解析】

【分析】根据正弦函数的零点，最值，周期公式，对称轴方程逐一分析每个选项即可.

kπ

【详解】A选项，令f(x)=sin2x=0，解得x=,kÎZ，即为f(x)零点，

2

πkππ

令g(x)=sin(2x-)=0，解得x=+,kÎZ，即为g(x)零点，

428

显然f(x),g(x)零点不同，A选项错误；

B选项，显然f(x)max=g(x)max=1，B选项正确；

2π

C选项，根据周期公式，f(x),g(x)的周期均为=π，C选项正确；

2

πkππ

D选项，根据正弦函数的性质f(x)的对称轴满足2x=kπ+Ûx=+,kÎZ，

224

ππkπ3π

g(x)的对称轴满足2x-=kπ+Ûx=+,kÎZ，

4228

显然f(x),g(x)图像的对称轴不同，D选项错误.

故选：BC

10.抛物线C：y2=4x的准线为l，P为C上的动点，过P作⊙A:x2+(y-4)2=1的一条切线，Q为切点，

过P作l的垂线，垂足为B，则（）

A.l与eA相切

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B.当P，A，B三点共线时，|PQ|=15

C.当|PB|=2时，PA^AB

D.满足|PA|=|PB|的点P有且仅有2个

【答案】ABD

【解析】

【分析】A选项，抛物线准线为x=-1，根据圆心到准线的距离来判断；B选项，P,A,B三点共线时，先

求出P的坐标，进而得出切线长；C选项，根据PB=2先算出P的坐标，然后验证kPAkAB=-1是否成立；

D选项，根据抛物线的定义，PB=PF，于是问题转化成PA=PF的P点的存在性问题，此时考察AF

的中垂线和抛物线的交点个数即可，亦可直接设P点坐标进行求解.

【详解】A选项，抛物线y2=4x的准线为x=-1，

eA的圆心(0,4)到直线x=-1的距离显然是1，等于圆的半径，

故准线l和eA相切，A选项正确；

B选项，P,A,B三点共线时，即PA^l，则P的纵坐标yP=4，

2

由yP=4xP，得到xP=4，故P(4,4)，

此时切线长PQ=PA2-r2=42-12=15，B选项正确；

2

C选项，当PB=2时，xP=1，此时yP=4xP=4，故P(1,2)或P(1,-2)，

4-24-2

当P(1,2)时，A(0,4),B(-1,2)，k==-2，k==2，

PA0-1AB0-(-1)

不满足kPAkAB=-1；

4-(-2)4-(-2)

当P(1,-2)时，A(0,4),B(-1,2)，k==-6，k==6，

PA0-1AB0-(-1)

不满足kPAkAB=-1；

于是PA^AB不成立，C选项错误；

D选项，方法一：利用抛物线定义转化

根据抛物线的定义，PB=PF，这里F(1,0)，

于是PA=PB时P点的存在性问题转化成PA=PF时P点的存在性问题，

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æ1ö11

A(0,4),F(1,0)，AF中点ç,2÷，AF中垂线的斜率为-=，

è2økAF4

2x+15

于是AF的中垂线方程为：y=，与抛物线y2=4x联立可得y2-16y+30=0，

8

D=162-4´30=136>0，即AF的中垂线和抛物线有两个交点，

即存在两个P点，使得PA=PF，D选项正确.

方法二：（设点直接求解）

æt2ö

设Pç,t÷，由PB^l可得B-1,t，又A(0,4)，又PA=PB，

è4ø

t4t2

根据两点间的距离公式，+(t-4)2=+1，整理得t2-16t+30=0，

164

D=162-4´30=136>0，则关于t的方程有两个解，

即存在两个这样的P点，D选项正确.

故选：ABD

11.设函数f(x)=2x3-3ax2+1，则（）

A.当a>1时，f(x)有三个零点

B.当a<0时，x=0是f(x)的极大值点

C.存在a，b，使得x=b为曲线y=f(x)的对称轴

D.存在a，使得点1,f1为曲线y=f(x)的对称中心

【答案】AD

【解析】

【分析】A选项，先分析出函数的极值点为x=0,x=a，根据零点存在定理和极值的符号判断出f(x)在

(-1,0),(0,a),(a,2a)上各有一个零点；B选项，根据极值和导函数符号的关系进行分析；C选项，假设存

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在这样的a,b，使得x=b为f(x)的对称轴，则f(x)=f(2b-x)为恒等式，据此计算判断；D选项，若存

在这样的a，使得(1,3-3a)为f(x)的对称中心，则f(x)+f(2-x)=6-6a，据此进行计算判断，亦可利

用拐点结论直接求解.

【详解】A选项，f¢(x)=6x2-6ax=6x(x-a)，由于a>1，

故xÎ-¥,0Èa,+¥时f¢(x)>0，故f(x)在-¥,0,a,+¥上单调递增，

xÎ(0,a)时，f¢(x)<0，f(x)单调递减，

则f(x)在x=0处取到极大值，在x=a处取到极小值，

由f(0)=1>0，f(a)=1-a3<0，则f(0)f(a)<0，

根据零点存在定理f(x)在(0,a)上有一个零点，

又f(-1)=-1-3a<0，f(2a)=4a3+1>0，则f(-1)f(0)<0,f(a)f(2a)<0，

则f(x)在(-1,0),(a,2a)上各有一个零点，于是a>1时，f(x)有三个零点，A选项正确；

B选项，f¢(x)=6x(x-a)，a<0时，xÎ(a,0),f¢(x)<0，f(x)单调递减，

xÎ(0,+¥)时f¢(x)>0，f(x)单调递增，

此时f(x)在x=0处取到极小值，B选项错误；

C选项，假设存在这样的a,b，使得x=b为f(x)的对称轴，

即存在这样的a,b使得f(x)=f(2b-x)，

即2x3-3ax2+1=2(2b-x)3-3a(2b-x)2+1，

333033

根据二项式定理，等式右边(2b-x)展开式含有x的项为2C3(2b)(-x)=-2x，

于是等式左右两边x3的系数都不相等，原等式不可能恒成立，

于是不存在这样的a,b，使得x=b为f(x)的对称轴，C选项错误；

D选项，

方法一：利用对称中心的表达式化简

f(1)=3-3a，若存在这样的a，使得(1,3-3a)为f(x)的对称中心，

则f(x)+f(2-x)=6-6a，事实上，

f(x)+f(2-x)=2x3-3ax2+1+2(2-x)3-3a(2-x)2+1=(12-6a)x2+(12a-24)x+18-12a，

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于是6-6a=(12-6a)x2+(12a-24)x+18-12a

ì12-6a=0

ï

即í12a-24=0，解得a=2，即存在a=2使得(1,f(1))是f(x)的对称中心，D选项正确.

ï

î18-12a=6-6a

方法二：直接利用拐点结论

任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点，

f(x)=2x3-3ax2+1，f¢(x)=6x2-6ax，f¢¢(x)=12x-6a，

aæaæaöö

由f¢¢(x)=0Ûx=，于是该三次函数的对称中心为ç,fç÷÷，

2è2è2øø

a

由题意(1,f(1))也是对称中心，故=1Ûa=2，

2

即存在a=2使得(1,f(1))是f(x)的对称中心，D选项正确.

故选：AD

【点睛】结论点睛：（1）f(x)的对称轴为x=bÛf(x)=f(2b-x)；（2）f(x)关于(a,b)对称

Ûf(x)+f(2a-x)=2b；（3）任何三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d都有对称中心，对称中心是三次

æbæböö

函数的拐点，对称中心的横坐标是f¢¢(x)=0的解，即ç-,fç-÷÷是三次函数的对称中心

è3aè3aøø

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.

12.记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a3+a4=7，3a2+a5=5，则S10=________.

【答案】95

【解析】

【分析】利用等差数列通项公式得到方程组，解出a1,d，再利用等差数列的求和公式节即可得到答案.

ìa1+2d+a1+3d=7ìa1=-4

【详解】因为数列an为等差数列，则由题意得í，解得í，

î3a1+d+a1+4d=5îd=3

10´9

则S=10a+d=10´-4+45´3=95.

1012

故答案为：95.

13.已知a为第一象限角，b为第三象限角，tana+tanb=4，tanatanb=2+1，则sin(a+b)=

_______.

第12页/共25页

22

【答案】-

3

【解析】

【分析】法一：根据两角和与差的正切公式得tana+b=-22，再缩小a+b的范围，最后结合同角

的平方和关系即可得到答案；法二：利用弦化切的方法即可得到答案.

tana+tanb4

【详解】法一：由题意得tana+b===-22，

1-tanatanb1-2+1

æπöæ3πö

因为aÎç2kπ,2kπ+÷,bÎç2mπ+π,2mπ+÷，k,mÎZ，

è2øè2ø

则a+bÎ2m+2kπ+π,2m+2kπ+2π，k,mÎZ，

又因为tana+b=-22<0，

æ3πö

则a+bÎç2m+2kπ+,2m+2kπ+2π÷，k,mÎZ，则sina+b<0，

è2ø

sina+b2222

则=-22，联立sina+b+cosa+b=1，解得sina+b=-.

cosa+b3

法二：因为a为第一象限角，b为第三象限角，则cosa>0,cosb<0,

cosa1cosb-1

cosa==，cosb==，

sin2a+cos2a1+tan2asin2b+cos2b1+tan2b

则sin(a+b)=sinacosb+cosasinb=cosacosb(tana+tanb)

-4-4-422

=4cosacosb====-

1+tan2a1+tan2b(tana+tanb)2+(tanatanb-1)242+23

22

故答案为：-.

3

14.在如图的4×4方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有________种选法，

在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是________．

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【答案】①.24②.112

【解析】

【分析】由题意可知第一、二、三、四列分别有4、3、2、1个方格可选；利用列举法写出所有的可能结果，

即可求解.

【详解】由题意知，选4个方格，每行和每列均恰有一个方格被选中，

则第一列有4个方格可选，第二列有3个方格可选，

第三列有2个方格可选，第四列有1个方格可选，

所以共有4´3´2´1=24种选法；

每种选法可标记为(a,b,c,d)，a,b,c,d分别表示第一、二、三、四列的数字，

则所有的可能结果为：

(11,22,33,44),(11,22,34,43),(11,22,33,44),(11,22,34,42),(11,24,33,43),(11,24,33,42)，

(12,21,33,44),(12,21,34,43),(12,22,31,44),(12,22,34,40),(12,24,31,43),(12,24,33,40)，

(13,21,33,44),(13,21,34,42),(13,22,31,44),(13,22,34,40),(13,24,31,42),(13,24,33,40)，

(15,21,33,43),(15,21,33,42),(15,22,31,43),(15,22,33,40),(15,22,31,42),(15,22,33,40)，

所以选中的方格中，(15,21,33,43)的4个数之和最大，为15+21+33+43=112.

故答案为：24；112

【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是确定第一、二、三、四列分别有4、3、2、1个方格可选，利用

列举法写出所有的可能结果.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.记VABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA+3cosA=2．

（1）求A．

（2）若a=2，2bsinC=csin2B，求VABC的周长．

π

【答案】（1）A=

6

（2）2+6+32

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【解析】

【分析】（1）根据辅助角公式对条件sinA+3cosA=2进行化简处理即可求解，常规方法还可利用同角

三角函数的关系解方程组，亦可利用导数，向量数量积公式，万能公式解决；

（2）先根据正弦定理边角互化算出B，然后根据正弦定理算出b,c即可得出周长.

【小问1详解】

方法一：常规方法（辅助角公式）

13π

由sinA+3cosA=2可得sinA+cosA=1，即sin(A+)=1，

223

ππ4ππππ

由于AÎ(0,π)ÞA+Î(,)，故A+=，解得A=

333326

方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系）

由sinA+3cosA=2，又sin2A+cos2A=1，消去sinA得到：

3

4cos2A-43cosA+3=0Û(2cosA-3)2=0，解得cosA=，

2

π

又AÎ(0,π)，故A=

6

方法三：利用极值点求解

æπö

设f(x)=sinx+3cosx(0<x<π)，则f(x)=2sinçx+÷(0<x<π)，

è3ø

ππ

显然x=时，f(x)=2，注意到f(A)=sinA+3cosA=2=2sin(A+)，

6max3

f(x)max=f(A)，在开区间(0,π)上取到最大值，于是x=A必定是极值点，

3

即f¢(A)=0=cosA-3sinA，即tanA=，

3

π

又AÎ(0,π)，故A=

6

方法四：利用向量数量积公式（柯西不等式）

rrrr

设a=(1,3),b=(sinA,cosA)，由题意，a×b=sinA+3cosA=2，

rrrr

根据向量的数量积公式，ar×b=arbcosar,b=2cosar,b，

rrrrr

则2cosar,b=2Ûcosar,b=1，此时ar,b=0，即a,b同向共线，

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3

根据向量共线条件，1×cosA=3×sinAÛtanA=，

3

π

又AÎ(0,π)，故A=

6

方法五：利用万能公式求解

A2t3(1-t2)

设t=tan，根据万能公式，sinA+3cosA=2=+，

21+t21+t2

整理可得，t2-2(2-3)t+(2-3)2=0=(t-(2-3))2，

A2t3

解得tan=t=2-3，根据二倍角公式，tanA==，

21-t23

π

又AÎ(0,π)，故A=

6

【小问2详解】

由题设条件和正弦定理

2bsinC=csin2BÛ2sinBsinC=2sinCsinBcosB，

2π

又B,CÎ(0,π)，则sinBsinC¹0，进而cosB=，得到B=，

24

7π

于是C=π-A-B=，

12

2+6

sinC=sin(π-A-B)=sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA=，

4

2bc

abc==

由正弦定理可得，==，即ππ7π，

sinAsinBsinCsinsinsin

6412

解得b=22,c=6+2，

故VABC的周长为2+6+32

16.已知函数f(x)=ex-ax-a3．

（1）当a=1时，求曲线y=f(x)在点1,f(1)处的切线方程；

（2）若f(x)有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围．

【答案】（1）e-1x-y-1=0

（2）1,+¥

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【解析】

【分析】（1）求导，结合导数的几何意义求切线方程；

（2）解法一：求导，分析a£0和a>0两种情况，利用导数判断单调性和极值，分析可得

a2+lna-1>0，构建函数解不等式即可；解法二：求导，可知f¢(x)=ex-a有零点，可得a>0，进而

利用导数求fx的单调性和极值，分析可得a2+lna-1>0，构建函数解不等式即可.

【小问1详解】

当a=1时，则f(x)=ex-x-1，f¢(x)=ex-1，

可得f(1)=e-2，f¢(1)=e-1，

即切点坐标为1,e-2，切线斜率k=e-1，

所以切线方程为y-e-2=e-1x-1，即e-1x-y-1=0.

【小问2详解】

解法一：因为f(x)的定义域为R，且f¢(x)=ex-a，

若a£0，则f¢(x)³0对任意xÎR恒成立，

可知f(x)在R上单调递增，无极值，不合题意；

若a>0，令f¢(x)>0，解得x>lna；令f¢(x)<0，解得x<lna；

可知f(x)在-¥,lna内单调递减，在lna,+¥内单调递增，

则f(x)有极小值flna=a-alna-a3，无极大值，

3

由题意可得：flna=a-alna-a<0，即a2+lna-1>0，

1

构建ga=a2+lna-1,a>0，则g¢a=2a+>0，

a

可知ga在0,+¥内单调递增，且g1=0，

不等式a2+lna-1>0等价于ga>g1，解得a>1，

所以a的取值范围为1,+¥；

解法二：因为f(x)的定义域为R，且f¢(x)=ex-a，

若f(x)有极小值，则f¢(x)=ex-a有零点，

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令f¢(x)=ex-a=0，可得ex=a，

可知y=ex与y=a有交点，则a>0，

若a>0，令f¢(x)>0，解得x>lna；令f¢(x)<0，解得x<lna；

可知f(x)在-¥,lna内单调递减，在lna,+¥内单调递增，

则f(x)有极小值flna=a-alna-a3，无极大值，符合题意，

3

由题意可得：flna=a-alna-a<0，即a2+lna-1>0，

构建ga=a2+lna-1,a>0，

因为则y=a2,y=lna-1在0,+¥内单调递增，

可知ga在0,+¥内单调递增，且g1=0，

不等式a2+lna-1>0等价于ga>g1，解得a>1，

所以a的取值范围为1,+¥.

17.如图，平面四边形ABCD中，AB=8，CD=3，AD=53，ÐADC=90°，ÐBAD=30°，点E，

r2rr1r

F满足AE=AD，AF=AB，将△AEF沿EF对折至!PEF，使得PC=43．

52

（1）证明：EF^PD；

（2）求面PCD与面PBF所成的二面角的正弦值．

【答案】（1）证明见解析

865

（2）

65

【解析】

【分析】（1）由题意，根据余弦定理求得EF=2，利用勾股定理的逆定理可证得EF^AD，则

EF^PE,EF^DE，结合线面垂直的判定定理与性质即可证明；

（2）由（1），根据线面垂直的判定定理与性质可证明PE^ED，建立如图空间直角坐标系E-xyz，利

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用空间向量法求解面面角即可.

【小问1详解】

r2rr1r

由AB=8,AD=53,AE=AD,AF=AB，

52

得AE=23,AF=4，又ÐBAD=30°，在△AEF中，

3

由余弦定理得EF=AE2+AF2-2AE×AFcosÐBAD=16+12-2×4×23×=2,

2

所以AE2+EF2=AF2，则AE^EF，即EF^AD，

所以EF^PE,EF^DE，又PEIDE=E,PE、DEÌ平面PDE，

所以EF^平面PDE，又PDÌ平面PDE，

故EF^PD；

【小问2详解】

连接CE，由ÐADC=90°,ED=33,CD=3，则CE2=ED2+CD2=36，

222

在VPEC中，PC=43,PE=23,EC=6，得EC+PE=PC，

所以PE^EC，由（1）知PE^EF，又ECIEF=E,EC、EFÌ平面ABCD，

所以PE^平面ABCD，又EDÌ平面ABCD，

所以PE^ED，则PE,EF,ED两两垂直，建立如图空间直角坐标系E-xyz，

则E(0,0,0),P(0,0,23),D(0,33,0),C(3,33,0),F(2,0,0),A(0,-23,0)，

由F是AB的中点，得B(4,23,0)，

rrrr

所以PC=(3,33,-23),PD=(0,33,-23),PB=(4,23,-23),PF=(2,0,-23)，

rr

设平面PCD和平面PBF的一个法向量分别为n=(x1,y1,z1),m=(x2,y2,z2)，

ìrrìrr

ïn×PC=3x1+33y1-23z1=0ïm×PB=4x2+23y2-23z2=0

则í，í，

rrrr

îïn×PD=33y1-23z1=0îïm×PF=2x2-23z2=0

令y1=2,x2=3，得x1=0,z1=3,y2=-1,z2=1，

rr

所以n=(0,2,3),m=(3,-1,1)，

mr×nr165

所以cosmr,nr===，

mrnr5×1365

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865

设平面PCD和平面PBF所成角为q，则sinq=1-cos2q=，

65

865

即平面PCD和平面PBF所成角的正弦值为.