椭圆的定义、标准方程-几何性质

第一讲椭圆的定义、标准方程和几何性质１、椭圆的定义：把平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数2a〔2a大于|F1F2|〕的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离２ｃ叫做椭圆的焦距.其中ａ２＝ｂ２＋ｃ２，２ａ叫做椭圆的长轴，ａ为长半轴，２ｂ叫做短轴，ｂ叫做短半轴。注意：〔1〕两定点……两点间的距离〔2〕轨迹上任意点到两定点的距离的和确定；〔3〕当|PF1|+|PF2|＞|F1F2|时，轨迹是椭圆；当|PF1|+|PF2|=|F1F2|时，轨迹是线段|F1F2|；当|PF1|+|PF2|＜|F1F2|时，形不成轨迹。〔4〕在|PF1|+|PF2|不变的情况下，假设两点间距离变长，，那么所画出的椭圆较扁，假设两点间距离变短，，那么所画出的椭圆较圆，因此，椭圆的形状与两定点间的距离及与两定点F1,F2的距离之和有关。例１取长度为１０ｃｍ的细绳，把它的两端固定在画图板上的Ｆ１，Ｆ２两点，当绳长大于两点间的距离时，可以画出一个椭圆，如果椭圆上的一点Ｐ到Ｆ１的距离为４ｃｍ，那么｜ＰＦ２｜的长度为。例２动点Ｐ到两定点Ｆ１〔－４，０〕，Ｆ２〔４，０〕的距离的和是８，那么动点Ｐ的轨迹为：。２、椭圆的标准方程(1)焦点在轴上，中心在原点的椭圆标准方程是：，(其中a>b>0，且a2=b2+c2)焦点是Ｆ１〔－ｃ，０〕，Ｆ２〔ｃ，０〕，中心在坐标原点，焦距为２ｃ。(2)焦点在轴上，中心在原点的椭圆标准方程是，〔其中a>b>0，且a2=b2+c2〕焦点是Ｆ１〔０，－ｃ〕，Ｆ２〔０，ｃ〕，中心在坐标原点，焦距为２ｃ。例３椭圆的方程为，焦点在ｘ轴上，那么其焦距为：。例４判断以下方程是否表示椭圆，假设是，求出ａ，ｂ，ｃ的值。〔１〕〔２〕〔３〕〔４〕二、椭圆的简单的几何性质：焦点在轴上焦点在轴上标准方程图形焦点坐标，，对称性关于轴，轴，原点对称关于轴，轴，原点对称顶点坐标，，，，，，范围，，长轴短轴长轴：；短轴：.长轴：；短轴：.离心率离心率的定义：，即，范围：０＜ｅ＜１。椭圆的形状与ｅ的关系：ｅ→０，即ｃ→０，椭圆→圆，直至成为极限位置圆，此时也可以认为圆为椭圆在ｅ＝０时的特殊例子；ｅ→１，即ｃ→ａ，椭圆变扁，直至成为极限位置线段Ｆ１Ｆ２，此时也可以认为线段Ｆ１Ｆ２为椭圆在ｅ＝１时的特例。例５椭圆的中心在原点，且经过点Ｐ〔３，０〕，ａ＝３ｂ，求椭圆的标准方程．例６Ｐ点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点Ｐ到两焦点的距离分别为和，过Ｐ点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程．有关椭圆问题的易错辨析：１、对椭圆的定义理解不全面平面内一点Ｍ到两定点Ｆ１〔０，－５〕，Ｆ２〔０，５〕的距离和为１０，求Ｍ轨迹的形状２、焦点位置不清椭圆的焦点在坐标轴上，且过点Ａ〔５，４〕，离心率ｅ＝，求次椭圆的标准方程。３、对椭圆的标准方程理解有误求经过点Ａ〔，〕，Ｂ〔，０〕的椭圆的标准方程。椭圆的灵活运用：１、求与焦点有关的距离之和把椭圆的长轴ＡＢ分成８等分，过每个等分点作ｘ轴的垂线，交椭圆的上半局部分别为Ｐ１，Ｐ２…Ｐ７七个点，Ｆ是椭圆的一个焦点，那么２、求离心率范围设椭圆上任意一点Ｐ，它的两个焦点的连线互相垂直，求离心率ｅ的取值范围。求椭圆方程的根本方法１、定义法等腰直角三角形ＡＢＣ中，斜边ＢＣ的长为，一个椭圆以Ｃ为其中一个焦点，另一个在线段ＡＢ上，且椭圆经过Ａ、Ｂ两点，求该椭圆的标准方程。２、待定系数法求经过两点Ｐ１〔５，〕、Ｐ２〔－８，〕的椭圆的标准方程。３、代入法椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点Ｐ１〔，１〕，Ｐ２求椭圆的方程。【根底练习】椭圆的焦点是Ｆ１〔－１，０〕Ｆ２〔１，０〕，Ｐ为椭圆上的一点，且｜Ｆ１Ｆ２｜是｜ＰＦ１｜，｜ＰＦ２｜的等差中项，求椭圆的方程。２、〔2009浙江文〕椭圆的左焦点为，右顶点为，点在椭圆上，且轴，直线交轴于点．假设，那么椭圆的离心率是〔〕A．B．C．D．２、D【命题意图】对于对解析几何中与平面向量结合的考查，既表达了几何与向量的交汇，也表达了数形结合的巧妙应用．【解析】对于椭圆，因为，那么３.〔2009陕西卷文〕“”是“方程”表示焦点在y轴上的椭圆”的〔A〕充分而不必要条件〔B〕必要而不充分条件〔C〕充要条件(D)既不充分也不必要条件答案:C.４.〔2009全国卷Ⅰ文〕椭圆的右焦点为F,右准线，点，线段AF交C于点B。假设,那么=(A)(B)2(C)(D)3【解析】本小题考查椭圆的准线、向量的运用、椭圆的定义，根底题。解:过点B作于M,并设右准线与x轴的交点为N，易知FN=1.由题意,故.又由椭圆的第二定义,得.应选A５.〔2009北京文〕椭圆的焦点为，点P在椭圆上，假设，那么；的大小为.６、椭圆：的右顶点为，过的焦点且垂