2020年广东省深圳市第七届鹏程杯九年级邀请赛数学试卷

第1页（共1页）2020年广东省深圳市第七届鹏程杯九年级邀请赛数学试卷一、选择题（满分36分，每小题6分，将你选择的答案写在题后的圆括号内）1．（6分）将抛物线y＝﹣3x2先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式是（）A．y＝﹣3（x﹣1）2﹣2 B．y＝﹣3（x﹣1）2+2 C．y＝﹣3（x+1）2﹣2 D．y＝﹣3（x+1）2+22．（6分）清明假期将至，小罗一家计划自驾车去某地踏青，手机导航系统推荐了两条线路，线路二全程90km，汽车在线路二上行驶的平均时速是线路一上车速的1.8倍，如果设汽车在线路一上行驶的平均速度为xkm/h，则下面所列方程正确的是（）A．＝+30 B．＝+ C．＝﹣30 D．＝﹣3．（6分）若锐角α满足cosα＜且tanα＜，则α的范围是（）A．30°＜α＜45° B．45°＜α＜60° C．60°＜α＜90° D．30°＜α＜60°4．（6分）如图，圆O的直径AB＝2，点C在圆O上，点D在劣弧上，则∠D的度数是（）A．30° B．45° C．60° D．75°5．（6分）如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝15，E、F分别在边AB、AC上，且DE∥AC，则DE+DF的长为（）A．mn B．15 C．6m+9n D．不能确定，但与m、n的取值有关6．（6分）等腰直角△ABC中，∠C＝90°，AC＝7，sin∠DAB＝，则BD长为（）A．5 B． C． D．6二、填空题（满分48分，每小题8分，将你的答案写在题后的划横线处）7．（8分）设x2+1＝3x，y2+1＝3y，且x≠y，则＝．8．（8分）一个袋子中装有4个相同的小球，它们分别标有号码1，2，3，4．摇匀后随机取出一球；再将小球摇匀，并从袋中随机取出一球．9．（8分）已知点P（2，1），直线l：y＝2x，则点P到直线l的距离为．10．（8分）用[x]表示不大于x的最大整数，则方程x2﹣2[x]﹣3＝0的解为．11．（8分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论中，①2a+b＞0，a+b≠m（am+b）；③a+c＞20，使得．其中正确的是（把所有正确结论的序号都填在横线上）．12．（8分）如图，菱形OABC的对角线交于点M（2，y0），双曲线经过C．三、解答题（满分66分，第13-15题16分，第16题18分）13．（16分）如图，反比例函数的图象过点E（2，﹣6）（k≠0）的图象分别与x轴、y轴交于点B、C，与的图象在第二象限交于点A，垂足为D，且．求反比例函数及一次函数的解析式．14．（16分）如图，过圆O外一点D作圆O的割线DBA，DE与圆O切于点E，AF交圆O于C，且AD⊥DE．（1）求证：E为的中点；（2）若CF＝3，DE•EF＝，求EF的长．15．（16分）如图1，在一个直角三角形的桌子上打台球．该直角三角形Rt△ABC的斜边AB长为3m，．现把一球放在点A的位置，此球经过8次碰撞最终落入点B．如图2，向右作8个与△ABC全等的三角形，打向点D，易看出AD就是所求的路径长．试求AD2．（参考公式：sin（180°﹣3θ）＝sin3θ＝3sinθ﹣4sin3θ．）16．（18分）在平面直角坐标系中，O是坐标原点，直线y＝mx+n分别交x轴（4，0）、B（0，3）两点．（1）求直线y＝mx+n的解析式；（2）点C为直线AB上一动点，以C为顶点的抛物线y＝x2+bx+c与直线AB的另一交点为D（如图1），连OC、OD，在点C的运动过程中△COD的面积S是否变化，求出S的范围；若不变；（3）平移（2）中的抛物线，使顶点为（0，﹣4）（如图2），M，N为抛物线上两点，若以MN为直径的圆经过点G

2020年广东省深圳市第七届鹏程杯九年级邀请赛数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（满分36分，每小题6分，将你选择的答案写在题后的圆括号内）1．（6分）将抛物线y＝﹣3x2先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式是（）A．y＝﹣3（x﹣1）2﹣2 B．y＝﹣3（x﹣1）2+2 C．y＝﹣3（x+1）2﹣2 D．y＝﹣3（x+1）2+2【解答】解：将抛物线y＝﹣3x2向左平移6个单位所得直线解析式为：y＝﹣3（x+1）2；再向下平移2个单位为：y＝﹣3（x+7）2﹣2，即y＝﹣8（x+1）2﹣3．故选：C．2．（6分）清明假期将至，小罗一家计划自驾车去某地踏青，手机导航系统推荐了两条线路，线路二全程90km，汽车在线路二上行驶的平均时速是线路一上车速的1.8倍，如果设汽车在线路一上行驶的平均速度为xkm/h，则下面所列方程正确的是（）A．＝+30 B．＝+ C．＝﹣30 D．＝﹣【解答】解：设汽车在线路一上行驶的平均速度为xkm/h，则在线路二上行驶的平均速度为1.8xkm/h，由题意得：＝+．故选：B．3．（6分）若锐角α满足cosα＜且tanα＜，则α的范围是（）A．30°＜α＜45° B．45°＜α＜60° C．60°＜α＜90° D．30°＜α＜60°【解答】解：∵α是锐角，∴cosα＞0，∵cosα＜，∴0＜cosα＜，又∵cos90°＝0，cos45°＝，∴45°＜α＜90°；∵α是锐角，∴tanα＞0，∵tanα＜，∴7＜tanα＜，又∵tan0°＝2，tan60°＝，0＜α＜60°；故45°＜α＜60°．故选：B．4．（6分）如图，圆O的直径AB＝2，点C在圆O上，点D在劣弧上，则∠D的度数是（）A．30° B．45° C．60° D．75°【解答】解：∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∴cos∠A＝＝，∴∠A＝60°，∴∠D＝∠A＝60°，故选：C．5．（6分）如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝15，E、F分别在边AB、AC上，且DE∥AC，则DE+DF的长为（）A．mn B．15 C．6m+9n D．不能确定，但与m、n的取值有关【解答】解：∵DE∥AC，DF∥AB，∴，，∴，∵AB＝AC＝15，∴DE+DF＝15，故选：B．6．（6分）等腰直角△ABC中，∠C＝90°，AC＝7，sin∠DAB＝，则BD长为（）A．5 B． C． D．6【解答】解：过点D作DE⊥AB，垂足为E，设DE＝3x，则AD＝5x，∴BE＝7x，∵AC＝7，∴由勾股定理求得AB＝7，∴7x＝7，∴x＝，∴BD＝3x＝3•，故选：D．二、填空题（满分48分，每小题8分，将你的答案写在题后的划横线处）7．（8分）设x2+1＝3x，y2+1＝3y，且x≠y，则＝7．【解答】解：∵x2+1＝6x，y2+1＝7y，∴x与y是关于t的一元二次方程t2﹣3t+3＝0的两个实数根，∴x+y＝3，xy＝2，∴＝＝＝＝6，故答案为：7．8．（8分）一个袋子中装有4个相同的小球，它们分别标有号码1，2，3，4．摇匀后随机取出一球；再将小球摇匀，并从袋中随机取出一球．【解答】解：根据题意画图如下：由图可得，共有16种等情况数，则第二次取出的球的号码不小于第一次取出的球的号码的概率为＝；故答案为：．9．（8分）已知点P（2，1），直线l：y＝2x，则点P到直线l的距离为．【解答】解：如图，过点P作PA⊥l交l于点A，∵直线l：y＝2x，k＝2，∴设直线PA的表达式y＝﹣x+b，将点P（2，5）代入y＝﹣，即5＝，解得b＝2，∴直线PA的表达式y＝﹣x+2，∵点A为l与PA的交点，∴﹣x+2＝2x，∴x＝，∴y＝2×＝，∴点A的坐标为（，），∴PA＝＝．故答案为：．10．（8分）用[x]表示不大于x的最大整数，则方程x2﹣2[x]﹣3＝0的解为﹣1，，3．．【解答】解：由x2﹣2[x]﹣6＝0得，∵[x]≤x，∴，∴x2﹣5x﹣3≤0即（x﹣3）（x+1）≤0，解得﹣5≤x≤3．由[x]≤x可得，[x]的可能取值为﹣1，2，1，2，6．当[x]＝﹣1代入，解得x＝±1，有一个解；当[x]＝2代入，解得；当[x]＝1代入，解得；当[x]＝2代入，解得，有一个解；当[x]＝3代入，解得x＝±3，有一个解．综上，满足条件的方程的解为﹣8，，3．11．（8分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论中，①2a+b＞0，a+b≠m（am+b）；③a+c＞20，使得．其中正确的是①④（把所有正确结论的序号都填在横线上）．【解答】解：①由抛物线的对称轴可知：，由抛物线的图象可知：a＞3，∴﹣b＜2a，∴2a+b＞8，故①正确；②当x＝1时，y＝a+b+c＝0，当y＝ax8+bx+c＝0，∴x＝1或x＝m，∴当m≠3时，a+b＝am2+bm，故②错误；③由图象可知：x＝﹣1，y＝3，即a﹣b+c＝2，∵a+b+c＝0，∴b＝﹣8，∴c＝1﹣a，∴a+c＝a+1﹣a＝8＜2，故③错误；④由b＝﹣1，∴，∵﹣b＜2a，∴1＜2a，∴，∴，∴．∴﹣1＜x0＜2，故④正确．故答案为：①④．12．（8分）如图，菱形OABC的对角线交于点M（2，y0），双曲线经过C6．【解答】解：根据题意设，∵四边形OABC是菱形，∴CM＝AM，∴点C的纵坐标为k，∴C（3，k）又∵A在x轴上，且与C关于M对称，∴A（3，0）．∵OA＝OC，∴52＝13+k2，解得k＝2，∴C（1，2）∴菱形OABC的面积为．故答案为：6．三、解答题（满分66分，第13-15题16分，第16题18分）13．（16分）如图，反比例函数的图象过点E（2，﹣6）（k≠0）的图象分别与x轴、y轴交于点B、C，与的图象在第二象限交于点A，垂足为D，且．求反比例函数及一次函数的解析式．【解答】解：将点E坐标代入y＝得，m＝2×（﹣6）＝﹣12，所以反比例函数的解析式为y＝．设点B坐标为（a，3），由OB＝OD＝得，OD＝a，OC＝4a，因为AD⊥x轴，∠COB＝90°，所以AD∥CO，所以△ADB∽△COB，所以，则AD＝4a，所以点A的坐标为（﹣a，4a）．将点A坐标代入y＝﹣得，4a＝﹣，解得a＝（舍负），则点B的坐标为（），点C得坐标为（0，）．将B，C两点坐标代入y＝kx+b得，，解得，所以一次函数的解析式为y＝﹣2x+．14．（16分）如图，过圆O外一点D作圆O的割线DBA，DE与圆O切于点E，AF交圆O于C，且AD⊥DE．（1）求证：E为的中点；（2）若CF＝3，DE•EF＝，求EF的长．【解答】（1）证明：连接OEOA＝OE＝＞∠OAE＝∠OEADE切圆O于E＝＞OE⊥DEAD⊥DE＝＞∠EAD+∠AED＝90°＝＞∠EAD＝∠OEA⇒OE∥AD＝＞E为的中点．（2）解：连CE，则∠AEC＝90°∠ACE＝∠AED＝＞Rt△ADE∽Rt△AEC＝＞DE切圆O于E＝＞△FCE∽△FEA∴，∴即DE•EF＝AD•CFDE•EF＝，CF＝3∴AD＝OE∥AD＝＞＝＞2+7x﹣15＝7∴x1＝1，x3＝﹣（舍去）∴EF2＝FC•FA＝7x（3+2）＝15∴EF＝15．（16分）如图1，在一个直角三角形的桌子上打台球．该直角三角形Rt△ABC的斜边AB长为3m，．现把一球放在点A的位置，此球经过8次碰撞最终落入点B．如图2，向右作8个与△ABC全等的三角形，打向点D，易看出AD就是所求的路径长．试求AD2．（参考公式：sin（180°﹣3θ）＝sin3θ＝3sinθ﹣4sin3θ．）【解答】解：在Rt△ABC中，AB＝1，，如图，∵∠PBC＝∠BPQ，∴PQ∥BC，∵HT⊥PQ，∴HT⊥BC．∴可作矩形，使B、C、D、T、Q，则△BGH与△DNT全等．∴TN＝HG，ND＝GB，∴，在Rt△BGH中，，∴，∴，∴AD5＝AM2+DM2＝＝．16．（18分）在平面直角坐标系中，O是坐标原点，直线y＝mx+n分别交x轴（4，0）、B（0，3）两点．（1）求直线y＝mx+n的解析式；（2）点C为直线AB上一动点，以C为顶点的抛物线y＝x2+bx+c与直线AB的另一交点为D（如图1），连OC、OD，在点C的运动过程中△COD的面积S是否变化，求出S的范围；若不变；（3）平移（2）中的抛物线，使顶点为（0，﹣4）（如图2），M，N为抛物线上两点，若以MN为直径的圆经过点G【解答】解：（1）将点A、B的坐标代入y＝mx+n得：，故直线的表达式为：y＝﹣x+8；（2）由题意设（t，﹣t+6）过线段AB上的点C作x轴的垂线交x轴于点P，则以C为顶点的抛物线解析式是：y＝（x﹣t）2﹣t+32﹣t+3＝﹣，解得：x＝t或t﹣；过点D作DE⊥CP于点E，则∠DEC＝∠AOB＝90°，∵DE∥OA，∴∠EDC＝∠OAB，∴△DEC∽△OAB，∴，而AO＝4，AB＝5）＝，∴CD＝＝＝，∵CD边