高中数学6.2.1空间向量基本定理教学设计苏教版选择性必修第二册_第1页
高中数学6.2.1空间向量基本定理教学设计苏教版选择性必修第二册_第2页
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文档简介

6.2.1空间向量基本定理教学目标：1．驾驭空间向量基本定理及其推论；2．理解空间随意一个向量可以用不共面的三个已知向量线性表示；3．在简洁问题中，会选择适当的基底来表示任一空间向量．教学重点：空间向量基本定理．教学难点：理解空间随意一个向量可以用不共面的三个已知向量线性表示，而且这种表示是唯一的．教学过程：一、问题情境问题1：平面对量基本定理表明，平面内任一向量可以用该平面的两个不共线向量来线性表示，那么，空间任一向量能用三个不共线的向量来线性表示吗？二、学生活动图1问题2-1：如图1，在平行四边形ABCD中，点E是BC的中点，如何用，表示？图1回忆：平面对量基本定理内容．图2问题2-2：如图2，点G是平行四边形ABCD所在平面外一点，能否用，线性表示？为什么？图2问题2-3：两个非零向量只能线性表示它们所在平面内的向量，不在这个平面内的向量就不能线性表示了．那么一个非零向量只能线性表示什么样的向量？尝试依据之前学习阅历，完成下表：向量与相关定理表示某一方向上的随意向量表示某一平面内的随意向量表示某一空间内的随意向量依据共线定理平面对量基本定理基向量的个数一个基向量两个基向量基向量要求非零向量非零向量、不共线三、建构数学空间向量的基本定理假如三个向量，，不共面，那么对空间任一向量，存在唯一的有序实数组（x，y，z），使．证明：（存在性）设，，不共面，过点作，，，．过点P作直线PP´平行于，交平面于点P´．在平面内，过点P´作直线P´A´∥OB，P´B´∥OA，分别与直线OA，OB相交于点A´，B´，于是，存在三个实数x，y，z，使，，，∴．所以．（唯一性）假设还存在x´，y´，z´使．∴＝．∴．不妨设x≠x´即x－x´≠0，∴，∴，，共面此与已知冲突．∴该表达式唯一．综上两方面，原命题成立．若三向量，，不共面，那么空间的任一向量都可由，，线性表示，我们把｛，，｝叫作空间的一个基底，，，叫作基向量．空间随意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．假如空间一个基底的三个基向量两两相互垂直，那么这个基底叫作正交基底，特殊地，当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称这个基底为单位正交基底，通常用｛，，｝表示．推论：设O，A，B，C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数x，y，z，使．四、数学运用例1如图，在正方体OADB-CA´D´B´中，点E是AB与OD的交点，M是与CE的交点，试分别用向量，，表示和．解：因为，所以．由△OME∽△D´MC，可得．又，则，所以．五、课堂小结本节课学

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