2024-2025学年新教材高中数学第1章空间向量与立体几何1.1.2空间向量的数量积运算分层作业新人教A版选择性必修第一册

1.1.2空间向量的数量积运算A级必备学问基础练1.如图,在三棱锥A-BCD中,DA,DB,DC两两垂直,且DB=DC=3,AD=4,E为棱BC的中点,则AE·BC=(A.3 B.2 C.1 D.02.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1·BA.22 B.42C.2 D.43.已知四面体ABCD的全部棱长都等于2,E是棱AB的中点,F是棱CD靠近C的四等分点,则EF·AC=(A.-12 B.C.-52 D.4.如图,在棱长为1的正四面体ABCD中,M,N分别为棱BC,AD的中点,则直线AM和CN夹角的余弦值为()A.23 B.C.12 D.5.(多选题)已知四面体ABCD中,AB,AC,AD两两相互垂直,则下列结论中,确定成立的是()A.|AB+AC+B.|AB+AC+AD|2=|AB|2+|AC|2C.(AB+AC+ADD.AB6.(多选题)已知长方体ABCD-A1B1C1D1,则下列向量的数量积可以为0的是()A.AD1C.AB·A7.已知斜三棱柱ABC-A1B1C1全部棱长均为2,∠A1AB=∠A1AC=π3,点E,F满足AE=12AA8.已知MN是棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1内切球的一条直径,则AM·AN=9.在平行四边形ABCD中,AD=4,CD=3,∠D=60°,PA⊥平面ABCD,PA=6,求PC的长.B级关键实力提升练10.(多选题)如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,以顶点A为端点的三条棱长都是1,且它们彼此的夹角都是60°,M为A1C1与B1D1的交点.记AB=a,AD=b,AA1=c,则下列说法正确的是(A.AC1=a+b+c B.BM=12aC.AA1·BD=0 D.11.如图,在三棱锥P-ABC中,已知PA⊥平面ABC,∠ABC=120°,PA=AB=BC=6,则向量PC在向量BC上的投影向量为(用向量BC来表示).

12.如图,在正四面体ABCD中,棱长为a,M,N分别是棱AB,CD上的点,且MB=2AM,CN=12ND,求MN的长13.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,AD=2,AA1=22,AD1=25,∠BAD=60°,∠BAA1=45°,AC与BD相交于点O.(1)求AB·(2)求∠DAA1;(3)求OA1的长.

参考答案1.1.2空间向量的数量积运算1.D由题可得DA·DB=∵AE=12(AB+AC)=12(DB-DA+DC-DA)=12∵DB=DC,∴DC2=DB2,∴AE·2.D在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,易知|AA1|=2,|BC1因为AA1=BB1,则AA1·BC1=|AA1||BC1|3.D因为E是棱AB的中点,F是棱CD靠近C的四等分点,所以EF=因为AB·AC=|AB||AC|cos<AB,ACBC·AC=|BC||AC|cos<BC,ACCD·AC=|CD||AC|cos<CD,AC所以EF·AC=12×2+2+14×(-4.A在正四面体ABCD中,∠BAC=∠BAD=∠CAD=π3因为M,N分别为棱BC,AD的中点,所以AM=12所以AM·CN=12(AB+AC)·12AD-AC=12由题可得,AM=CN=32所以|cos<AM,CN>|=即直线AM和CN夹角的余弦值为23.故选A5.ABD作如图所示的长方体,则四面体ABCD为长方体的一部分,设|AC|=a,|AD|=b,|AB|=c.由题可得,AB+AC+AD=AEAB+AC-AD=AE|AB+AC+AD|2=|AF|2=a2+b2+c2=|AB|2+|AC|2+|∵AD⊥平面ACEB,BC⊂平面ACEB,∴AD⊥BC,即AD·BC∴(AB+AC+AD)·BC=(AE+AD)·由图易知,AB⊥CD,AC⊥BD,6.ABC如图所示,若AA1=AD,则AD1⊥B1C,故A正确;若AB=AD,则AC⊥BD.又BB1⊥平面ABCD,则BB1⊥AC.∵BB1∩BD=B,BB1,BD⊂平面B1BDD1,∴AC⊥平面B1BDD1.又BD1⊂平面B1BDD1,∴BD1⊥AC,故B正确;∵AB⊥平面AA1D1D,AD1⊂平面AA1D1D,∴AB⊥AD1,故C正确;∵BD1和BC分别为矩形A1D1CB的对角线和边,∴直线BD1和BC不行能垂直,故D错误.故选ABC.7.2由题可得AB·AC=∵EF=EA+AB+BF∴EF2=12AB+12AC-12AA8.2因为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,所以其内切球的半径r=12×2=1球心确定在该正方体的体对角线的中点处,且体对角线长为22+22设该正方体的内切球的球心为O,则AO=3,OM=ON=1,易知AM=AO+OM,AN=AO+ON,所以AM·AN=(AO+OM)·(AO+ON)=|AO|29.解因为PC=PA+AD+DC,所以|PC|2=(PA+AD+DC)2=|PA|2+|AD|2+|DC|2+2PA·AD+2PA·DC+2AD·DC=62+42+32+2|AD||10.ACAC1=AB+BC+因为M为线段A1C1的中点,所以BM=12(BA1+BC1)=12(因为BD=AD-AB=b-a,所以AA1·BD=c·(b-a)=c·b-c|AC1|=(a+11.32BC在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,∵BC⊂平面ABC,∴PA⊥BC,PA·BC=在△ABC中,∠ABC=120°,PA=AB=BC=6,∴BC·BC=|BC|2=36,AB·BC=|AB||BC|cos(180°-∴向量PC在向量BC上的投影向量为PC=PA=0+18+363612.解∵MN=MB+BC+CN=23AB∴|MN|2=-13AB+13AD+23AC2=19|AB|2+19|AD|2+49|AC|2-故|MN|=|MN|即MN=5313.解(1)AB·AD=|AB||AD|cos∠BAD=4×2×cos60°=(2)因为ABCD-A1B1C1D1为平行六面体,所以四边形AA1D1D为平行四边形,则A1D1∥AD,A1D1