高中数学数学文化鉴赏与学习专题题组训练22祖暅原理教师版

专题22祖暅原理一、单选题1．我国南北朝时期的数学家祖暅在计算球的体积时，提出了一个原理（祖暅原理）：“幂势既同，则积不容异”这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高．这句话的意思是：两个等高的几何体若在全部等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等．利用祖暅原理可以将半球的体积转化为与其同底等高的圆柱和圆锥的体积之差．图1是一种“四脚帐篷”的示意图，其中曲线和均是以1为半径的半圆，平面和平面均垂直于平面，用随意平行于帐篷底面的平面截帐篷，所得截面四边形均为正方形．仿照上述半球的体积计算方法，可以构造一个与帐篷同底等高的正四棱柱，从中挖去一个倒放的同底等高的正四棱锥（如图2)，从而求得该帐篷的体积为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】依据题意，求得对应正四棱柱的底面边长和高，依据帐篷的体积等于棱柱的体积减去棱锥的体积，依据体积公式求得结果.【详解】依据题意，底面正方形的边长为，高为1，依据题意，可知该帐篷的体积为，故选：B.【点睛】方法点睛：该题考查的是有关几何体体积的求解，解题方法如下：（1）细致读题，理解题意；（2）依据题意，求得相应几何体的棱长；（3）利用体积公式求得结果.2．祖暅，又名祖暅之，是我国南北朝时期的数学家、天文学家祖冲之的儿子.他在《级术》中提出“幂势既同，则积不容异”的结论，其中“幂”是面积.“势”是高，意思就是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任一平面所截，假如截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等（如图①）.这一原理主要应用于计算一些困难几何体的体积，若某艺术品如图②所示，高为40cm，底面为边长20cm的正三角形挖去以底边为直径的圆（如图③），则该艺术品的体积为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】先求出阴影部分的面积，其面积为边长20cm的正三角形的面积减去两个边长为10cm的正三角形的面积，再减去圆心角为，半径为10cm的扇形面积，然后利用柱体的体积公式求解即可【详解】由图知阴影部分的面积为，所以艺术品的体积为.故选：B3．我国南北朝时期的数学家祖暅提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是：夹在两个平行平面之间的几何体，被平行于这两个平面的随意平面所截，假如截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．这个原理能够帮助人们计算3D打印时的材料耗费问题.3D打印属于快速成形技术的一种，是将粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层喷涂，渐渐堆叠累积的方式来构造物体的技术，可以用来制造结构困难的物件．依据祖暅原理，对于3D打印制造的零件，假如能找到另一个与其高相等，并在全部等高处的水平截面的面积均相等的几何体，就可以通过计算该几何体的体积得到打印的零件的体积．现在要用3D打印技术制造一个零件，其在高为h的水平截面的面积为，则该零件的体积为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】易知该零件的体积为以2为半径的半球的体积，依据祖暅原理，即可得到该零件的体积【详解】解：由祖暅原理可知，该零件在高为h的水平截面的面积为，恰好与一个半径为2的半球在高为h处的水平截面面积一样，所以该零件的体积为半球的体积，故选：C4．图为祖冲之之子祖暅“开立圆术”中设计的立体模型.祖暅提出“祖氏原理”，他将牟合方盖的体积化成立方体与一个相当于四棱锥的体积之差，从而求出牟合方盖的体积等于（为球的直径），并得到球的体积为，这种算法比外国人早了一千多年，人们还用过一些类似的公式，依据，推断下列公式中最精确的一个是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】利用选项中的公式化简求得，找到最精确的选项即可.【详解】由得：.由得：，；由得：，；由得：，；由得：，，的公式最精确.故选：.【点睛】本题考查数学史与立体几何的学问，关键是能够对选项中的公式进行精确化简求得的近似值.5．祖暅是我国南北朝时期杰出的数学家和天文学家祖冲之的儿子，他提出了一条原理：“幂势既同幂，则积不容异”．这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高．这句话的意思是：两个等高的几何体若在全部等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等．如图所示，某帐篷的造型是两个全等圆柱垂直相交的公共部分的一半（这个公共部分叫做牟合方盖）．设两个圆柱底面半径为，牟合方盖与其内切球的体积比为．则此帐篷距底面处平行于底面的截面面积为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】由已知求出牟合方盖的内切球距底面处平行于底面的截面圆的半径，得到截面面积，再由祖暅原理列式求得答案．【详解】牟合方盖的内切球距底面处平行于底面的截面圆的半径为，截面面积为，设帐篷距底面处平行于底面的截面面积为，则由题意可得，，即，解得．故选：．6．中国南北朝时期数学家、天文学家祖冲之、祖暅父子总结了魏晋时期闻名数学家刘微的有关工作，提出“幂势既同，则积不容异”.“幂”是截面积，“势”是几何体的高，即：两个等高的几何体若在全部等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等，上述原理称为“祖暅原理”.一个上底面边长为1，下底面边长为2，侧棱长为的正六棱台与一个不规则几何体满意“幂势既同”，则该不规则几何体的体积为（

）A． B． C． D．21【答案】D【解析】【分析】由“祖暅原理”，结合已知求出正六棱台的上下底面面积，再由棱台体积公式求解即可．【详解】解：由“祖暅原理”知，该不规则几何体的体积与正六棱台的体积相等，因为正六棱台的上下底面边长分别为1和2，设上底面面积为，下底面面积为，高为h，则，，,所以，所以该不规则几何体的体积为21.故选：D．7．祖暅（公元世纪，祖冲之之子），是我国齐梁时代的数学家，他提出了一条原理：“幂势既同，则积不简洁.”这句话的意思是：两个等高的几何体若在全部等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.如图将底面直径皆为，高皆为的椭半球体和已被挖去了圆锥体的圆柱体放置于同一平面上，用平行于平面且与距离为的平面截两个几何体得到及两截面，可以证明总成立.据此，短轴长为，长半轴为的椭半球体的体积是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】依据祖恒原理可得出椭半球的体积为，即可得解.【详解】由题意可知，短轴长为，长半轴为的椭半球体的体积为.故选：A.8．祖暅是南北朝时代宏大的科学家，在数学上有突出贡献．他在五世纪末提出祖暅原理：“密势既同，则积不容异.”其意思是：两个等高的几何体若在全部等高处的水平截面面积相等，则这两个几何体的体积相等．我们称由双曲线中的部分绕其虚轴旋转形成的几何体为双曲线旋转体．如图，双曲线旋转体的下半部分挖去底面直径为2a，高为m的圆柱体后，所得几何体与底面半径为，高为m的圆锥均放置于平面上（几何体底面在内）．与平面平行且到平面距离为的平面与两几何体的截面面积分别为，可以证明总成立．依据上述原理，的双曲线旋转体的体积为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】依据双曲线旋转体的定义，结合双曲线的标准方程、圆柱和圆锥的体积公式即可求解.【详解】解：依题意，，，圆锥底面半径，即圆锥底面积为4π，由祖暅原理可知，双曲线旋转体体积．故选：B．9．我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算几何体体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”意思是两个同高的几何体，假如在等高处的截面积都相等，那么这两个几何体的体积相等.现有同高的三棱锥和圆锥满意祖暅原理的条件，若圆锥的侧面绽开图是半径为的三分之一圆，由此推算三棱锥的体积为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】由已知列式求得圆锥的底面半径与高，代入圆锥体积公式求解．【详解】解：由题意可知，几何体的体积等于圆锥的体积，圆锥的侧面绽开图恰为一个半径为3的圆的三分之一，圆锥的底面周长为，故圆锥的底面半径为，母线为，所以圆锥的高为．圆锥的体积．从而所求几何体的体积为．故选：A．10．我国南北朝时期的科学家祖暅，提出了计算体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异.”意思是：假如两个等高的几何体，在等高处的截面积恒等，则这两个几何体的体积相等.利用此原理求以下几何体的体积：曲线绕轴旋转一周得几何体，将放在与轴垂直的水平面上，用平行于平面，且与的顶点距离为的平面截几何体，得截面圆的面积为.由此构造右边的几何体：其中平面，，，，它与在等高处的截面面积都相等，图中为矩形，且，，则几何体的体积为A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】通过截面面积相等可求得的长度，再利用三棱柱体积公式即可求解.【详解】由题意可知：在高为处，截面面积为，且截面面积相等

本题正确选项：【点睛】本题考查空间几何体中柱体体积的求解，属于基础题.11．祖暅（公元前5～6世纪）是我国齐梁时代的数学家，是祖冲之的儿子，他提出了一条原原理：“幂势既同，则积不容异.”这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高．这句话的意思是：两个等高的几何体若在全部等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等．设由椭圆所围成的平面图形绕轴旋转一周后，得一橄榄状的几何体（称为椭球体），课本中介绍了应用祖暅原理求球体体积公式的做法，请类比此法，求出椭球体体积，其体积等于A． B．C． D．【答案】A【解析】先构造两个底面半径为，高为的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，依据祖暅原理得出椭球的体积．【详解】椭圆的长半轴长为，短半轴长为，先构造两个底面半径为，高为的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，依据祖暅原理得出椭球的体积为:，故选：A.【点睛】本题考查了类比推理的问题，类比推理过程中要留意方法的类比，属基础题.12．祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”意思是说两个同高的几何体，若在等高处的截面积恒相等，则体积相等．设为两个同高的几何体，在等高处的截面积不恒相等，的体积不相等，依据祖暅原理可知，是的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】依据逆否命题的等价性推断与的关系.【详解】“两个同高的几何体，等高处的截面积恒相等，则体积相等”的等价命题是“两个同高的几何体，体积不相等，则等高处的截面积不恒相等”，所以；反之“两个同高的几何体，体积相等，则等高处的截面积恒相等”不成立，即由推不出，所以是的必要不充分条件.故选：B.13．我国南北朝时期的数学家祖暅提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是：夹在两个平行平面之间的几何体，被平行于这两个平面的随意平面所截，假如截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.依据祖暅原理，对于3D打印制造的零件，假如能找到另一个与其高相等，并在全部等高处的水平截面的面积均相等的几何体，就可以通过计算几何体的体积得到打印的零件的体积.现在要用3D打印技术制造一个高为2的零件，该零件的水平截面面积为，随高度的变更而变更，变更的关系式为，则该零件的体积为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】由恰好与一个半径为2的半球在高为的水平截面面积一样，由祖眶原理，该零件的体积等于该半球的体积，从而可得答案.【详解】由祖眶原理，该零件在高为的水平截面的面积为.而恰好与一个半径为2的半球在高为的水平截面面积一样，所以该零件的体积等于该半球的体积：故选：C14．用祖暅原理计算球的体积时，夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的随意一个平面所截，若截面面积都相等，则这两个几何体的体积相等．构造一个底面半径和高都与球的半径相等的圆柱，与半球（如图1）放置在同一平面上，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥后得到一新几何体（如图2），用任何一个平行于底面的平面去截它们时，可证得所截得的两个截面面积相等，由此可证明新几何体与半球体积相等．现将椭圆绕轴旋转一周后得一半橄榄状的几何体（如图3），类比上述方法，运用祖暅原理可求得其体积等于（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】构造一个底面半径为3，高为5的圆柱，通过计算可得高相等时截面面积相等，依据祖暅原理可得橄榄球形几何体的体积的一半等于圆柱的体积减去圆锥体积．【详解】构造一个底面半径为3，高为5的圆柱，在圆柱中挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点的圆锥，则当截面与顶点距离为时，小圆锥的底面半径为，则，，故截面面积为，把代入椭圆可得，橄榄球形几何体的截面面积为，由祖暅原理可得半个橄榄球形几何体的体积．故选：B15．刘徽构造的几何模型“牟合方盖”中说：“取立方棋八枚，皆令立方一寸，积之为立方二寸．规之为圆困，径二寸，高二寸．又复横规之，则其形有似牟合方盖矣．”牟合方盖是一个正方体被两个圆柱从纵横两侧面作内切圆柱体时的两圆柱体的公共部分，计算其体积的方法是将原来的“牟合方益”平均分为八份，取它的八分之一（如图一）．记正方形OABC的边长为r，设，过P点作平面PQRS平行于平面OABC．，由勾股定理有，故此正方形PQRS面积是．假如将图一的几何体放在棱长为r的正方体内（如图二），不难证明图二中与图一等高处阴影部分的面积等于．（如图三）设此棱锥顶点到平行于底面的截面的高度为h，不难发觉对于任何高度h，此截面面积必为，依据祖暅原理计算牟合方盖体积（

）注：祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是两个同高的立体，如在等高处的截面积相等，则体积相等A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】计算出正方体的体积，四棱锥的体积，依据祖暅原理可得图一中几何体体积，从而得结论．【详解】棱锥，由祖暅原理图二中牟合方盖外部的体积等于棱锥所以图1中几何体体积为，所以牟合方盖体积为．故选：C．16．我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异．”意思是：两个等高的几何体若在全部等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.已知曲线，直线为曲线在点处的切线.如图所示，阴影部分为曲线、直线以及轴所围成的平面图形，记该平面图形绕轴旋转一周所得的几何体为.给出以下四个几何体：图①是底面直径和高均为的圆锥；图②是将底面直径和高均为的圆柱挖掉一个与圆柱同底等高的倒置圆锥得到的几何体；图③是底面边长和高均为的正四棱锥；图④是将上底面直径为，下底面直径为，高为的圆台挖掉一个底面直径为，高为的倒置圆锥得到的几何体.依据祖暅原理，以上四个几何体中与的体积相等的是A．① B．② C．③ D．④【答案】A【解析】【分析】将题目中的切线写出来，然后表示出水平截面的面积，因为是阴影部分旋转得到，所以水平界面面积为环形面积，整理后，与其他四个几何体进行比较，找到等高处的水平截面的面积相等的，即为所求.【详解】几何体是由阴影旋转得到，所以横截面为环形，且等高的时候，抛物线对应的点的横坐标为，切线对应的横坐标为，切线为，即，横截面面积图①中的圆锥高为1，底面半径为，可以看成由直线绕轴旋转得到横截面的面积为.所以几何体和①中的圆锥在全部等高处的水平截面的面积相等，所以二者体积相等，故选A项.【点睛】本题考查对题目条件的理解和转化，在读懂题目的基础上，表示相应的截面面积，然后进行比较.属于难题.17．祖原理也称祖氏原理，是我国数学家祖暅提出的一个求积的闻名命题：“幂势既同，则积不容异”，“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两个同高的立体，如在等高处截面积相等，则体积相等.满意的点组成的图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积为，由曲线，，围成的图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积为，则､满意以下哪个关系式（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】作出曲线在第一想象内的图象进行分析：当双曲线方程为：，高度为时，双曲线与渐近线旋转一周所形成的图形是圆环，计算可得圆环的面积为定值，进而由由祖暅原理知等轴双曲线与渐近线绕轴旋转一周所形成的几何体体积，与底面半径为，高为的圆柱体体积一样，而满意的点组成的图形绕轴旋转一周所得旋转体为球体，体积为，通过分析计算可得，，进而可得，从而得解.【详解】如图可知：当双曲线方程为：，高度为时，双曲线与渐近线旋转一周所形成的图形是圆环，其中小圆环的半径即是，所以小圆面积为：，而大圆半径可以由：求出，即：，所以大圆的面积为：，所以圆环的面积为：，为定值，所以由祖暅原理知等轴双曲线与渐近线绕轴旋转一周所形成的几何体体积，与底面半径为，高为的圆柱体体积一样，而球体体积，所以，.故选：B.18．南北朝时期的宏大数学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，假如两个截面的面积总是相等，则这两个立体的体积相等.如图，两个半径均为的圆柱体垂直相交，则其重叠部分体积为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】分析几何体的每层截面都是正方形，计算正方形的在上下距离中心截面面积，再依据正方形的特点想到顶点在中心的正四棱锥（上、下两个），计算正四棱锥的上下距离中心截面面积，通过发觉面积之间的关系，结合祖暅原理即可求解.【详解】

（左）

（中）

（右）重叠部分的几何体的外接正方体如上图（左）所示，在距离中心处的截面正方形的边长是：，所以距离中心处截面面积是,而从同一个正方体的中心位置，与底面四点连线构成的正四棱锥的示意图如上图（中）所示，在距离中心处的截面正方形的边长是：，因为内切球的半径等于正方体棱长一半，所以，，所以，在距离中心处的截面正方形的边长是：，以距离中心处截面面积是,又因为正方体的水平截面面积为：，所以，所以剩余部分的截面面积如上图（右）“回”形面积为，因此依据祖暅原理：“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，假如两个截面的面积总是相等”，可得：左图几何体的体积加上中间图上下椎体的体积等于正方体的体积，即有：，解得，故选：B.二、多选题19．我国古代数学家祖暅求几何体的体积时，提出一个原理：幂势即同，则积不容异.这个定理的推广是夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的平面所截，若截得两个截面面积比为，则两个几何体的体积比也为.如下图所示，已知线段长为4，直线过点且与垂直，以为圆心，以1为半径的圆绕旋转一周，得到环体；以，分别为上下底面的圆心，以1为上下底面半径的圆柱体；过且与垂直的平面为，平面，且距离为，若平面截圆柱体所得截面面积为，平面截环体所得截面面积为，则下列结论正确的是（

）A．圆柱体的体积为 B．C．环体的体积为 D．环体的体积为【答案】ABD【解析】【分析】圆柱体的体积为，即可推断A，，，即可推断B，环体体积为，可推断C、D.【详解】由已知圆柱体的体积为，故选项A正确；由图可得，，其中，，故，故选项B正确；环体体积为，故选项D正确，选项C错误故选：ABD20．祖暅（公元5—6世纪，祖冲之之子），是我国齐梁时代的数学家，他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异.”这句话的意思是：两个等高的几何体若在全部等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.如图将底面直径皆为，高皆为的椭半球体和已被挖去了圆锥体的圆柱体放置于同一平面上，用平行于平面且与距离为的平面截两个几何体得到及两截面，可以证明总成立，若椭半球的短轴，长半轴，则下列结论正确的是（

）A．椭半球体的体积为30πB．椭半球体的体积为15πC．假如，以为球心的球在该椭半球内，那么当球体积最大时，该椭半球体挖去球后，体积为D．假如，以为球心的球在该半球内，那么当球体积最大时，该椭半球体挖去球后，体积为【答案】AC【解析】【分析】由题可得，可推断AB，利用椭圆的性质可得球F的最大半径为1，进而可推断CD.【详解】由题意知，短轴，长半轴的椭半球体的体积为，∴A正确，B错误；椭球的轴截面是椭圆，它的短半轴长为3，长半轴长为5，所以半焦距为4，由于，所以F椭圆的焦点，因此FD是椭圆的最小焦半径，即球F的最大半径为1，该椭半球体挖去球F后，体积为，故C正确，D错误.故选：AC.三、填空题21．祖暅，祖冲之之子，南北朝时代宏大的科学家，于5世纪末提出下面的体积计算原理：祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是假如两个等高的几何体在同高处截得两几何体的截面面积相等，那么两个几何体的体积相等，现有如图的半椭球体与被挖去圆锥的圆柱等高，且平行于底面的平面在随意高度截两几何体所得截面面积相等，已知圆柱高为h，底面半径为r，则半椭球的体积是________.【答案】【解析】【分析】依题意半椭球的体积即为圆柱的体积减去圆锥的体积，依据体积公式计算可得；【详解】解：依题意可得故答案为：22．我国南北朝时代的祖暅提出“幂势既同，则积不容异”，即祖暅原理：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的随意平面所截，假如截得的两个截面的面积总是相等，那么这两个几何体的体积相等(如图1)．在xOy平面上，将双曲线的一支及其渐近线和直线y=0，y=2围成的封闭图形记为D，如图2中阴影部分．记D绕y轴旋转一周所得的几何体为，利用祖暅原理试求的体积为________．【答案】【解析】【分析】分别求出直线与渐近线以及与双曲线一支的交点，再求出绕轴旋转一周所得的几何体为的水平截面面积，利用祖暅原理得出的体积．【详解】直线与渐近线交于点，与双曲线一支交于点∵绕轴旋转一周所得的几何体为，过，作的水平截面，则截面面积为，利用祖暅原理得的体积相当于底面面积为，高为2的圆柱，.故答案为：23．我国南北朝时期的数学家祖暅(杰出数学家祖冲之的儿子)，提出了计算体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异.”意思是：两个等高的几何体若在全部等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.已知曲线，直线为曲线在点处的切线.如图所示，阴影部分为曲线､直线以及轴所围成的平面图形，记该平面图形绕轴旋转一周所得的几何体为.过()作的水平截面，所得截面面积(用表示)，试借助一个圆锥，并利用祖暅原理，得出体积为___________.【答案】【解析】【分析】依据祖暅原理计算可得体积.【详解】.过点的直线与抛物线的交点为，.∵直线为曲线在点处的切线，则切线的斜率为，切线方程为.过点的直线与切线的交点为，用平行于底面的平面截几何体所得截面为圆环，截面面积为；取底面直径与高均为1的圆锥，用一个平行于底面的平面截圆锥，得到截面为圆，圆的半径为，截面面积为，符合题意.则体积等于圆锥的体积等于.故答案为：.24．祖暅是我国古代的宏大科学家，他在5世纪末提出：“幂势即同，则积不容异”，意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的随意一个平面所截，若截面面积都相等，则这两个几何体的体积相等.这就是闻名的祖暅原理，祖暅原理常用来由已知几何体的体积推导未知几何体的体积，例如由圆锥和圆柱的的体积推导半球体的体积，其示意图如图一所示.利用此方法，可以计算如下抛物体的体积：在平面直角坐标系中，设抛物线C的方程为，将C围绕y轴旋转，得到的旋转体称为抛物体.利用祖暅原理它可用一个直三棱柱求解，如图二，由此可计算得该抛物体的体积为___________.【答案】##【解析】【分析】构造出符合要求的直三棱柱，求出三棱柱的体积即可.【详解】构造如图所示的直三棱柱，高设为x，底面两个直角边为2，1若底面积相等，则，解得：，下面说明截面面积相等，设截面距底面为t，矩形截面长为a，圆形截面半径为r，由左图得到，所以，所以截面面积为，由右图得到，所以，所以截面面积为，两者截面面积相等，所以体积相等，所以抛物体的体积等于三棱柱的体积，故答案为：四、双空题25．我国古代数学家祖暅求几何体的体积时，提出一个原理：幂势即同，则积不容异.意思是：夹在两个平行平面之间的两个等高的几何体被平行于这两个面的平面去截，若截面积相等，则两个几何体的体积相等，这个定理的推广是：夹在两个平行平面间的几何体，被平行于这两个平面的平面所截，若截得两个截面面积比为，则两个几何体的体积比也为.已知线段长为4，直线过点且与垂直，以为圆心，以1为半径的圆绕旋转一周，得到环体；以，分别为上下底面的圆心，以1为上下底面半径的圆柱体；过且与垂直的平面为，平面，且距离为，若平面截圆柱体所得截面面积为，平面截环体所得截面面积为，则________，环体体积为_________.【答案】

【解析】画出示意图的截面，结合图形可得和的值，进而求出圆柱的体积，乘以，可得环体的体积，得到答案.【详解】画出示意图，可得，，其中，，故，即，环体体积为.26．祖暅，祖冲之之子，是我国南宋时期的数学家.他提出了体积计算原理(祖暅原理)：“幂势既同，则积不容异”.意思是：假如两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.已知双曲线的焦点在轴上，离心率为，且过点，则双曲线方程为___________；若直线，在第一象限内与及其渐近线围成如图阴影部分所示的图形，则阴影图形绕轴旋转一周所得几何体的体积为___________【答案】

.【解析】【分析】由题意求得双曲线的方程，求出在第一象限内与渐近线的交点，与双曲线第一象限内交点的坐标，求出与轴交点，由，依据祖晅原理，求出它绕轴旋转一圈所得几何体的体积．【详解】双曲线的离心率，；，；双曲线的方程为，过点，即，，，双曲线方程为，则渐近线方程为在第一象限内与渐近线的交点的坐标为，与双曲线在第一象限交点的坐标为，，记与轴交于点，且,如图，，故依据祖暅原理，该图形绕轴旋转一周所得几何体与底面半径为高为1的圆柱“幂势相同”，故它绕轴旋转一圈所得几何体的体积为．故答案为：；．27．祖暅是我国南北朝时期宏大的科学家，他于5世纪末提出了“幂势既同，则积不容异”的体积计算原理，即“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的随意平面所截，假如裁得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”．现已知直线与双曲线及其渐近线围成的平面图形G如图所示，若将图形G被直线所截得的两条线段绕y轴旋转一周，则形成的旋转面的面积_________；若将图形G绕y轴旋转一周，则形成的旋转体的体积___________．【答案】

【解析】【分析】由直线，其中，分步联立方程组和，求得的坐标，进而求得圆环的面积，再结合题意得到该几何体的体积与底面面积为，高为4的圆柱的体积相同，利用圆柱的体积公式，即可求解.【详解】如图所示，双曲线，其中一条渐近线方程为，由直线，其中，联立方程组，解得，联立方程组，解得，所以截面圆环的面积为，即旋转面的面积为，依据“幂势既同，则积不容异”，可得该几何体的体积与底面面积为，高为4的圆柱的体积相同，所以该几何体的体积为.故答案为：；.28．漂亮的广州塔，以其窈窕的身姿被广州人民亲昵地称为“小蛮腰”，它的整体轮廓可以看成是双曲线的一部分绕虚轴旋转得到的．以下是探讨广州塔的一个数学题型：将曲线与轴、围成的部分绕轴旋转一周，得到一旋转体，直线绕轴旋转一周形成的平面截此旋转体所得截面圆的面积为______．依据祖暅原理，构造适当的一个或多个几何体，求出此旋转体的体积为______．（提示：祖暅原理：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的随意平面所截，假如截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等）【答案】

；

【解析】【分析】将代入曲线方程结合即可得到答案；利用祖暅原理，构造一底面半径为2，高为60的圆柱与一底面半径为8，高为60的倒立圆锥，即可得到答案.【详解】将代入曲线方程得，，故截面圆的面积为.利用截面圆面积结合祖暅原理，即构造几何体，使之再随意高度h处，截面面积等于，由于，构造两个几何体，先构造一底面半径为2，高为60的圆柱，底面与所求旋转体的底面在