高三数学二轮培优微专题36讲18.斜率和积问题的六大算法

斜率和积问题的六大算法例1.（2024新高考1卷）已知点在双曲线上，直线交于，两点，直线，的斜率之和为0．（1）求的斜率.（2）若，求的面积．解法1：设点解点设直线的方程为，与双曲线的方程联立，消去得到，依据韦达定理，得，故，从而.因为直线的斜率之和为，所以直线的方程为，同理，可得：，.所以直线的斜率为解法2：不联立的艺术设，由点都在双曲线上，得，，所以，结合斜率公式，相减后变形，可得：，.因为直线的斜率之和为，即，所以，由得.②由得.③由②-③，得，从而，即的斜率为.解法3：设而不求，韦达定理将点代入双曲线方程得，化简得，，故双曲线方程为，由题明显直线的斜率存在，设，设，，，则联立双曲线得：，故，，，化简得：，故，即，当时，直线过点A，不合题意，舍去.,故.方法4.同构双斜率设过点的直线方程为，直线的方程为，联立解得，代入双曲线的方程中，整理得，这是关于的一元二次方程，方程的两根分别为直线的斜率.因为直线的斜率之和为，即，所以，整理后分解得.因为直线不经过点，所以，从而，即的斜率为.方法5：齐次化联立双曲线方程为，设，∵AP,AQ的斜率之和为0，∴，故将双曲线方程为变形为：，且设直线，由式有：,（两边同除以），即，而是此方程的两根.∴，故直线斜率为−1.方法6：曲线系点处的切线方程为，设直线的方程为，的方程为，的方程，则过这四条直线交点的二次曲线方程为又因为双曲线过这些交点，比较的系数得.又由，所以.例2．（2024山东卷）已知椭圆C：的离心率为，且过点．（1）求的方程：（2）点，在上，且，，为垂足．证明：存在定点，使得为定值．解析：（1）由题意可得：，解得：，故椭圆方程为：.方法1.设线解点（2）由题意，设直线的方程为，代入椭圆方程，可得.解得.所以.因为，将代替上面的，可得.故.所以直线的方程为.化简，得.即直线恒过定点.方法2：韦达定理（2）设点，若直线斜率存在时，设直线的方程为：，代入椭圆方程：消去并整理得：，可得，，因为，所以，即，依据,代入整理可得：，

所以，整理化简得，因为不在直线上，所以，故，于是的方程为，所以直线过定点直线过定点.当直线的斜率不存在时，可得，由得：，得，结合可得：，解得：或（舍）.此时直线过点.令为的中点，即，若与不重合，则由题设知是的斜边，故，若与重合，则，故存在点，使得为定值.方法3.齐次化（2）将原坐标系平移，原来的O点平移至点A处，则在新的坐标系下椭圆的方程为，设直线的方程为．将直线方程与椭圆方程联立得，即，化简得，即．设，因为则，即．代入直线方程中得．则在新坐标系下直线过定点，则在原坐标系下直线过定点．又，D在以为直径的圆上．的中点即为圆心Q．经检验，直线垂直于x轴时也成立．故存在，使得．方法4.不联立，不韦达（2）设，依题意知，因为，所以，整理得同理得相减可得即直线恒过定点.又，D在以为直径的圆上．的中点即为圆心Q．经检验，直线垂直于x轴时也成立．故存在，使得．方法5.曲线系（2）A点处的切线方程为，即．设直线的方程为，直线的方程为，直线的方程为．由题意得．则过A，M，N三点的二次曲线系方程用椭圆及直线可表示为（其中为系数）．用直线及点A处的切线可表示为（其中为系数）．即．对比项、x项及y项系数得，将①