高中数学数学文化鉴赏与学习专题题组训练17秦九韶教师版

专题17秦九韶一、单选题1．南宋时期，数学家秦九韶提出利用三角形的三边求面积的公式：假如一个三角形的三边长分别为，那么三角形的面积，后人称之为秦九韶公式，这与古希腊数学家海伦证明的面积公式实质是相同的.若在中，，则的内切圆半径的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】干脆依据题干的面积公式计算，然后依据等面积法计算可得该三角形的内切圆的半径.【详解】由题可知：，又，所以由，所以.故选：D2．南宋时期，我国闻名数学家秦九韶发觉了与海伦公式等价的求三角形面积的方法，称之为“三斜求积术”.这个公式能用三角形的三边a、b、c来求三角形的面积S.数学课上，张三在做笔记时由于分神，有部分公式没有抄完，他的笔记写着，请问□里是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】由面积公式与余弦定理进行推导，得到答案.【详解】由三角形面积得：.故选：C3．宋元时期是我国古代数学特别辉煌的时期，其中秦九韶、李治、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家，其他表作有秦九韶的《数学九章》，李治的《测圆海镜》和《益古演段》，杨辉的《详解九章算法》和《杨辉算法》，朱世杰的《算学启蒙》和《四元玉鉴》．现有数学著作《数学九章》，《测圆海镜》，《益古演段》，《详解九章算法》，《杨辉算法》，《算学启蒙》，《四元玉鉴》，共7本，从中任取3本，至少含有一本杨辉的著作的概率是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】先求其对立事务的概率，再用减去其对立事务的概率即为所求【详解】解析：所求概率故选：D4．中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为a，b，c，三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦——秦九韶公式，现有一个三角形的边长满意，，则此三角形面积的最大值为（

）A． B．8 C． D．【答案】A【解析】【分析】求出，利用海伦——秦九韶公式将面积表示为的函数，利用的范围及二次函数学问可求出结果.【详解】依题意可得，所以，因为，即，所以，所以当时，取得最大值.故选：A5．我国南宋闻名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”公式.设△的三个内角所对的边分别为，面积为，“三斜求积”公式表示为.在△中，若，则用“三斜求积”公式求得△的面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】由正弦定理边角关系可得，再结合已知可得，代入“三斜求积”公式即可求面积.【详解】由正弦定理可得：，则，又，即，所以.故选：C6．我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中给出了三角形面积的求法：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上.以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实.一为从隅.开平方得积.”假如把以上这段文字写成公式，就是.依据此公式，中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，则的面积为（

）A．1 B． C． D．2【答案】B【解析】【分析】结合正弦定理、三角形的面积公式求得正确答案.【详解】依题意，由正弦定理得，，，所以.故选：B7．我国南宋闻名数学家秦九韶发觉了已知三角形三边求三角形面积的方法，他把这种方法称为“三斜求积”：以斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积.在他的著作《数书九章》卷五“田域类”里就有已知三边求三角形面积的问题，该问题翻译成现代汉语就是：一块三角形田地，三边分别为13，14，15，则该三角形田地的面积是（

）A．84 B．168 C．79 D．63【答案】A【解析】【分析】依据“三斜求积”可得三角形面积公式为，代入数值计算可得；【详解】解：依题意设的内角，，的对边分别为，，且，则三角形面积公式为，又，，，所以故选：A8．我国南宋时期闻名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中独立提出了一种求三角形面积的方法“三斜求积术”，即的面积，其中分别为的内角的对边，若，且，则的面积的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】先依据求出关系，代入面积公式，利用二次函数的学问求解最值.【详解】因为，所以，即；由正弦定理可得，所以；当时，取到最大值.故选：A.9．秦九韶是我国南宋数学家，其著作《数书九章》中的大衍求一术、三斜求积术和秦九韶算法是具有世界意义的重要贡献．秦九韶把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜，三斜求积术即已知三边长求三角形面积的方法，用公式表示为：，其中，，是的内角，，的对边．已知中，，，则面积的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】由正弦定理化进行边角转换可得，代入面积公式，变形后结合二次函数性质得最大值．【详解】由得，，即，所以，，所以，即时，．故选：A．10．秦九韶是我国南宋数学家，其著作《数书九章》中的大衍求一术、三斜求积术和秦九韶算法是具有世界意义的重要贡献．秦九韶把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜，三斜求积术即已知三边长求三角形面积的方法，用公式表示为：，其中，，是的内角，，的对边．已知中，，则面积的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】依据，得到，即，再由，利用余弦定理得到，代入，转化为二次函数求解.【详解】解：中，因为，所以，则，即，又，则，即，则，所以，当时，面积取得最大值为，故选：A11．我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则△ABC的面积．依据此公式，若，且，则△ABC的面积为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】首先依据正弦定理化简已知，求得，再依据余弦定理求，最终代入面积公式求解.【详解】由正弦定理边角互化可知化简为，即，,，解得：，依据面积公式可知.故选：A12．我国南宋闻名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”，设的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，则“三斜求积”公式为，若，，则用“三斜求积”公式求得的面积为（

）A． B． C． D．1【答案】A【解析】【分析】依据因为，，利用正弦定理得到，代入体积公式求解.【详解】解：因为，，所以，，所以，故选：A13．数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设一个的三边长分别为a，b，c，三角形的面积S可由公式求得，其中p为三角形周长的一半，与古希腊数学家海伦公式完全一样，所以这个公式也被称为海伦—秦九韶公式.现有一个三角形的周长为24，，则当三角形面积最大值时AB边上的高为（

）A．8 B． C．12 D．【答案】B【解析】【分析】代入公式，结合基本不等式可得当时三角形的面积取得最大值，再计算AB边上的高即可【详解】由题意得，，，则，当且仅当，且，即时，等号成立，此时三角形的面积取得最大值，所以AB边上的高为故选：B.14．我国南宋闻名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”公式，设的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，“三斜求积”公式表示为.在中，若，，则用“三斜求积”公式求得的面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】依据若，，得到ac和，代入求解即可.【详解】解：因为，所以，即，又，所以，所以，故选：C15．我国南宋闻名数学家秦九韶发觉了“三斜”求职公式，即的三个内角所对的边分别为，则的面积.已知在中，，则面积的最大值为（

）A． B． C．2 D．4【答案】D【解析】【分析】由条件得，由基本不等式得，再由可求解.【详解】∵，又∵，.∴（当且仅当时取等号）.∴，∴面积的最大值为4.故选：D16．我国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”，其内容为：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”把以上文字写成公式，即.（其中S为面积，a，b，c为△ABC三个内角A，B，C所对的边）．若bcosC＋ccosB＝4，c＝，且a＝c（cosB＋cosC），则利用“三斜求积”公式可得△ABC的面积S＝（

）A． B． C．4 D．8【答案】B【解析】【分析】将利用余弦定理化角为边，求得，利用正弦定理将化边为角，求得，再依据题中公式即可得出答案.【详解】解：因为，由余弦定理可得，所以，又因为，由正弦定理可得，即，所以，因为，所以，所以，所以，所以，代入．故选：B．17．已知三角形的三边长为、、，则三角形的面积为（海伦—秦九韶公式），，若，，，则面积的最大值为（

）A． B． C．16 D．【答案】A【解析】【分析】依据海伦—秦九韶公式将三角形的面积表示出来，再利用基本不等式即可得出答案.【详解】解：在中，由，，则，则，所以，所以，当且仅当，即时，取等号，所以面积的最大值为.故选：A.18．秦九韶是我国南宋闻名数学家，在他的著作《数书九章》中有已知三边求三角形面积的方法：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实一为从阳，开平方得积．”假如把以上这段文字写成公式就是，其中a，b，c是的内角A，B，C的对边，若，且，则面积S的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】依据正弦定理和余弦定理得到，代入面积公式并依据基本不等式可求出结果.【详解】由得，得，所以，当且仅当，时，等号成立.故选：B19．数学必修二101页介绍了海伦-秦九韶公式：我国南宋时期闻名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中，提出了已知三角形三边长求三角形的面积的公式，与闻名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上.以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实.一为从隔，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即，其中、、分别为内角、、的对边.若，，则面积的最大值为（

）A． B． C．2 D．【答案】A【解析】【分析】将已知等式结合进行化简，得到，并利用正弦定理可得，代入“三斜求积”公式并将看成整体并利用二次函数性质得解.【详解】，，又，所以，所以，所以，所以，由正弦定理得

的面积，，将看成整体并利用二次函数性质得，当即a=2时，的面积S有最大值为.故选：A.二、多选题20．中国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积.把以上文字写成公式，即（S为三角形的面积，a，b､c为三角形的三边）.现有△ABC满意，且△ABC的面积，则下列结论正确的是（

）A．△ABC的最短边长为4 B．△ABC的三个内角满意C．△ABC的外接圆半径为 D．△ABC的中线CD的长为【答案】AB【解析】【分析】结合题意利用正余弦定理处理运算，常用向量处理△ABC的中线：．【详解】因为，所以由正弦定理可得，设，，，因为，所以，解得，则，，，A正确；因为，所以，，故B正确；因为，所以，由正弦定理得，，C错误；，所以，故，D错误.故选：AB.21．《数书九章》是我国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九昭的很多创建性成就，其中在卷五“三斜求积”中提出了已知三角形三边a，b，c求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即，现有周长为的满意.判定下列命题正确的有（

）A．在中角C=30° B．的面积为C．的外接圆半径为 D．的内切圆半径为【答案】BCD【解析】【分析】依据给定条件，求出边长a，b，c，再利用正余定理、面积定理逐项分析、计算推断作答.【详解】因的周长为，且三边长满意，于是得，由余弦定理得：，而，则，A不正确；由选项A知，的面积，B正确；由选项A及正弦定理知，的外接圆半径有，解得，C正确；设的内切圆半径为r，则的面积，解得，D正确.故选：BCD22．中国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了已知三角形三边求面积的公式，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即．现有△满意，且，请推断下列命题正确的是（

）A．△周长为 B．C．△的外接圆半径为 D．△中线的长为【答案】BC【解析】【分析】由题设及正弦定理得，再结合已知条件求a、b、c推断A的正误；应用余弦定理求角C，正弦定理求外接圆的半径，作应用勾股定理求.【详解】由题设及正弦定理知：，令且，，可得，所以，则△周长为，A错误；，又，则，B正确；△的外接圆半径为，C正确；如下图，过作，由题设知：，则，又，可得，故，所以，D错误.故选：BC三、双空题23．我国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数学九章》中提出了“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积，把以上文字写出公式，即(其中为三角形面积，，，为三角形的三边).在非直角中，，，为内角，，所对应的三边，若且，则面积的最大值是______，此时________.【答案】

【解析】【分析】由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简，然后结合已知三角形的面积公式进行化简，结合二次函数的性质可求．【详解】解：因为，由正弦定理得，所以，即，因为不是直角三角形，所以，所以，由正弦定理得，由题意可得，当即时，的面积最大，此时．故答案为：，．24．我国南宋闻名数学家秦九韶（约1202-1261）被国外科学史家赞誉为“他那个民族，那个时代，并且的确也是全部时代最宏大的数学家之一”．他独立推出了“三斜求积”公式，求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”把以上这段文字写成从三条边长求三角形面积的公式，就是.现有满意，且的面积是，则的周长为________，边中线的长为_________【答案】

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【解析】【分析】由正弦定理得出三边关系，再由面积公式求出各边得出周长，再利用即可求出中线的长.【详解】因为，由正弦定理可得，设，则由题可得，解得，则的周长为，因为为中线，中，，设，则，解得或.又在三角形中，，所以.故答案为：；.四、填空题25．中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形的三条边长分别为，，，则三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式，现有一个三角形的边长满意，则此三角形面积的最大值为______.【答案】【解析】【分析】结合三角形的面积公式以及基本不等式求得三角形面积的最大值.【详解】，所以三角形的面积，当且仅当时等号成立.故答案为：26．我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即在中，角，，所对的边分别为，，，则的面积.依据此公式，若，且，则的面积为______.【答案】【解析】【分析】首先依据正弦定理化简已知，求得，再依据余弦定理求，最终代入面积公式求解.【详解】解：由正弦定理边角互化可知化简为，即，,∴，解得：，依据面积公式可知故答案为：27．南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积.把以上文字写成公式，即（其中为三角形的面积，为三角形的三边）.在斜中，分别为内角所对的边，若，且.则此面积的最大值为___________.【答案】【解析】【分析】由正弦定理化边为角，应用诱导公式，两角和的正弦公式变形可求得，再由正弦定理得，代入面积公式得面积为的函数，结合二次函数性质得最大值．【详解】解：∵，∴，即，即，又且，则，∴，∴，又，所以，解得，∴，∴时，．故答案为：．【点睛】思路点睛：本题考查正弦定理、余弦定理的应用，考查新定义，解题关键是利用正弦定理及三角函数恒等变换公式得出边的关系，利用新给出的面积公式表示出三角形面积，从而可得最大值及边长．28．我国闻名的数学家秦九韶在《数书九章》提出了一种求三角形面积的方法“三斜