安徽省蚌埠市重点中学2025届高一下数学期末学业质量监测试题含解析

安徽省蚌埠市重点中学2025届高一下数学期末学业质量监测试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为A．16 B．14 C．12 D．102．若直线l：ax+by＝1（a＞0，b＞0）平分圆x2+y2﹣x﹣2y＝0，则的最小值为（）A． B．2 C． D．3．在中，角、、所对的边分别为、、，如果，则的形状是（）A．等腰三角形 B．等腰直角三角形C．等腰三角形或直角三角形 D．直角三角形4．在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则（）A． B． C． D．5．设变量，满足约束条件则目标函数的最小值为（）A．4 B．-5 C．-6 D．-86．若，则（）A． B． C．2 D．7．在中，角的对边分别为，若，则形状是（）A．直角三角形 B．等腰三角形C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形8．设是平面内的一组基底,则下面四组向量中,能作为基底的是（）A．与 B．与C．与 D．与9．经过，两点的直线方程为（）A． B． C． D．10．某高校进行自主招生，先从报名者中筛选出400人参加笔试，再按笔试成绩择优选出100人参加面试．现随机抽取了24名笔试者的成绩，统计结果如下表所示．分数段[60，65)[65，70)[70，75)[75，80)[80，85)[85，90]人数234951据此估计允许参加面试的分数线大约是()A．90 B．85C．80 D．75二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．在中，，过直角顶点作射线交线段于点，则的概率为______．12．一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图(如下图).为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出80人作进一步调查，则在[1500，2000)(元)月收入段应抽出人.13．已知，若方程的解集为，则__________．14．在平面直角坐标系中，圆的方程为．若直线上存在一点，使过所作的圆的两条切线相互垂直，则实数的取值范围是______．15．中,三边所对的角分别为,若,则角______.16．若无穷数列的所有项都是正数，且满足，则______．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知A、B两地的距离是100km，按交通法规定，A、B两地之间的公路车速x应限制在60~120km/h，假设汽油的价格是7元/L，汽车的耗油率为，司机每小时的工资是70元（设汽车为匀速行驶），那么最经济的车速是多少？如果不考虑其他费用，这次行车的总费用是多少？18．已知点．（1）求中边上的高所在直线的方程；（2）求过三点的圆的方程．19．为了对某课题进行研究，用分层抽样方法从三所高校，，的相关人员中，抽取若干人组成研究小组，有关数据见下表（单位：人）.高校相关人员抽取人数A18B362C54（1）求，；（2）若从高校，抽取的人中选2人做专题发言，求这2人都来自高校的概率.20．已知，，（1）求的解析式，并求出的最大值；（2）若，求的最小值和最大值，并指出取得最值时的值.21．已知数列满足．证明数列为等差数列；求数列的通项公式．

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、A【解析】设，直线的方程为，联立方程，得，∴，同理直线与抛物线的交点满足，由抛物线定义可知，当且仅当（或）时，取等号.点睛:对于抛物线弦长问题，要重点抓住抛物线定义，到定点的距离要想到转化到准线上，另外，直线与抛物线联立，求判别式，利用根与系数的关系是通法，需要重点掌握.考查最值问题时要能想到用函数方法和基本不等式进行解决.此题还可以利用弦长的倾斜角表示，设直线的倾斜角为，则，则，所以.2、C【解析】

求得圆心，代入直线的方程，然后利用基本不等式求得的最小值.【详解】圆的圆心为，由于直线平分圆，故圆心在直线上，即，所以，当且仅当时等号成立.故选：C【点睛】本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查利用基本不等式求最小值.3、C【解析】

结合正弦定理和三角恒等变换及三角函数的诱导公式化简即可求得结果【详解】利用正弦定理得，化简得，即，则或，解得或故的形状是等腰三角形或直角三角形故选：C【点睛】本题考查根据正弦定理和三角恒等变化，三角函数的诱导公式化简求值，属于中档题4、A【解析】

由余弦定理可直接求出边的长.【详解】由余弦定理可得，，所以.故选A.【点睛】本题考查了余弦定理的运用，考查了计算能力，属于基础题.5、D【解析】绘制不等式组所表示的平面区域，结合目标函数的几何意义可知，目标函数在点处取得最小值.本题选择D选项.6、D【解析】

将转化为，结合二倍角的正切公式即可求出.【详解】故选D【点睛】本题主要考查了二倍角的正切公式，关键是将转化为，利用二倍角的正切公式求出，属于基础题.7、D【解析】

由，利用正弦定理化简可得sin2A＝sin2B，由此可得结论．【详解】∵，∴由正弦定理可得，∴sinAcosA＝sinBcosB，∴sin2A＝sin2B，∴2A＝2B或2A+2B＝π，∴A＝B或A+B＝，∴△ABC的形状是等腰三角形或直角三角形故选D．【点睛】本题考查三角形形状的判断，考查正弦定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题.8、C【解析】

利用向量可以作为基底的条件是，两个向量不共线，由此分别判定选项中的两个向量是否共线即可．【详解】由是平面内的一组基底，所以和不共线，对应选项A：，所以这2个向量共线，不能作为基底；对应选项B：，所以这2个向量共线，不能作为基底；对应选项D：，所以这2个向量共线，不能作为基底；对应选项C：与不共线，能作为基底.故选：C．【点睛】本题主要考查基底的定义，判断2个向量是否共线的方法，属于基础题．9、C【解析】

根据题目条件，选择两点式来求直线方程.【详解】由两点式直线方程可得：化简得：故选：C【点睛】本题主要考查了直线方程的求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.10、C【解析】

根据题意可从样本中数据的频率考虑，即按成绩择优选择频率为的，根据题意得到所选的范围后再求出对应的分数．【详解】由题意得，参加面试的频率为，结合表中的数据可得，样本中[80，90]的频率为，由样本估计总体知，分数线大约为80分．故选C．【点睛】本题考查统计图表的应用，解题的关键是理解题意，同时还要正确掌握统计中的常用公式，属于基础题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】

设，求出的长，由几何概型概率公式计算．【详解】设，由题意得，，∴的概率是．故答案为：．【点睛】本题考查几何概型，考查长度型几何概型．掌握几何概型概率公式是解题关键．12、16【解析】试题分析：由频率分布直方图知，收入在1511--2111元之间的概率为1．1114×511=1．2，所以在[1511，2111）（元）月收入段应抽出81×1．2=16人。考点：频率分布直方图的应用；‚分层抽样。13、【解析】

将利用辅助角公式化简，可得出的值.【详解】，其中，，因此，，故答案为.【点睛】本题考查利用辅助角公式化简计算，化简时要熟悉辅助角变形的基本步骤，考查运算求解能力，属于中等题.14、【解析】试题分析：记两个切点为，则由于，因此四边形是正方形，，圆标准方程为，，，于是圆心直线的距离不大于，，解得.考点：直线和圆的位置关系.15、【解析】

利用余弦定理化简已知条件，求得的值，进而求得的大小.【详解】由得，由于，所以.【点睛】本小题主要考查余弦定理解三角形，考查特殊角的三角函数值，属于基础题.16、【解析】

先由作差法求出数列的通项公式为，即可计算出，然后利用常用数列的极限即可计算出的值.【详解】当时，，可得；当时，由，可得，上式下式得，得，也适合，则，.所以，.因此，.故答案为：.【点睛】本题考查利用作差法求数列通项，同时也考查了数列极限的计算，考查计算能力，属于中等题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、80,280【解析】

将总费用表示出来，再利用均值不等式得到答案.【详解】设总费用为则当时等号成立，满足条件故最经济的车速是，总费用为280【点睛】本题考查了函数表达式，均值不等式，意在考查学生解决问题的能力.18、（1）；（2）【解析】

（1）边上的高所在直线方程斜率与边所在直线的方程斜率之积为-1，可求出高所在直线的斜率，代入即可求出高所在直线的方程。（2）设圆的一般方程为，代入即可求得圆的方程。【详解】（1）因为所在直线的斜率为，所以边上的高所在直线的斜率为所以边上的高所在直线的方程为，即（2）设所求圆的方程为因为在所求的圆上，故有所以所求圆的方程为【点睛】（1）求直线方程一般通过直线点斜式方程求解，即知道点和斜率。（2）圆的一般方程为，三个未知数三个点代入即可。19、（1），（2）【解析】

（1）根据分层抽样的概念,可得,求解即可；（2）分别记从高校抽取的2人为,,从高校抽取的3人为,,,先列出从5人中选2人作专题发言的基本事件,再列出2人都来自高校的基本事件,进而求出概率【详解】（1）由题意可得,所以,（2）记从高校抽取的2人为,,从高校抽取的3人为,,,则从高校,抽取的5人中选2人作专题发言的基本事件有,,,,,,,,,共10种设选中的2人都来自高校的事件为,则包含的基本事件有,,共3种因此,故选中的2人都来自高校的概率为【点睛】本题考查分层抽样,考查古典概型,属于基础题20、（1），最大值为.（2）时，最小值0.时，最大值.【解析】

（1）利用数量积公式、倍角公式和辅助角公式，化简，再利用三角函数的有界性，即可得答案；（2）利用整体法求出，再利用三角函数线，即可得答案.【详解】（1）∴，的最大值为.（2）由（1）得，∵，.，当时，即时，取最小值0.当，即时，取最大值.【点睛】本题考查向量数量积、二倍角公式、辅助角公式、三角函数的性质，考查函数与