2025届上海市第八中学高一下数学期末教学质量检测模拟试题含解析

2025届上海市第八中学高一下数学期末教学质量检测模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知向量若与平行，则实数的值是（）A．-2 B．0 C．1 D．22．为了得到函数的图象，只需把函数的图象上的所有的点（）A．向左平移个单位 B．向右平移个单位C．向左平移个单位 D．向右平移个单位3．已知在中，内角的对边分别为，若，则等于()A． B． C． D．4．数列的通项，其前项和为，则为（）A． B． C． D．5．已知，则的值等于（）A． B． C． D．6．若cosα=13A．13 B．-13 C．7．某正弦型函数的图像如图，则该函数的解析式可以为（）.A． B．C． D．8．函数y=tan（–2x）的定义域是()A．{x|x≠+，k∈Z} B．{x|x≠kπ+，k∈Z}C．{x|x≠+，k∈Z} D．{x|x≠kπ+，k∈Z}9．已知实数满足,那么的最小值为(

)A． B． C． D．10．已知两点，，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（）A． B．C． D．或二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．若等差数列和等比数列满足，，则_______.12．在锐角中，角、、所对的边为、、，若的面积为，且，，则的弧度为__________．13．若存在实数使得关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是____.14．棱长为，各面都为等边三角形的四面体内有一点，由点向各面作垂线，垂线段的长度分别为，则=______．15．化简：______.（要求将结果写成最简形式）16．已知数列，其前项和为，若，则在，，…，中，满足的的个数为______.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．在中，内角、、所对的边分别为，，，且满足．（1）求角的大小；（2）若，是方程的两根，求的值．18．在直角坐标系中，，，点在直线上.（1）若三点共线，求点的坐标；（2）若，求点的坐标.19．已知直线，，是三条不同的直线，其中.（1）求证：直线恒过定点，并求出该点的坐标；（2）若以，的交点为圆心，为半径的圆与直线相交于两点，求的最小值.20．已知抛物线的焦点为，过的直线交轴正半轴于点，交抛物线于两点，其中点在第一象限.（Ⅰ）求证：以线段为直径的圆与轴相切；（Ⅱ）若,,，求的取值范围.21．设O为坐标原点，动点M在椭圆C上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足.（1）求点P的轨迹方程；（2）设点在直线上，且.证明：过点P且垂直于OQ的直线过C的左焦点F.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、D【解析】

因为，所以由于与平行，得，解得.2、D【解析】

把系数2提取出来，即即可得结论．【详解】，因此要把图象向右平移个单位．故选D．【点睛】本题考查三角函数的图象平移变换．要注意平移变换是加减平移单位，即向右平移个单位得图象的解析式为而不是．3、A【解析】

由题意变形，运用余弦定理，可得cosB，再由同角的平方关系，可得所求值．【详解】2b2﹣2a2＝ac+2c2，可得a2+c2﹣b2ac，则cosB，可得B＜π，即有sinB．故选A．【点睛】本题考查余弦定理的运用，考查同角的平方关系，以及运算能力，属于中档题．4、A【解析】分析：利用二倍角的余弦公式化简得，根据周期公式求出周期为，从而可得结果.详解：首先对进行化简得，又由关于的取值表：123456可得的周期为，则可得，设，则，故选A．点睛：本题考查二倍角的余弦公式、三角函数的周期性以及等差数列的求和公式，意在考查灵活运用所学知识解决问题的能力以及计算能力，求求解过程要细心，注意避免计算错误.5、B【解析】．6、D【解析】

利用二倍角余弦公式cos2α=2【详解】由二倍角余弦公式可得cos2α=2【点睛】本题考查二倍角余弦公式的应用，着重考查学生对二倍角公式熟记和掌握情况，属于基础题．7、C【解析】试题分析：由图象可得最大值为2，则A=2，周期，∴∴，又，是五点法中的第一个点，∴，∴把A,B排除，对于C：，故选C考点：本题考查函数的图象和性质点评：解决本题的关键是确定的值8、A【解析】

根据诱导公式化简解析式，由正切函数的定义域求出此函数的定义域．【详解】由题意得，y=tan（–2x）=–tan（2x–），由2x–（k∈Z）得，x≠+，k∈Z，所以函数的定义域是{x|x≠+，k∈Z}，故选:A．【点睛】本题考查正切函数的定义域，以及诱导公式的应用，属于基础题．9、A【解析】

表示直线上的点到原点的距离，利用点到直线的距离公式求得最小值.【详解】依题意可知表示直线上的点到原点的距离，故原点到直线的距离为最小值，即最小值为，故选A.【点睛】本小题主要考查点到直线的距离公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.10、D【解析】

作出示意图，再结合两点间的斜率公式，即可求得答案.【详解】，，又直线过点且与线段相交，作图如下：则由图可知，直线的斜率的取值范围是：或．故选：D【点睛】本题借直线与线段的交点问题，考查两点间的斜率公式，考查理解辨析能力，属于中档题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】

设等差数列的公差为，等比数列的公比为，根据题中条件求出、的值，进而求出和的值，由此可得出的值.【详解】设等差数列的公差和等比数列的公比分别为和，则，求得，，那么，故答案为.【考点】等差数列和等比数列【点睛】等差、等比数列各有五个基本量，两组基本公式，而这两组公式可看作多元方程，利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化为解关于基本量的方程（组）问题，因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题，所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法.12、【解析】

利用三角形的面积公式求出的值，结合角为锐角，可得出角的弧度数.【详解】由三角形的面积公式可知，的面积为，得，为锐角，因此，的弧度数为，故答案为.【点睛】本题考查三角形面积公式的应用，考查运算求解能力，属于基础题.13、【解析】

先求得的取值范围，将题目所给不等式转化为含的绝对值不等式，对分成三种情况，结合绝对值不等式的解法和不等式恒成立的思想，求得的取值范围.【详解】由于，故可化简得恒成立.当时，显然成立.当时，可得，，可得且，可得，即，解得.当时，可得，可得且，可得，即，解得.综上所述，的取值范围是.【点睛】本小题主要考查三角函数的值域，考查含有绝对值不等式恒成立问题，考查存在性问题的求解策略，考查函数的单调性，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.14、．【解析】

根据等积法可得∴15、【解析】

结合诱导公式化简，再结合两角差正弦公式分析即可【详解】故答案为：【点睛】本题考查三角函数的化简，诱导公式的使用，属于基础题16、1【解析】

运用周期公式，求得，运用诱导公式及三角恒等变换，化简可得，即可得到满足条件的的值．【详解】解：，可得周期，，则满足的的个数为．故答案为：1．【点睛】本题考查三角函数的周期性及应用，考查三角函数的化简和求值，以及运算能力，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）【解析】

（1）由，可得：，再用正弦定理可得：，从而求得的值；（2）根据题意由韦达定理和余弦定理列出关于的方程求解即可．【详解】（1）由，得：，可得：，得．由正弦定理有：，由，有，故，可得，由，有．(2)由，是方程的两根，得，利用余弦定理得而，可得．【点睛】本题考查了三角形的正余弦定理的应用，化简与求值，属于基础题．18、（1）；（2）.【解析】

（1）三点共线，则有与共线，由向量共线的坐标运算可得点坐标；（2），则，由向量数量积的坐标运算可得【详解】设，则，（1）因为三点共线，所以与共线，所以，，点的坐标为.（2）因为，所以，即，，点的坐标为.【点睛】本题考查向量共线和向量垂直的坐标运算，属于基础题．19、（1）证明见解析；定点坐标；（2）【解析】

（1）将整理为：，可得方程组，从而求得定点；（2）直线方程联立求得圆心坐标，将问题转化为求圆心到直线距离的最大值的问题，根据圆的性质可知最大值为，从而求得最小值.【详解】（1）证明：，可化为：令，解得：，直线恒过定点（2）将，联立可得交点坐标设到直线的距离为，则则求的最小值，即求的最大值由（1）知，直线恒过点，则最大时，，即【点睛】本题考查直线过定点问题的求解、直线被圆截得弦长的最值的求解，关键是能够根据圆的性质确定求解弦长的最小值即为求解圆心到直线距离的最大值，求得最大值从而代入求得弦长最小值.20、（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.【解析】

试题分析：（Ⅰ）题意实质上证明线段的中点到轴的距离等于线段长的一半，根据抛物线的定义设可证得；（Ⅱ）同样设，，把已知,用坐标表示出来，消去坐标及，得出与的关系，此时就可得出的取值范围．试题解析：（Ⅰ）由已知,设，则，圆心坐标为，圆心到轴的距离为，圆的半径为，所以，以线段为直径的圆与轴相切．（Ⅱ）解法一：设，由,,得，，所以，，由，得．又，，所以．代入，得，，整理得，代入，得，所以，因为，所以的取值范围是．解法二：设，，将代入，得，所以（*），由，，得，，所以，，，将代入（*）式，得，所以，．代入，得．因为，所以的取值范围是．考点：抛物线的定义，抛物线的焦点弦问题．21、（1）；（2）见解析.【解析】

试题分析：（1）转移法求轨迹：设所求动点坐标及相应已知动点坐标，利用条件列两种坐标关系，最后代入已知动点轨迹方程，化简可得所求轨迹方程；（2）证明直线过定点问题，一般方法是以算代证：即证，先设P（m，n），则需证，即根据条件可得，而，代入即得.试题解析：解：（1）设P（x，y），M（）,则N（），由得.因为M（）在C上，所以.因此点P的轨迹为.由题意知F（-1,0），设Q