人教A版高中数学必修第一册课时练习3 .4 函数的应用（一）

3.4函数的应用（一）

-.一次函数模型及其应用

1.某厂日生产文具盒的总成本x（元）与日产量x（套）之间的关系为y=6x+30000而出厂价格

为每套12元，要使该厂不亏本，至少日生产文具盒（）

A.2000套B.3000套C.4000套D.5000套

2.一种产品的成本是a元.今后m（m£N*）年内，计划使成本平均每年比上一年降低

P%,成本y是经过年数x的函数（0<x<m,且xGN*）,其关系式为（）

A.y=a(1+p%)xB.y=a(1-p%)x

C.y=a（p%）xD.y=a-（p%）x

3.如图，k反映了某公司销售一种医疗器械的销售收入（万元）与销售量（合）之间的关

系，，2反映了该公司销售该种医疗器械的销售成本（万元）与销售量（台）之间的关系.当

销售收入大于销售成本时，该医疗器械才开始盈利.根据图象，则下列判断中错误的是

（）

A.当销售量为4台时，该公司盈利4万元

B.当销售量多于4台时，该公司才开始盈利

C.当销售量2台时，该公司亏本1万元

D.当销售量6台时，该公司盈利1万元

4.一水池有两个进水口，一个出水口，每个进水口的进水速度如图甲所示.出水口的出水

速度如图乙所示，某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示.

给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点至I]6

点不进水不出水，则一定正确的是（）

A.①B.©（2）c.（wD.aw

5.从装满20L纯酒精的容器中倒出1L酒精，然后用水加满，再倒出1L酒精溶液，再用

水加满，照这样的方法继续下去，如果倒第攵次时共倒出纯酒精xL,倒第Z+1次时共倒

出纯酒精〃x）L,则/（x）的解析式是（）

io1

A./（%）=—x+1B./（%）=—x+1

v720v720

io1

C-./（x）=^（x+1）D."x）=与"

二.二次函数模型及其应用

6.加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”，在特定条

件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足函数关系p=at?+bt+c（a,b,c是常

数），如图记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间

为（）

A.3.50分钟B.3.75分钟C.4.00分钟D.4.25分钟

7.市场上常有这样的一个规律:某商品价格越高，购买的人越少，价格越低，购买的人越

多.现在某杂志，若定价每本2元的价格，则可以发行10万本，若每本价格每提高0.2

元，发行量就减少5000本，要使总收入不低于22.4万元，则每本杂志的最高定价为

________元.

8.如图，一块矩形土地ABCD由篱笆围着，并且由一条与CD边平行的篱笆EF分开.已知

篱笆的总长为900m(篱笆的厚度忽略不计)，当AB=m时，矩形土地ABCD的面

积最大.

9.某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3200元时，可全部租出。当每辆车

的月租金每增加50元时(租金增减为50元的整数倍)，未租出的车将会增加一辆。租出的

车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元。

(1)当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？

(2)设租金为(3200+50X)元/辆(xeN),用x表示租赁公司的月收益y(单位：元)。

(3)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？

10.为保护环境，某单位采用新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该

单位每月的处理量最多不超过300吨，月处理成本〉(元)与月处理量x(吨)之间的函

数关系式可近似的表示为：y=x2-200x+40000,且每处理一吨二氧化碳得到可利用的

化工产品价值为300元.

(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？

(2)要保证该单位每月不亏损，则每月处理量应控制在什么范围？

三.分段函数模型及其应用

11.已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万

元.设该公司一年内共生产该品牌服装x千件并全部销售完，每千件的销售收入为R(x)

1

10.8——x29,0<x<10

30

万元,且R(x)="

1081000

-----------0

1x3/

(1)写出年利润W(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；

(2)年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得利润最大？(注：年利

润=年销售收入一年总成本)

12.某著名车企自主创新，研发了一款新能源汽车,经过大数据分析获得：在某种路面上，该

品牌汽车的刹车距离y（米）与其车速X（千米/小时）满足下列关系：y=—+mx+n

200

（〃？，〃是常数）.（行驶中的新能源汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距

离才能停下，这段距离叫做刹车距离）.如图是根据多次对该新能源汽车的实验数据绘制的刹

车距离y（米）与该车的车速x（千米/小时）的关系图.该新能源汽车销售公司为满足市

场需求，国庆期间在甲、乙两地同时展销该品牌的新能源汽车，在甲地的销售利润（单位：

万元）为X=4.1x-0.卜2,在乙地的销售利润（单位：万元）为％=2x,其中X为销售

量（单位：辆）.

⑴若该公司在两地共销售20辆该品牌的新能源汽车,则能获得的最大利润L是多少？

⑵如果要求刹车距离不超过25.2米，求该品牌新能源汽车行驶的最大速度.

四.鬲函数模型及其应用

13.某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为P,第二年的增长率为4,则该市

这两年生产总值的年平均增长率为（）

A号B（p+lX^D-lc.而Dj（p+W+1）-1

14.某种珍稀动物经普查今年存量为1100只，5年前有1000只，在这5年中该动物的平

均增长率为.(精确到0.1)

答案

1.D2,B2.B3.A3.A4.A5.A6.B7.3.28.150

9.(1)92(2)当每辆车的月租金定为4150元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益是

元

3600-3200

----------------=8

(1)由题意50,100-8=92,即能租出92辆车

(2)•••y=(3200+50x)(100-x)-150(100-x)-50x

y=-50x2+1900x+305000,(xe/V)

由(2)知*・19时y—=3230503200+50x19-4150

二租金为4150元时收益最大

二当每辆车的月租金定为4150元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益是元

10.由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为?=》+生产-200/€(0,300]

因为x+翌也-200227^^-200=200,当且仅当％=竺配,即％=200

XNXX

时，才能使每吨的平均处理成本最低；

(2)设该单位每月获利为S(元)，则

S=300x-y=300x-任-200%+40000)=-x2+500x-40000>0

即100WXW400

由题意可知0<xW300,所以当100W300时，该单位每月不亏损.

Y

11.解：(1)当0<xW10时，IV=xR(x)-(10+2.7x)=8.lx----10；

卬=无/?0)_(10+2.7*)=98-竺史-2.7%.

当x〉10时,

3x

•••年利润W(万元)关于年产量x(千件)的函数关系式为

x3

8.lx-----10,0<x10,

卬=130

C。1000cr

98-------2.7x,x>1i0n.

3x

2

X

(2)当0<xW10时，由W'=8.1——>0n0<x<9,

10

即年利润w在(0,9)上单增,在(9,10)上单减

当x=9时，W取得最大值，且叱wx=38.6(万元).

当x>10时，W=98—("四+2.7x)498—2频i=38,仅当》=图时取"="

3x9

综上可知，当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大，最大

值为38.6万元.

12.(1)设公司在甲地销售该新能源品牌的汽车x辆,则在乙地销售该品牌的汽车20-