人教版九年级数学上学期21 2 1 配方法

21.2.1配方法

导学探究：

阅读教材P69,回答下列问题：

1.将下列各式配成完全平方式：

(l)x212x+=(x+J

(2)x2-x+=(x

(3)x2—x+=(x))

6

2.回顾：

(1)等式的基本性质是什么？

(2)用直接开平方法解一元二次方程x?+6x+9=7

3.(1)解一元二次方程x，12x=15的困难在哪里？如何转化才能将其化为上面方程的形式求

解？试试看.

(2)对于一元二次方程x?2x2=0,如何转化才能化为上面方程的形式求解？试试看.

较合适？请你给这种方法下一个定义，并简要说明这种方法的基本思想.

归纳梳理

,另一边化为，然后用法求解.

2.配方法的一般步骤：

(1)移项，使方程左边为项、项，右边为项：(一移)

(2)方程两边都除以系数，将系数化为1:(二除)

(3)配方,方程两边都加上_________________的平方,使方程左边成为一个,

右边是一个的形式；(三配)

(4)如果右边是，两边直接开平方，求这个一元二次方程的解.(四开)

如果右边是负数.则这个方程没有实数解.

典例探究

1.配方法解一元二次方程

[例1](2015•科左中旗校级一模)用配方法解下列方程时，配方有错误的是()

A.x?-2x-99=0化为(x-1)=100B.x48x+9=0化为(x+4)=25

C.2t2-7t-4=0化为(t-1):EID.3x2-4x-2=0化为(x-上)

41639

总结：配方法解一元二次方程的一般步骤：

(1)把二次项的系数化为1；

(2)把常数项移到等号的右边；

(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方.

(4)用直接开平方法解这个方程.

练1用配方法解方程：

(1)X2-2X-24=0；(2)3X2+8X3=0；(3)x(x+2)=120.

2.用配方法求多项式的最值

【例2】(2015春•龙泉驿区校级月考)当x,y取何值时，多项式x，4x+4y2-4y+l取得最小

值，并求出最小值.

总结：配方法是求代数式的最值问题中最常用的方法.基本思路是：把代数式配方成完全平

方式与常数项的和，根据完全平方式的非负性求代数式的最值.

练2(2014•甘肃模拟)用配方法证明：二次三项式-8x、12x-5的值一定小于0.

练3(2014秋•崇州市期末)已知a、b、c为AABC三边的长.

(1)求证：a2-b2+c2-2ac<0.

(2)a2+2b2+c2-2.b(a+c)时，试判断AABC的形状.

夯实基础

一、选择题

1.(2015•延庆县一模)若把代数式X?-2x+3化为(x-m)2+k形式，其中m,k为常数，结

果为()

A.(x+1)2+4B.(x-1)2+2

C.(x-1)2+4D.(x+1)2+2

2.(2015•东西湖区校级模拟)一元二次方程x2-8x-1=0配方后为()

A.(x-4)=17B.(x+4)=15

C.(x+4)=17D.(x-4)2=17或(x+4)=17

3.(2016•新疆)一元二次方程x2-6x-5=0配方组可变形为()

A.(x-3)2=14B.(X-3)2=4C.(x+3)2=14D.(x+3)2=4

二、填空题

4.(2015春•盐城校级期中)一元二次方程xJ6x+a=0,配方后为(x-3)2=1,则a=—.

5.(2014秋•营山县校级月考)当*=时，代数式3/-6x的值等于12.

三、解答题

6.(2015•东西湖区校级模拟)用配方法解方程：X2-2X-4=0.

7.(2013秋•安龙县校级期末)试说明：不论x,y取何值，代数式x?+4y2-2x+4y+5的值总

是正数.你能求出当x,y取何值时，这个代数式的值最小吗？

8.(2014秋•蓟县期末)阅读下面的材料并解答后面的问题：

小李：能求出x，4x-3的最小值吗？如果能，其最小值是多少？

小华：能.求解过程如下：

因为X2+4X-3=X2+4X+4-4-3=(x2+4x+4)-(4+3)=(x+2)~-7

而(x+2)所以x，4x-3的最小值是-7.

问题：

(1)小华的求解过程正确吗？

(2)你能否求出x?-3x+4的最小值？如果能，写出你的求解过程.

9.(2014秋•安陆市期末)阅读下面的解答过程，求y，4y+8的最小值.

解：y?+4y+8=y~+4y+4+4-(y+2)2+4

,/(y+2)

(y+2)2+4>4

/.y2+4y+8的最小值为4

仿照上面的解答过程，求m2+m+4的最小值和4-2x-x2的最大值.

10.(2014春•乳山市期末)已知代数式X?-2mx-m,+Sm-5的最小值是-23,求m的值.

11.(2014秋•江阴市期中)配方法可以用来解一元二次方程，还可以用它来解决很多问题.例

如:因为3a'NO,所以3a%1妾1,即：3a2+1有最小值1,此时a=0；同样，因为-3(a+l)

MO,所以-3(a+1)"+6W6,即-3(a+1)有最大值6,此时a=-1.

①当x=—时，代数式-2(x-1)?+3有最—(填写大或小)值为一.

②当x=—时，代数式-x?+4x+3有最—(填写大或小)值为一.

③矩形花园的一面靠墙，另外三面的栅栏所围成的总长度是16m,当花园与墙相邻的边长为

多少时，花园的面积最大？最大面积是多少？

典例探究答案：

［例11【解析】配方法的一般步骤：

(1)把常数项移到等号的右边；

(2)把二次项的系数化为1；

(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方.根据以上步骤进行变形即可.

解：A、Vx2-2x-99=0,/.x2-2x=99,Ax2-2x+l=99+l,(x-1)=100,故A选项正确.

B、VX2+8X+9=0,.,.X2+8X=-9,.*.x2+8x+16=-9+16,(x+4)=7,故B选项错误.

C、V2t2-7t-4=0,.\2t2-7t=4,At2-2t=2,.能-_Zt+生=2+生，(一」)2=骂

221616416

故c选项正确.

D>3x2-4x-2=0,3x2-4x=2,x2-Jx=—,x2--x+9=F+(x--)故

33393939

D选项正确.

故选：B.

点评：此题考查了配方法解一元二次方程，选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的

二次项的系数为1,一次项的系数是2的倍数.

练1•【解析】(1)移项，得x.2x=24,

配方，得：x2-2x+l=24+l,

即：(x-1)三25,

开方，得：X-1二±5,

••Xi~6,X2~14.

(2)两边除以3,得:x2+—x-l=O

3

28

XH—X—1

移项，得:3，

%2+|%+(|-)2=1+

配方，得:

即：(x+y

4,5

开方，得：”+§=±3

X]=1,X2=-3

⑶整理，得：厂+2%=120

配方，得：:+2%+1=120+1

即：。+1)-21

开方，得：X+1=±11

%=10,x2=—12

点评：本题考查了解一元二次方程--配方法.

[例21【解析】把所给代数式整理为两个完全平方式子与一个常数的和，最小值应为那个

常数，从而确定最小值.

解：x"+4x+4y~-4y+l=x2+4x+4+4y2-4y+l-4=(x+2)"+(2y-1)"-4,

又：(x+2)2+(2y-1)2的最小值是0,

x2+4x+4y2-4y+l的最小值为-4.

...当x=-2,y=a时有最小值为-4.

2

点评：本题考查配方法的应用；根据-4y,4x把所给代数式整理为两个完全平方式子的和

是解决本题的关键.

练2.【解析】将-8/+12X-5配方，先把二次项系数化为1,然后再加上一次项系数一半的

平方，然后根据配方后的形式，再根据厂》0这一性质即可证得.

解:-8X2+12X-5=-8(x2-0x)-5=-8[x2-总x+(―)2]-5+8X(总)2=-8(x-2-

22444

一1,

2

(x-二)220,

4

-8(x-2)飞0,

4

/.-8(x-2)2-1<0,

42

即-8X2+12-5的值一定小于0.

点评：此题考查了学生的应用能力，解题时要注意配方法的步骤.注意在变形的过程中不要

改变式子的值.

练3.【解析】(1)将不等式的左边因式分解后根据三角形三边关系判断代数式的符号即可;

(2)将等式右边的项移至左边，然后配方即可.

解：(1)a"-b~+c2-2ac=(a-c)2-b2=(a-c+b)(a-c-b)

：a、b、c为aABC三边的长，

(a-c+b)>0,(a-c-b)<0,

/.a-b2+c~-2ac<0.

(2)Sa2+2b2+c^2b(a+c)

得：a2-2ab+b2+b2-2bc+c2=0

配方得：(a-b)2+(b-c)2=0

a=b=c

/.△ABC为等边三角形.

点评：本题考查了配方法的应用，解题的关键是对原式正确的配方.

夯实基础答案：

一、选择题

1.【解析】二次项系数为1,则常数项是一次项系数的一半的平方.

解：x2-2x+3=x~-2x+l+2=(x-1)2+2.

故选：B.

点评：此题考查了学生的应用能力，解题时要注意配方法的步骤.注意在变形的过程中不要

改变式子的值.

2.【解析】先移项，得x?-8x=l,然后在方程的左右两边同时加上16,即可得到完全平方

的形式.

解：移项，得X2-8X=1,

配方，得x?-8x+16=l+16,

即(x-4)2=17.

故选A.

点评：本题考查了用配方法解一元二次方程，对多项式进行配方，不仅应用于解一元二次方

程，还可以应用于二次函数和判断代数式的符号等，应熟练掌握.

3、【解析】先把方程的常数项移到右边，然后方程两边都加上32,这样方程左边就为完全

平方式.

解：x2-6x-5=0,

x2-6x=5,

x2-6x+9=5+9,

(x-3)2=14,

故选：A.

点评：本题考查了利用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0(a-0)：先把二次系数变为1,

即方程两边除以a,然后把常数项移到方程右边，再把方程两边加上一次项系数的一半.

二、填空题

4•【解析】利用完全平方公式化简后，即可确定出a的值.

解:*.*(x-3)2=x2-6x+9,a=9；

故答案为：9.

点评：此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.

5•【解析】根据题意列出方程，两边除以3变形后，再加上1配方后，开方即可求出解.

解:根据题意得：3x2-6x=12,HPx2-2x=4,

配方得:x2-2x+l=5,即(x-1)2=5,

开方得：x-1=±,/5，

解得：x=l土\丐

故答案为：I±VE.

点评：此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.

三、解答题

6.【解析】按照配方法的一般步骤计算：(1)把常数项移到等号的右边；(2)把二次项的系

数化为1；(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方.选择用配方法解一元二次方程时,

最好使方程的二次项的系数为1,一次项的系数是2的倍数.

解：把方程x?-2x-4=0的常数项移到等号的右边，得到x?-2x=4,

方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到X2-2X+1=4+1,

配方得(x-1)看,

Ax-1=±J5，

••Xl=l-J5，X2=l+J^.

点评：本题考查了用配方法解一元二次方程的步骤，解题的关键是牢记步骤，并能熟练运用，

此题比较简单，易于掌握.

7•【解析】原式利用完全平方公式变形，根据完全平方式恒大于等于0,即可求出最小值.

解:原式=x2-2x+l+4y2+4y+l+3

=(x-1)"+(2y+l)~+323,

当x=l,y=-工时，x2+4y2-2x+4y+5有最小值是3.

2

点评：此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关

键.

8.【解析】对于x，4x-3和x「3x+4都是同时加上且减去一次项系数一半的平方.配成一

个完全平方式与常数的和，利用完全平方式为非负数的性质得到原代数式的最小值.

解：(1)正确

(2)能.过程如下：

x2-3x+4=x2-3x+i--+4=(x--)4-7

4424

(x-b2》0,

2

所以x?-3x+4的最小值是工

4

点评：此题考查配方法的运用，配方法是常用的数学思想方法.不仅用于解方程，还可利用

它解决某些代数式的最值问题.它的一个重要环节就是要配上一次项系数一半的平方.同时

要理解完全平方式的非负数的性质.

9.【解析】(1)多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于0,即可求出最小值；

(2)多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于0,即可求出最大值.

解:(1)m2+m+4=(m+1)”至

24

(m+1)峰0,

2

(m+1)?+MH

244

则m2+m+4的最小值是.叵

4

(2)4-X2+2X=-(x-1)2+5,

：-(x-1)9,

-(x-1)?+5W5,

则4-X2+2X的最大值为5.

点评：此题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.

10.【解析】先将原式变形为x2-2m-m2+5m-5=(x-m)2-2m2+5m-5,由非负数的性质就

可以求出最小值.

解：x2-2m-