2021-2022学年辽宁省大连市高一（下）期末数学试卷

第=page11页，共=sectionpages11页2021-2022学年辽宁省大连市高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知复数z=1+2i(i为虚数单位)，则它的共轭复数z−=(

)A.2−i B.2+i C.2i D.1−2i2.若cosx=1213，且x为第四象限的角，则tanx的值等于(

)A.125 B.−125 C.53.若a、b是空间中两条不同的直线，则a/​/b的充分条件是(

)A.直线a、b都垂直于直线l B.直线a、b都垂直于平面α

C.直线a、b都与直线l成30°角 D.直线a、b都与平面α成60°角4.民间娱乐健身工具陀螺起源于我国，最早出土的石制陀螺是在山西夏县发现的新石器时代遗址．如图所示的是一个陀螺的立体结构图．已知底面圆的直径AB=16cm，圆柱体的高BC=8cm，圆锥体的高CD=6cm，则这个陀螺的表面积是(

)

A.192πcm2 B.208πcm2 C.5.如图，小明同学为测量某建筑物CD的高度，在它的正东方向找到一座建筑物AB，高为12m，在地面上的点M(B,M,D三点共线)测得楼顶A、建筑物顶部C的仰角分别为15°和60°，在楼顶A处测得建筑物顶部C的仰角为30°，则小明测得建筑物CD的高度为(    )(精确到1m)参考数据：2A.42m B.45m C.51m D.57m6.设A、B、C、D是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是(

)A.若AC与BD共面，则AD与BC共面

B.若AC与BD是异面直线，则AD与BC是异面直线

C.若AB=AC，DB=DC，则AD=BC

D.若AB=AC，DB=DC，则AD⊥BC7.将函数y=sin2x的图象向右平移φ个单位长度后，得到函数y=cos(2x+π6)的图象，则A.π12 B.2π3 C.π38.已知圆台上下底面半径分别为3、4，圆台的母线与底面所成的角为45°.且该圆台上下底面圆周都在某球面上，则该球的体积为(

)A.100π B.500π3 C.200π D.二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.设非零复数z1、z2所对应的向量分别为OZ1,OA.z1=iz2 B.z1=210.一个正方体内接于一个球，过球心作一截面如图所示，则截面的可能图形是(

)A. B. C. D.11.下列各式正确的是(

)A.(1+tan1°)(1+tan44°)=2 B.1sin10∘−312.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,φ∈R)在区间(7π12,5πA.f(2π3)=0

B.若f(5π6−x)=f(x)，则函数f(x)的最小正周期为π

C.关于x的方程f(x)=1在区间[0,2π)上最多有4个不相等的实数解

D.若函数f(x)在区间[三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.函数f(x)=tanx2的最小正周期为

14.如图，在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AB=3AA1，E是棱15.已知函数f(x)不是常数函数，且函数f(x)满足：定义域为R，f(x)的图象关于直线x=2对称，f(x)的图象也关于点(1,0)对称．写出一个满足条件的函数f(x)

.(写出满足条件的一个即可)16.如图，四边形ABCD为正方形，AG⊥平面ABCD，AG//DF//CE，若AG=AB=3，DF=2，CE=1，则VB−EGD：VG−BEF=

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题10分)

已知向量a=(1,2)，b=(x,3)．

(1)若(3a−b)⊥b，求x的值；

(2)若向量18.(本小题12分)

如图1，菱形ABCD中，∠A=60°，DE⊥AB，垂足为点E，将△AED沿DE翻折到△A′ED，使A′E⊥BE，如图2．

(1)求证：A′E⊥平面EBD；

(2)在线段A′D上是否存在一点F，使EF/​/平面A′BC？若存在，求DFFA′的值；若不存在，说明理由．19.(本小题12分)

已知O为坐标原点，对于函数f(x)=asinx+bcosx，称向量OM=(a,b)为函数f(x)的相伴特征向量，同时称函数f(x)为向量OM的相伴函数．

(1)若向量m=(2,2)为ℎ(x)=λsin(x+π4)的相伴特征向量，求实数λ的值；

(2)记向量m=(5,12)的相伴函数是f(x)，求20.(本小题12分)

如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AC⊥BC，且AC=3，BC=6，AA1=2AB，D是棱BB1的中点，E是棱CC1上的点，满足21.(本小题12分)

已知平面四边形ABCD中，AB=AD，AB⊥AD，AC=3，BC=1．

(1)若∠ACB=5π6，求四边形ABCD的面积；

(2)若记∠ACB=θ(0<θ<π)，CD=f(θ)．

①求f(θ)的解析式；

②求CD的最小值及此时角22.(本小题12分)

如图，在四棱锥S−ABCD中，∠SAB=∠SAD≤π2，底面ABCD为正方形．记直线SA与平面ABCD所成的角为θ．

(1)求证：平面SAC⊥平面SBD；

(2)若二面角B−SA−D的大小为2π3，求cosθ的值；

(3)当θ=π2时，SB、BC中点为M，N，点P为线段CD上的动点(包括端点)，SA=2AB，二面角M−NP−A的大小记为

答案和解析1.【答案】D

【解析】【分析】本题考查共轭复数，是基础题．

由已知直接利用共轭复数的概念得答案．【解答】

解：∵z=1+2i，

∴z−=1−2i．

2.【答案】D

【解析】【分析】本题主要考查了同角三角函数关系式的应用，考查了计算能力，属于基础题．

根据x的范围，利用同角三角函数关系式求出sinx，从而求出tanx的值．【解答】

解：∵x为第四象限的角，cosx=1213，

∴sinx=−1−cos2x=−53.【答案】B

【解析】【分析】本题考查空间两直线的位置关系，考查充分条件的判断，属于较易题．

根据线线平行、线线角等知识对选项进行分析，从而确定正确选项．【解答】

解：A选项，a，b都与l垂直，可能a⊥b，A选项错误．

B选项，a，b都垂直于平面α，则a/​/b，B选项正确．

C选项，a，b都与l成30°角，a，b可能相交，C选项错误．

D选项，a，b都与平面α成60°角，a，b可能异面，D选项错误．

故选：B．4.【答案】C

【解析】解：因为底面圆的直径AB=16cm，

所以圆柱、圆锥的底面半径为8cm，

圆锥的母线长为62+82=10cm，

所以陀螺的表面积是π×82+2π×8×8+π×8×10=272πc5.【答案】D

【解析】解：如图所示：在Rt△ABM中，AB=12，sin15°=sin(45°−30°)=sin45°cos30°−cos45°sin30°=6−24，

可得AM=ABsin15∘=126−24=12(6+2)，

由图知∠CAM=30°+15°=45°，∠CMA=180−∠CMD−∠AMB=180°−60°−15°=105°，

可得∠ACM=180°−∠CMA−∠CAM=180°−105°−45°=30°，

由正弦定理可得CMsin∠CAM=AMsin6.【答案】C

【解析】解：A显然正确；B也正确，因为若AD与BC共面，则必有AC与BD共面与条件矛盾

C不正确，如图所示：

D正确，用平面几何与立体几何的知识都可证明．

故选C．

逐一检验答案，A、B的正确性一致，C、D结合图形进行判断．

结合图形，通过仔细分析及举出反例，判断各答案是否正确7.【答案】B

【解析】解：函数y=sin2x的图象沿x轴向右平移φ(φ>0)个单位长度，函数y=sin(2x−2φ)的图象，

即得到函数y=cos(2x+π6)=sin(2x+2π3)的图象，

故−2φ=2kπ+2π3，整理得2φ=−2kπ−2π3，(k∈Z)，即φ=−kπ−π8.【答案】B

【解析】【分析】本题考查了圆台外接球体积的计算，属于基础题．

根据圆台轴截面及已知求圆台的高，再根据球半径与圆台上下底面半径的几何关系列方程求出球半径，进而求球的体积．【解答】

解：由题意，作出圆台的轴截面如图，

过点A作AE⊥CD，垂足为E，易得AE=DE=1，

过点O作OF⊥AB，垂足为F，交DC于点G，

所以AF=3，DG=4，

设球半径为R，球心为O，连接DO，AO，

则R2−9=(1+R2−16)2，可得R=5，

9.【答案】AD

【解析】【分析】本题考查了复数的运算和复数的几何意义，是中档题．

由题意设z1=a+bi，z2=c+di，即有OZ1=(a,b)【解答】

解：设z1=a+bi，z2=c+di，即有OZ1=(a,b)，OZ2=(c,d)，由OZ1⊥OZ2，可得ac+bd=0，

对于A，z1=iz2，即a+bi=i(c+di)=−d+ci，可得a=−d且b=c，此时ac+bd=−db+bd=0成立，所以A正确；

对于B，z1=2z2，即a+bi=2(c+di)=2c+2di，可得a=2c且b=2d，此时ac+bd=2c2+2d2≠0，所以B错误；10.【答案】ABC

【解析】【分析】本题主要考查了球内接多面体、棱柱的结构特征，空间几何体的截面问题，是基础题．

当截面的角度和方向不同时，球的截面不相同，应分情况考虑即可．【解答】

解：过球心作截面，

当截面平行于正方体的一个面时得C；

当截面为正方体的对角面时得B；

当截面过正方体上下底面中心且不过体对角线、不平行于正方体的侧面时能得A;

但无论如何都不能截出D，

故选：ABC．11.【答案】AC

【解析】【分析】本题考查了两角和与差的三角函数公式的应用，二倍角公式，辅助角公式，属于中档题．

A：利用正切的和角公式化简即可判断；B：利用正弦的倍角公式以及辅助角公式化简即可判断；C：利用诱导公式以及余弦的倍角公式化简即可判断；D：利用诱导公式以及正弦的倍角公式和辅助角公式化简即可判断求解．【解答】

解：选项A，(1+tan1°)(1+tan44°)=1+tan1°+tan44°+tan1°tan44°，

∵tan45°=tan1°+tan44°1−tan1∘tan44∘=1，即tan1°+tan44°+tan1°tan44°=1，

∴(1+tan1°)(1+tan44°)=2，故选项A正确；

选项B：因为1sin10∘−3cos10°=cos10°−3sin10°sin10°cos10°12.【答案】ABD

【解析】解：A，∵(7π12,3π4)⊆(7π12,5π6)，∴f(x)在(7π12,3π4)上单调，

又f(7π12)=−f(3π4),7π12+3π42=2π3，∴f(2π3)=0，故A正确；

B，区间(7π12,5π6)右端点x=5π6关于x=2π3的对称点为x=π2，

∵f(2π3)=0,f(x)在(7π12,5π6)上单调，根据正弦函数图像特征可知f(x)在(π2,5π6)上单调，

∴5π6−π2=π3⩽T2=12⋅2π|ω|(T为f(x)的最小正周期，即|ω|⩽3，

又ω>0，∴0<ω⩽3.若f(5π6−x)=f(x)，

则f(x)的图象关于直线x=5π12对称，结合f(2π3)=0，

得2π3−5π12=π4=2k+14T=2k+12⋅π(0(k∈Z),

即ω=4k+2(k∈Z)，故k=0，ω=2，T=π，故B正确．

C，由0<ω⩽3，得T⩾2π3，∴f(x)在区间[0,2π)上最多有3个完整的周期，

而f(x)=1在1个完整周期内只有1个解，故关于x的方程f(x)=1在区间[0,2π)上最多有3个不相等的实数解，故C错误．

D，由f(13.【答案】2π

【解析】【分析】本题主要考查了正切函数的周期性，属于基础题．

根据函数y=tanx的最小正周期为π，进而可求得函数f(x)=tan【解答】

解：T=π12=2π，14.【答案】7【解析】【分析】本题主要考查了异面直线所成的角，属于基础题．

由AB1/​/C1D可知异面直线AB1与C1E所成的角为∠DC【解答】

解：连接C1D，DE，

由正四棱柱ABCD−A1B1C1D1的性质可知，AB1/​/C1D，

∴异面直线AB1与C1E所成角为∠DC1E或其补角，

设AA115.【答案】f(x)=sin【解析】【分析】本题考查由正弦型函数的对称性求参数，属于基础题．

根据对称性确定正确答案．【解答】

解：依题意，f(x)不是常数函数，定义域为R，

图象关于直线x=2对称，也关于点(1,0)对称，

所以可取函数为f(x)=sin(π2x−π2)，

由于，所以函数f(x)关于直线x=2对称；

由于，所以函数f(x)关于点(1,0)对称．16.【答案】2：1

【解析】【分析】本题考查了三棱锥的体积，属于中档题．

将几何体补全为正方体，采用割补法求出体积，即可得结果．【解答】

解：将几何体补全为正方体，如下图示，

VG−BEF=VABCD−GJHI−VG−HEBJ−VG−HIFE−VB−CDFE−VB−DFGA

=27−13×3×12×5×3−1317.【答案】解：(1)根据题意，向量a=(1,2)，b=(x,3)，

若(3a−b)⊥b，则(3a−b)⋅b=3a⋅b−b2=−x2+3x+9=0，

解可得：x=3+352或x=【解析】本题考查向量数量积的性质以及应用，涉及向量夹角的计算，属于基础题．

(1)由数量积的计算公式可得(3a−b)⋅b=3a⋅b−b18.【答案】证明：(1)在菱形ABCD中，

DE⊥AB，即DE⊥AE，∴A′E⊥DE，

∵A′E⊥BE，DE∩BE=E，DE，BE⊂平面EBD，

∴A′E⊥平面EBD；

解：(2)在线段A′D上存在一点F，使EF/​/平面A′BC，

理由如下：

分别取A′D，A′C的中点F，M，连接EF，FM，BM，

∵FM为△A′DC的中位线，∴FM//DC，且FM=12DC，

在菱形ABCD中，EB/​/DC，且EB=12DC，

∴FM//EB，且FM=EB，∴四边形EBMF是平行四边形，∴EF/​/BM，

∵EF⊄平面A′BC，BM⊂平面A′BC，

∴EF/​/平面A′BC，

∵F为A′D【解析】本题考查了线面垂直的证明和线面平行的应用，属于中档题．

(1)推导出DE⊥AE，A′E⊥DE，结合A′E⊥BE，利用线面垂直的判定定理能证明A′E⊥平面BCDE；

(2)分别取A′D，A′C的中点F，M，连接EF，FM，BM，推导出四边形EBMF是平行四边形，EF/​/BM，从而在线段A′D上存在一点F，使EF/​/平面A′BC，且DFFA′19.【答案】解：(1)根据题意，ℎ(x)=λsin(x+π4)=λsinxcosπ4+λcosxsinπ4=22λ(sinx+cosx)，

又由m=(2,2)为ℎ(x)的相伴特征向量，即ℎ(x)=2sinx+2cosx，

则有22λ=2，解可得λ=22，

故λ=22；

(2)由题意知f(x)=5sinx+12cosx=13sin(x+θ)，且tanθ=125(0<θ<π2)，

又由tanθ=125>3，则θ∈(π3,π2)，

【解析】本题考查向量的应用，涉及三角函数的恒等变形，正弦型函数的值域，属于中档题．

(1)根据题意，利用两角和的正弦公式可得ℎ(x)=22λ(sinx+cosx)，结合相伴特征向量的定义可得22λ=2，解可得答案．

(2)20.【答案】证明：(1)∵AC⊥BC,AC=3,BC=6，∴AB=AC2+BC2=3，

∴AA1=2AB=6，BD=3，

∴AD=AB2+BD2=32，同理A1D=32，

∵AD2+A1D2=AA12，∴AD⊥A1D，

∵CE=5,AC=3，∴AE=AC2+CE2=28，

DE=BC2+(CE−BD)2=10，

∴AD2+DE2=AE2，∴AD⊥DE，

又A1D∩DE=D，A1D【解析】本题考查线面角，线面垂直的判定，属于中档题．

(1)根据勾股定理及勾股定理的逆定理判断垂直，再利用线面垂直的判定定理即可证明；

(2)利用空间向量求解线面角．21.【答案】解：(1)在△ABC中，AC=3，BC=1，∠ACB=5π6，由余弦定理可得

AB=AC2+BC2−2AC⋅BCcos∠ACB=3+1−2×3×1×(−32)=7，

由正弦定理可得BCsin∠BAC=ABsin∠ACB，即1sin∠BAC=712，

所以sin∠BAC=127，所以cos∠BAC=3327，

因为AB=AD，AB⊥AD，所以sin∠DAC=cos∠BAC=3327，

所以S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD

=12AC⋅BC⋅sin∠ACB+12AD⋅AC⋅sin∠DAC

=12×3×1×12+1【解析】本题考查正余弦定理的应用及三角函数最值的求法，属于较难题．

(1)△ABC中，由余弦定理可得AB的值，再由正弦定理可得sin∠BAC的值，进而求出cos∠BAC，由AB=AD，AB⊥AD可得AD的值及sin∠DAC的值，代入三角形的面积公式可得两个三角形的面积，即可得四边形的面积；

(2)①由余弦定理可得BA的表达式，再由正弦定理可得sin∠BAC的值，由题意