运筹学线性规划在管理中的应用案例

第五章线性规划在管理中的应用5.1某公司停止了生产一些已经不再获利的产品，这样就产生了一部分剩余生产力。管理层考虑将这些剩余生产力用于新产品Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的生产。可用的机器设备是限制新产品产量的重要因素，具体数据如下表：机器设备类型每周可用机器台时数铣床500车床350磨床150每生产一件各种新产品需要的机器台时数如下表：机器设备类型新产品Ⅰ新产品Ⅱ新产品Ⅲ铣床846车床430磨床301三种新产品的单位利润分别为0.5元、0.2元、0.25元。目的是要拟定每种新产品的产量，使得公司的利润最大化。1、判别问题的线性规划数学模型类型。2、描述该问题要作出决策的目的、决策的限制条件以及决策的总绩效测度。3、建立该问题的线性规划数学模型。4、用线性规划求解模型进行求解。5、对求得的结果进行灵敏度分析（分别对最优解、最优值、相差值、松驰/剩余量、对偶价格、目的函数变量系数和常数项的变化范围进行具体分析）。6、若销售部门表达，新产品Ⅰ、Ⅱ生产多少就能销售多少，而产品Ⅲ最少销售18件，请重新完毕本题的1-5。解：1、本问题是资源分派型的线性规划数学模型。2、该问题的决策目的是公司总的利润最大化，总利润为：0.5x1+0.2x2+0.25x3决策的限制条件：8x1+4x2+6x3≤500铣床限制条件4x1+3x2≤350车床限制条件3x1+x3≤150磨床限制条件即总绩效测试（目的函数）为：maxz=0.5x1+0.2x2+0.25x33、本问题的线性规划数学模型maxz=0.5x1+0.2x2+0.25x3S．T．8x1+4x2+6x3≤5004x1+3x2≤3503x1+x3≤150x1≥0、x2≥0、x3≥04、用Excel线性规划求解模板求解结果：最优解（50，25，0），最优值：30元。5、灵敏度分析目的函数最优值为:30变量最优解相差值x1500x2250x30.083约束松弛/剩余变量对偶价格10.05275030.033目的函数系数范围:变量下限当前值上限x1.4.5无上限x2.1.2.25x3无下限.25.333常数项数范围:约束下限当前值上限14005006002275350无上限337.5150187.5（1）最优生产方案：新产品Ⅰ生产50件、新产品Ⅱ生产25件、新产品Ⅲ不安排。最大利润值为30元。（2）x3的相差值是0.083意味着，目前新产品Ⅲ不安排生产，是由于新产品Ⅲ的利润太低，若要使新产品Ⅲ值得生产，需要将当前新产品Ⅲ利润0.25元/件，提高到0.333元/件。（3）三个约束的松弛/剩余变量0，75，0，表白铣床和磨床的可用工时已经用完，而车床的可用工时还剩余75个工时；三个对偶价格0.05，0，0.033表白三种机床每增长一个工时可使公司增长的总利润额。（4）目的函数系数范围表白新产品Ⅰ的利润在0.4元/件以上，新产品Ⅱ的利润在0.1到0.25之间，新产品Ⅲ的利润在0.333以下，上述的最佳方案不变。（5）常数项范围表白铣床的可用条件在400到600工时之间、车铣床的可用条件在275工时以上、磨铣床的可用条件在37.5到187.5工时之间。各自每增长一个工时对总利润的奉献0.05元，0元，0.033元不变。6、若产品Ⅲ最少销售18件，修改后的的数学模型是：maxz=0.5x1+0.2x2+0.25x3S．T．8x1+4x2+6x3≤5004x1+3x2≤3503x1+x3≤150x3≥18x1≥0、x2≥0、x3≥0这是一个混合型的线性规划问题。代入求解模板得结果如下：最优解（44，10，18），最优值：28.5元。灵敏度报告：目的函数最优值为:28.5变量最优解相差值x1440x2100x3180约束松弛/剩余变量对偶价格10.052144030.03340-.083目的函数系数范围:变量下限当前值上限x1.4.5无上限x2.1.2.25x3无下限.25.333常数项数范围:约束下限当前值上限14605006922206350无上限318150165401830（1）最优生产方案：新产品Ⅰ生产44件、新产品Ⅱ生产10件、新产品Ⅲ生产18件。最大利润值为28.5元。（2）由于最优解的三个变量都不为0，所以三个相关值都为0。（3）四个约束的松弛/剩余变量0，144，0，0，表白铣床和磨床的可用工时已经用完，新产品Ⅲ的产量也刚好达成最低限制18件，而车床的可用工时还剩余144个工时；四个对偶价格0.05，0，0.033，-0.083表白三种机床每增长一个工时可使公司增长的总利润额，第四个对偶价格-0.083表白新产品Ⅲ的产量最低限再多规定一件，总的利润将减少0.083元。（4）目的函数系数范围表白新产品Ⅰ的利润在0.4元/件以上，新产品Ⅱ的利润在0.1到0.25之间，新产品Ⅲ的利润在0.333以下，上述的最佳方案不变。（5）常数项范围表白铣床的可用条件在460到692工时之间、车铣床的可用条件在206工时以上、磨铣床的可用条件在18到165工时之间、新产品Ⅲ产量限制在30件以内。各自每增长一个工时对总利润的奉献0.05元，0元，0.033元，-.083元不变。5.2某铜厂轧制的薄铜板每卷宽度为100cm，现在要在宽度上进行切割以完毕以下订货任务：32cm的75卷，28cm的50卷，22cm的110卷，其长度都是同样的。问应如何切割可使所用的原铜板为最少？解：本问题是一个套材下料问题，用穷举法找到所有也许切割的方式并建立数学模型：minf=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10S.T.3x1+2x2+2x3+x4+x5+x6≥75x2+2x4+x6+3x7+2x8+x9≥50x3+3x5+x6+2x8+3x9+4x10≥110xi≥0（i=1，2…..10）用Excel线性规划求解模型板求解：最优解：（18.33,0,0,0,20,0,0.25,0,0,0），最优值：63.3333由于铜板切割时必须整卷切割所以需要做整数近似。即其结果为：即最优解：（19,0,0,0,20,0,0.25,0,0,0），最优值：64灵敏度分析报告：目的函数最优值为:63.333变量最优解相差值x118.3330x20.056x30.111x40.111x5200x60.167x70.167x8250x90.056x100.111约束松弛/剩余变量对偶价格10-.33320-.27830-.222目的函数系数范围:变量下限当前值上限x1.7511.071x2.9441无上限x3.8891无上限x4.8891无上限x5.83311.083x6.8331无上限x7.8331无上限x8.44411.111x9.9441无上限x10.8891无上限常数项数范围:约束下限当前值上限12075无上限2050110350110275这是一个记录型的线性规划问题，所以分析价值系数的取值范围和相差都没故意义。松弛/剩余变量都为0，表达最优方案已达成三种规格薄铜板数量的最低限。三个约束条件的对偶价格-.333、-.278、-.222分别表达三种规格薄铜板数量的最低限再增长一个，将增长原铜板.333cm、.278cm、.222cm常数项数范围表达三种规格薄铜板数量的最低限在这些范围内，每增一个限额所原原铜板.333cm、.278cm、.222cm不变。这里需要特别指出的是，第一种规格的5.3某医院对医生工作的安排为4小时一个工作班次，每人要连续工作二个班次。各班次需要医生人数如下表：班次时间人数10:00-4:00424:00-8:00738:00-12:009412:00-16:0012516:00-20:008620:00-24:006其中，第6班报到的医生要连续上班到第二天的第1班。问在各班开始时应当分别有几位医生报到。若参与1、2、6班的医生需要支付夜班津贴，为了使支付总的夜班津贴为最少，应如何安排各班开始时医生的报到人数。解：第一步：不考虑夜班津贴。线性规划数学模型为：minf=x1+x2+x3+x4+x5+x6S.T.x6+x1≥4x1+x2≥7x2+x3≥9x3+x4≥12x4+x5≥8x5+x6≥6xi≥0（i=1，2，3，4，5，6）用Excel线性规划求解模板求解得：第一班安排7人，第三班安排10人，第四班安排2人，第五班安排6人，第二、第六班不安排人。总人数为25人。灵敏度分析报告：目的函数最优值为:25变量最优解相差值x170x200x3100x420x560x600约束松弛/剩余变量对偶价格13.020-131.040--150.060--1目的函数系数范围:变量下限当前值上限x10.11x211无上限.x30.11x41.12x5011x611无上限常数项数范围:约束下限当前值上限1无下限47247无上限3无下限91041112无上限56896568这是一记录型线性规划规划问题，所以相差值的价值系数的变化范围没有必要分析。班次时间所需人数本段安排人数上段安排人数本段实际人数多余人数10:00-4:004707324:00-8:007077038:00-12:009100101412:00-16:0012210120516:00-20:0086280620:00-24:0060660合计4625504松弛/剩余变量一栏就是上表的“多余人数”一列是各时间段安排所剩余的人数。“对偶价格”一栏。第一个常数项由4增长到5，由于还剩下2人，所以不会改变最优值；第二个常数项由7增长到8，由于再没有剩余的人，所以本班必须再多安排一个人最优值解也必须增长1，由于是求最小化问题，所以对偶价格为－1；第三个常数项由9增长到10，刚好将本来剩余的人用上，所以不会改变最优值；第四个、第六个常数项与第二个常数项同样；第五个常数项由2增长到3，由于再没有剩余的人，所以本班必须再多安排一个人，但下个班就可以再少安排一个人，所以不会改变最优值；本题的这种情况是每一个变量都会影响到两个时段的结果，所以在进行灵敏度分析时也必然要考虑这个因素，这里第一个时段是特殊情况（有资源剩余），其余的时段分析时相邻两个是互相影响的。因此，第2时段为-1，第3时段为0，后面的依次相反。若第2时段为0，则第3时段就为-1。第二步：考虑夜班津贴。线性规划数学模型为：minf=x1+x2+x3+x5+x6S.T.x6+x1≥4x1+x2≥7x2+x3≥9x3+x4≥12x4+x5≥8x5+x6≥6xi≥0（i=1，2，3，4，5，6）用Excel线性规划求解模板求解得：即：总人数还是25人，但每班安排人数有所调整：第一班不安排人，第二班安排7人，第三班安排2人，第四班安排10人，第五班安排0人，第六班安排6人。灵敏度分析报告：目的函数最优值为:15变量最优解相差值x101x270x320x4100x500x660约束松弛/剩余变量对偶价格12020030-140052060-1目的函数系数范围:变量下限当前值上限x101无上限x2112x3011x4001x511无上限x6011常数项数范围:约束下限当前值上限1无下限4625793791141012无上限5无下限810646无上限这是一记录型线性规划规划问题，所以相差值的价值系数的变化范围没有必要分析。班次时间所需人数本段安排人数上段安排人数本段实际人数多余人数10:00-4:004066224:00-8:007707038:00-12:0092790412:00-16:0012102120516:00-20:008010102620:00-24:0066060合计4625504“对偶价格”一栏。第一个常数项由4增长到5，由于还剩下2人，所以不会改变最优值；第二个常数项由7增长到8，由于上段时间已增一个人，这个人本班还上班，所以本也不需要增长人。第三个常数项由9增长到10，前面安排的人都已下班，本班刚好只朋9人，若需求再增长一人，就需要新安排一人所以对偶价格-1；第四个、第五个、第六个常数项与前三个常数项同样；5.4某塑料厂要用四种化学配料生产一种塑料产品，这四种配料分别由A、B、C三种化学原料配制，三种化学原料的配方及原料价格如下表：配料1234价格（元/公斤）含原料A（%）3040201511含原料B（%）2030604013含原料C（%）4025153012要配制的塑料产品中，规定具有20%的原料A，不少于30%的材料B和不少于20%的原料C。由于技术因素，配料1的用量不能超过30%，配料2的用量不能少于40%。第一次配制的塑料产品不能少于5公斤。请设计一套配料方案，使总的成本为最低。解：线性规划数学模型：minf=10.7x1+11.3x2+11.8x3+9.45x4S.T.0.1x1+0.2x2-0.05x4=0-0.1x1+0.3x3+0.1x4≥00.2x1+0.05x2-0.05x3+0.1x4≥00.7x1-0.3x2-0.3x3-0.3x4≥0-0.4x1+0.6x2-0.4x3-0.4x4≤0x1+x2+x3+x4≥5xi≥0（i=1，2，3，4，）将模型代入到线性规划求解模板，得结果：用配料1，1.5公斤；用配料2，0.1公斤；用配料3，0公斤；用配料4，3.4公斤；花费总的最低成本灵敏度分析报告：目的函数最优值为:49.31变量最优解相差值x11.50x2.10x301.98x43.40约束松弛/剩余变量对偶价格10-7.42.1903.645040-.1451.9060-9.862目的函数系数范围:变量下限当前值上限x110.5610.7无上限x2-481.811.311.533x39.8211.8无上限x4-5.0539.459.8常数项数范围:约束下限当前值上限1-.0250.4752无下限0.193无下限0.6454-1.50.1675-1.90无上限605无上限本问题的相差值栏，x3的相差值为1.98，表达目前配料3的成本11.8太高，无法选用，若该配料的成本再减少1.98元就可以选取用。松弛/剩余变量栏：前五个给条件都表达的是配料或原料的配比关系。松弛/剩余变量为0关系表达已完全按规定配比，不为0的表达没有达成配比规定。第五个约束是总产品的产量最低限，松弛/剩余变量为0表达已达成产量规定。关五个约束的对偶价格表达配料或者说原料不匹配时，对总费用的影响。不为0的对偶价格表达配比每差一个单位都会使总费用的增长量。第五个对偶价格是每增长一公斤的产品，需要增长的费用值。在学数项取值范围栏：前五个约束在常数项在这个范围内，保持上述的对偶价格，而此时的上限都不高，说明这个最优方案中的匹配关系失衡并不严重，若比例失衡将会导致费用的增长比例更大。对五个对偶价格事实上说明了该产品的绝对成本，在这个方案下，生产多少的产品都是这个成本构成。5.5某工厂生产Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四种产品，产品Ⅰ需通过A、B两种机器加工，产品Ⅱ需通过A、C两种机器加工，产品Ⅲ需通过B、C两种机器加工，产品Ⅳ需通过A、B两种机器加工。有关数据见下表所示：产品机器生产率（件/小时）原料成本（元/件）产品价格（元/件）ABCⅠ10201665Ⅱ20102580Ⅲ10151250Ⅳ20101870机器成本（元/小时）200150225每周可用机时数15012070请为该厂制定一个最优生产计划。解：线性规划数学模型：maxZ=21.5x1+22.5x2+8x3+27x4S.T.2x1+x2+x4≤3000x1+2x3+2x4≤24003x2+4x3≤4200xi≥0（i=1，2,......4）用Excel线性规划求解模板求解得：最优生产方案：产品Ⅰ生产267件；产品Ⅱ生产1400件；产品Ⅲ不安排生产；产品Ⅳ生产1067件。可获得的最高利润：66033.3元。灵敏度分析报告：即：目的函数最优值为:66033.3495变量最优解相差值-----------------------x1266.6670x214000x3030.8333x41066.6670约束松弛/剩余变量对偶价格----------------------------105.3332010.833305.722目的函数系数范围:变量下限当前值上限-------------------------------x113.521.545x25.33322.5无上限x3无下限838.333x410.752743常数项数范围:约束下限当前值上限-------------------------------12600300062002800240032003042005400此模型的最优解中，四个变量有三个变量不为0，即需要安排生产，另一个为0的变量表达产品Ⅲ由于成本高或价格低，使所获的利润太低，不值得生产。从相差值栏可见，该产品的单位利润需要再增长30.8333元才值得生产。松弛/剩余变量栏中三个数据都为0，表达该决策中所提供三种设备的机时都已所有运用，没有剩余；从对偶价格栏还可以看到三种设备的机时虽然都已用尽，但此时对三种设备增长机时，则设备B所带来的总利润为最多。因此设备B是瓶径。从约束条件的取值范围也可以看到这一点，由于设备B的机时取值范围最小，因此该设备是关键。5.6某公司生产Ⅰ、Ⅱ两种产品，市场两种产品的需求量为：产品Ⅰ在1-4月份每月需1万件，5-9月份每月需3万件，10-12月份每月需10万件；产品Ⅱ在3-9月份每月需1.5万件，其他月份每月需5万件。该公司生产这两种产品的成本为：产品Ⅰ在1-5月份生产时每件5元，6-12月份生产时每件4.5元；产品Ⅱ在1-5月份生产时每件8元，6-12月份生产时每件7元；该公司每月生产两种产品的能力总和不超过12万件。产品Ⅰ容积为每件0.2立方米，产品Ⅱ容积为每件0.4立方米。该公司仓库容积为1.5万立方米。规定：1、问该公司应如何安排生产，使总的生产加工储存费用为最少，建立线性规划数学模型并求解，若无解请说明因素。2、若该公司的仓库容积局限性时，可从外厂租借。若占用本公司的仓库每月每立方米需1万元的储存费，而租用外厂仓库时其储存费用为每月每立方米1.5万元，试问在满足市场需求情况下，该公司又应如何安排生产，使总的生产加储存费用为最少。解：1、这是一个72个变量、60个约束条件的线性规划问题，若不考虑外厂租借仓库，则无法求解（无解），只有考虑外厂租借仓库才干解决本问题。分析及解决过程和结果可见下表：月份123456789101112仓容外存产品Ⅰ销售量（千件）10101010303030303010010010015000（m3）1元/m3容量不限1.5元/m3成本（元、件）555554.54.54.54.54.54.54.5产量（件）x1=10x2=10x3=10x4=10x5=30x6=30x7=30x8=45x9=105x10=70x11=70x12=70总容积（千m3）0.2x10.2x20.2x30.2x40.2x50.2x60.2x70.2x80.2x90.2x100.2x110.2x12库存数x25=0x26=0x27=0x28=0x29=0x30=0x31=0x32=15x33=90x34=60x35=30x36=0产品Ⅱ销售量（千件）505015151515151515505050成本（元、件）888887777777产量（件）x13=50x14=50x15=15x16=15x17=15x18=15x19=15x20=15x21=15x22=50x23=50x24=50总容积（千m3）0.4x130.4x140.4x150.4x160.4x170.4x180.4x190.4x200.4x210.4x220.4x230.4x24库存数x37=0x38=0x39=0x40=0x41=0x42=0x43=0x44=0x45=0x46=0x47=0x48=0仓容本厂（千m3）x49=0x50=0x51=0x52=0x53=0x54=0x55=0x56=3x57=15x58=12x59=6x60=0外借（千m3）x61=0x62=0x63=0x64=0x65=0x66=0x67=0x68=0x69=3x70=0x71=0x72=0产品总和（千件）120120120120120120120120120120120120总的生产加储存最少费用为4910500元外借的库房，在9月份用了3千平方米的容量。本问题灵敏度具体分析太麻烦，从略。5.7某快餐店坐落在一个远离市区的旅游点中，平时游客不多，而在除冬季外每个双休日游客都比较多。该快餐店有两名正式职工，正式职工天天工作8小时，且每个时间段都至少要有一个正式职工在上班，其余工作由临时工来承担，临时工每班工作4小时。在双休日天天上午10时开始营业到下午10时关门。根据游客就餐情况，在双休日每个营业时间段所需职工数（涉及正式工和临时工）如下表：时间段所需职工数10:00-11:00911:00-12:001012:00-13:001013:00-14:00914:00-15:00315:00-16:00316:00-17:00317:00-18:00618:00-19:001219:00-20:001220:00-21:00721:00-22:007已知一名正式职工10点开始上班，工作4小时后休息1小时，而后再工作4小时；另一名正式职工13点开始上班，工作4小时后休息1小时，而后再工作4小时。临时工每小时的工资为4元。1、在满足对职工需求的条件下，如何安排临时工的班次，使得使用临时工的成本为最小？2、这时付给临时工的工资总额为多少？一共需要安排多少个班次的临时工？请用剩余量来说明假如安排一些每班工作3小时的临时工班次，可使得总成本更小。3、假如临时工每班工作时间可以是3小时，也可以是4小时，那么应如何安排临时工的班次，使得使用临时工的总成本为最小？这样比第1问的结果能节省多少费用？这时要安排多少临时工的班次？解：1、线性规划数学模型：minf＝16x1+16x2+16x3+16x4+16x5+16x6+16x7+16x8+16x9+12x10+8x11+4x12s．t．x1≥8x1＋x2≥9x1＋x2＋x3≥9x1＋x2＋x3＋x4≥7x2＋x3＋x4＋x5≥2x3＋x4＋x5＋x6≥1x4＋x5＋x6＋x7≥1x5＋x6＋x7＋x8≥5x6＋x7＋x8＋x9≥10x7＋x8＋x9＋x10≥11x8＋x9＋x10＋x11≥6x9＋x10＋x11＋x12≥6x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，x9，x10，x11，x12≥0将该模型代入到线性规划求解模板得结果：其解为：x1＝8，x2＝1，x3＝1，x4＝0，x5＝0，x6＝0，x7＝1，x8＝4，x9＝5，x10＝1，x11＝0，x12＝0最优值为332。在满足对职工需求的条件下，在10时新安排临时工8个；11时新安排临时工1个；12时新安排临时工1个；16时新安排临时工1个；17时新安排临时工4个；18时新安排临时工5个；19时新安排临时工1个。全天共安排21个临时工，其中18时以前安排的20人是连续上四小时班，19时安排的一人上3小时班。可使临时工的总成本最小为332元。如下表所示：时间段所需临时工安排上班人数事实上班人数剩余人数10:00-11:008888-8=011:00-12:009199-9=012:00-13:00911010-9=113:00-14:00701010-7=314:00-15:002022-2=015:00-16:001011-1=016:00-17:001111-1=017:00-18:005455-5=018:00-19:001051010-10=019:00-20:001111111-11=020:00-21:00601010-6=421:00-22:006066-6=0合计7521838灵敏度分析报告：2、这时付给临时工的工资总额为332元，一共需要安排83个临时工的班次。根据剩余变量的数字分析可知，可以让10时安排的8个人中留3人工作3小时，就可以将13-14时多余的3个工时省下来；同时17时安排的4个人工作3小时，也可将20时的4个工时省下来使得总成本更小。这时只有12-13时间段剩余1人，其它时间段都没有剩余的人员，所以总的班次只用76个，总费用将是76×4=304元。3、设在10：00-11：00这段时间内有x1个班是3小时，x2个班是4小时；设在11：00-12：00这段时间内有x3个班是3小时，x4个班是4小时；其他时段也类似。得线性规划数学模型：minz=12x1+12x3+12x5+12x7+12x9+12x11+12x13+12x15+12x17+12x19+8x21+4x23+16x2+16x4+16x6+16x8+16x10+16x12+16x14+16x16+16x18+12x20+8x22+4x24S．Tx1＋x2≥8x1＋x2＋x3＋x4≥9x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6≥9x2＋x3＋x4＋x5＋x6＋x7＋x8≥7x4＋x5＋x6＋x7＋x8＋x9＋x10≥2x6＋x7＋x8＋x9＋x10＋x11＋x12≥1x8＋x9＋x10＋x11＋x12＋x13＋x14≥1x10＋x11＋x12＋x13＋x14＋x15＋x16≥5x12＋x13＋x14＋x15＋x16＋x17＋x18≥10x14＋x15＋x16＋x17＋x18＋x19＋x20≥11x16＋x17＋x18＋x19＋x20＋x21＋x22≥6x18＋x19＋x20＋x21＋x22＋x23＋x24≥6xi≥0i=1,2,…,24将该模型代入到线性规划求解模板得结果：其解为：在满足对职工需求的条件下，10时安排8个临时工，其中3个3小时的，5个4小时的；11时新安排1个4小时的临时工；13时新安排1个3小时的临时工；16时新安排1个4小时的临时工；17时新安排4个3小时的临时工；18时新安排5个4小时的临时工；19时新安排1个3小时临时工。全天共安排21个临时工，可使临时工的总成本最小为300元。如下表所示：时间段所需临时工4小时班人数3小时班人数事实上班人数剩余人数10:00-11:008538011:00-12:009109012:00-13:009009013:00-14:007017014:00-15:002002015:00-16:001001016:00-17:001101017:00-18:005045018:00-19:00105010019:00-20:00110111020:00-21:006006021:00-22:0060060合计75129750这样能比第一种方案节省：332-300=32元。灵敏度分析报告：5.8某征询公司受厂商的委托对新上市的产品进行消费反映调查。被调核对象分为上班族和休闲族，而调查时间在周一至周五与双休日得到的结果大不相同。委托厂商与该公司签订的业务协议规定：（1）必须调查3000个消费对象；（2）周一至周五与双休日被调查的总人数相等；（3）至少要调查1200个上班族对象；（4）至少要调查800个休闲族对象。调查每个对象所需费用如下表：调核对象周一至周五调查双休日调查上班族3540休闲族25281、请建立该问题的线性规划数学模型，以拟定在不同时间调查各种对象的人数，使得总的调查费用为最少。2、求解该模型，并对结果进行灵敏度分析。解：1、线性规划数学模型：min35x1+40x2+25x3+28x4S.T.x1+x2+x3+x4≥3000x1-x2+x3-x4=0x1+x2≥1200x3+x4≥800x1，x2，x3，x4≥0代入线性规划求解模板得结果：其调查方案如下表：调核对象周一至周五调查双休日调查上班族12000休闲族3001500按此方案的调查费用为最少：91500元。2、灵敏度分析报告：即：目的函数最优值为:91500变量最优解相差值x112000x202x33000x415000约束松弛/剩余变量对偶价格10-26.5201.530-10410000目的函数系数范围:变量下限当前值上限x1253537x23840无上限x3232535x4-252830常数项数范围:约束下限当前值上限124003000无上限2-6000300030120015004无下限80018005.9西兰物业公司承担了正大食品在全市92个零售点的肉类、蛋品和蔬菜的运送业务。运送业务规定天天4点钟开始从总部发货，送完货时间必须在7：30前结束（不考虑空车返回时间）。这92个零售点天天需要运送货品0.5吨，其分布情况为：5公里以内为A区，有36个点，从总部到该区的时间为20分钟；10公里以内5公里以上的为B区，有26个点，从总部到该区的时间为40分钟；10公里以上的为C区，有30个点，从总部到该区的时间为60分钟；A区各点间运送时间5分钟；B区各点间运送时间10分钟；C区各点间运送时间20分钟；各区之间运送时间20分钟。每点卸货、验收时间为30分钟。本公司准备购买规格为2吨的运送车辆，每车购价5万元。请用线性规划方法拟定天天的运送方案，使投入的购买车辆总费用为最少。解：本问题的目的是使投入的购买车辆总费用为最少，而事实上总的运送时间为最少时，也就拟定了最少的车辆数量，本问题最少的运送时间为目的的得线性规划数学模型：minz=155x1+170x2+170x3+175x4+185x5+185x6+190x7+200x8+180x9+190x10+200x11+210x12S.T.4x1+3x2+3x3+2x4+2x5+2x6+x7+x8+x9+0x10+0x11+0x12≥360x1+1x2+0x3+2x4+1x5+0x6+2x7+1x8+3x9+4x10+3x11+2x12≥260x1+0x2+1x3+0x4+1x5+2x6+x7+2x8+0x9+0x10+x11+2x12≥30代入线性规划求解模板得结果：即整理如下表：路线123456789101112结果0000015006200A433222111000B010210213432C001012120012运送时间155170170175185185190200180190200210最少的运送时间4235小时。需要车辆23台，最小的购车费用23*5=115万元。灵敏度分析报告：目的函数最优值为:4235变量最优解相差值x105x2010x302.5x405x507.5x6150x702.5x805x960x1020x1102.5x1205约束松弛/剩余变量对偶价格10-37.520-47.530-55目的函数系数范围:变量下限当前值上限x1150155无上限x2160170无上限x3167.5170无上限x4170175无上限x5177.5185无上限x675185190x7187.5190无上限x8195200无上限x9177.5180181.25x10188.333190191.667x11197.5200无上限x12205210无上限常数项数范围:约束下限当前值上限1303638.66721826无上限327.3333036这里从对偶价格可见，A区每增长一个点，需要增长投入37.5分钟；B区每增长一个点，需要增长投入47.5分钟；C区每增长一个点，需要增长投入55分钟。这完全符合实际。若直接用购车数量最少做为目的可将线性规划数学模型改为：minz=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10+x11+x12S.T.4x1+3x2+3x3+2x4+2x5+2x6+x7+x8+x9+0x10+0x11+0x12≥360x1+1x2+0x3+2x4+1x5+0x6+2x7+1x8+3x9+4x10+3x11+2x12≥260x1+0x2+1x3+0x4+1x5+2x6+x7+2x8+0x9+0x10+x11+2x12≥30代入线性规划求解模板得结果：路线123456789101112结果1.5000015006.5000A433222111000B0102102