数学（选修22）练习阶段质量评估4

阶段质量评估(四)导数及其应用(时间：120分钟满分：150分)第Ⅰ卷(选择题)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数f(x)＝2x2－lnx的递增区间是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))解析：f(x)＝2x2－lnx的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝4x－eq\f(1,x).令eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＞0，,f′x＞0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＞0，,4x－\f(1,x)＞0.))∴x＞eq\f(1,2).∴f(x)递增区间为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)).答案：C2．若对任意x，有f′(x)＝4x3，f(1)＝3，则此函数的解析式为()A．f(x)＝x4－1 B．f(x)＝x4－2C．f(x)＝x4＋1 D．f(x)＝x4＋2解析：∵f′(x)＝4x3，∴f(x)＝x4＋k.又f(1)＝3，∴k＝2.∴f(x)＝x4＋2.答案：D3．f(x)＝3－x，则f′(0)＝()A．1 B．log3eC．ln3 D．－ln3解析：∵f′(x)＝(3－x)′＝3－xln3·(－x)′＝－3－xln3，∴f′(0)＝－30ln3＝－ln3.答案：D4．函数f(x)＝excosx的图象在点(0，f(0))处的切线的倾斜角为()A．0 B．eq\f(π,4)C．1 D．eq\f(π,2)解析：∵f′(x)＝(excosx)′＝(ex)′cosx＋ex(cosx)′＝excosx－exsinx，∴k＝f′(0)＝e0cos0－e0sin0＝1.∴倾斜角为eq\f(π,4).答案：B5．下列说法正确的是()A．函数在闭区间上的极大值一定比极小值大B．函数在闭区间上的最大值一定是极大值C．对于函数f(x)＝x3＋px2＋2x＋1，若|p|<eq\r(6)，则f(x)无极值D．函数f(x)在区间(a，b)上一定存在最值解析：极值是在局部范围内的问题．在整个函数定义域内极大值不一定比极小值大，故选项A错误．函数y＝x3在[－1,1]上有最大值，但没有极值，故选项B错误．函数y＝tanx在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上没有最值，故选项D错误．答案：C6．已知f′(x)是f(x)的导函数，在区间[0，＋∞)上f′(x)>0，且偶函数f(x)满足f(2x－1)<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))，则x的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(2,3))) B．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(2,3)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(2,3))) D．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(2,3)))解析：由题意f(x)在[0，＋∞)上单调递增．又∵f(x)是偶函数，∴f(2x－1)<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3))).∴f(|2x－1|)<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3))).∴|2x－1|<eq\f(1,3).∴－eq\f(1,3)<2x－1<eq\f(1,3).∴eq\f(1,3)<x<eq\f(2,3).答案：A7．若函数f(x)＝x2＋bx＋c的图象的顶点在第四象限，则函数f′(x)的图象是()ABCD解析：由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2)>0.,c－\f(b2,4)<0.))∴b<0.由f′(x)＝2x＋b，只有A项适合．答案：A8．方程x3＋x2＋x＋a＝0(a∈R)的实数根的个数为()A．0 B．1C．2 D．3解析：f(x)＝x3＋x2＋x＋a，f′(x)＝3x2＋2x＋1，∵Δ＝－8<0，∴f′(x)>0.∴f(x)在R上单调递增．∴f(x)与x轴有一个交点，即f(x)＝0只有一根．答案：B9．下列等式成立的是()A.eq\i\in(a,b,)0dx＝b－aB.eq\i\in(a,b,)xdx＝eq\f(1,2)C.eq\i\in(－1,1,)|x|dx＝2eq\i\in(0,1,)|x|dxD.eq\i\in(a,b,)(x＋1)dx＝eq\i\in(a,b,)xdx解析：eq\i\in(－1,1,)|x|dx＝eq\i\in(－1,0,)|x|dx＋eq\i\in(0,1,)|x|dx＝eq\i\in(－1,0,)(－x)dx＋eq\i\in(0,1,)|x|dx＝eq\i\in(0,1,)xdx＋eq\i\in(0,1,)|x|dx＝2eq\i\in(0,1,)xdx＝2eq\i\in(0,1,)|x|dx.答案：C10．定积分eq\i\in(－1,1,)(3x2－sinx)dx的值为()A．2cos1 B．－2C．2 D．2sin1解析：eq\i\in(－1,1,)(3x2－sinx)dx＝13＋cos1－(－1)3－cos(－1)＝2.答案：C11．(2015·福建卷)若定义在R上的函数f(x)满足f(0)＝－1，其导函数f′(x)满足f′(x)>k>1，则下列结论中一定错误的是()A．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,k)))<eq\f(1,k) B．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,k)))>eq\f(1,k－1)C．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,k－1)))<eq\f(1,k－1) D．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,k－1)))>eq\f(k,k－1)解析：构造函数F(x)＝f(x)－kx，则F′(x)＝f′(x)－k>0.∴函数F(x)在R上单调递增．∵eq\f(1,k－1)>0，∴Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,k－1)))>F(0)．∵F(0)＝f(0)＝－1，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,k－1)))－eq\f(k,k－1)>－1，即feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,k－1)))>eq\f(k,k－1)－1＝eq\f(1,k－1).∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,k－1)))>eq\f(1,k－1).故C错误．答案：C12．(2015·全国卷Ⅱ)设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，则使得不等式f(x)>0成立的x的取值范围是()A．(－∞，－1)∪(0,1)B．(－1,0)∪(1，＋∞)C．(－∞，－1)∪(－1,0)D．(0,1)∪(1，＋∞)解析：当x>0时，令F(x)＝eq\f(fx,x)，则F′(x)＝eq\f(xf′x－fx,x2)<0.∴当x>0时，F(x)＝eq\f(fx,x)为减函数．∵f(x)为奇函数，且f(－1)＝0，∴f(1)＝0.故F(1)＝0.在区间(0,1)上，F(x)>0；在(1，＋∞)上，F(x)<0，即当0<x<1时，f(x)>0；当x>1时，f(x)<0.又f(x)为奇函数，∴当x∈(－∞，－1)时，f(x)>0；当x∈(－1,0)时，f(x)<0.综上可知，不等式f(x)>0的解集为(－∞，－1)∪(0,1)．答案：A第Ⅱ卷(非选择题)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．)13．曲线f(x)＝2－eq\f(1,2)x2与g(x)＝eq\f(1,4)x3－2在交点处切线的夹角的正切值为____________.解析：联立方程，得x3＋2x2－16＝0.解得交点坐标为(2,0)．而k1＝f′(2)＝－2，k2＝g′(2)＝3，∴tanθ＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(k1－k2,1＋k1k2)))＝1.答案：114．函数y＝x3＋x2－5x－5的单调递增区间是________________.解析：令y′＝3x2＋2x－5>0，解得x<－eq\f(5,3)或x>1.答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(5,3)))，(1，＋∞)15．若函数f(x)＝mx2＋lnx－2x在定义域内是增函数，则实数m的取值范围是________.解析：由题意可知，f′(x)＝2mx＋eq\f(1,x)－2＝eq\f(2mx2－2x＋1,x)≥0在(0，＋∞)上恒成立，即2mx2－2x＋1≥0在(0，＋∞)上恒成立．当m>0时，有Δ＝4－8m≤0，解得m≥eq\f(1,2).当m≤0时，不成立．综上可知m≥eq\f(1,2).答案：eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))16．已知函数f(x)的导数f′(x)＝a(x＋1)(x－a)，若f(x)在x＝a处取到极大值，则a的取值范围是____________.解析：当a>0时，函数f(x)在(－∞，－1)上是增函数，在(－1，a)上是减函数，在(a，＋∞)上是增函数，故在x＝a处取极小值．当a＝－1时不合题意．当－1<a<0时，函数f(x)在(－∞，－1)上是减函数，在(－1，a)上是增函数，在(a，＋∞)上是减函数，故在x＝a处取极大值．当a<－1时，函数f(x)在(－∞，a)上是减函数，在(a，－1)上是增函数，在(－1，＋∞)上是减函数，故在x＝a处取极小值．综上，a∈(－1,0)．答案：(－1,0)三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，f(x)在x＝0处取得极值，并且在区间[0,2]和[4,5]上具有相反的单调性．(1)求实数b的值．(2)求实数a的取值范围．解：(1)f′(x)＝3x2＋2ax＋b，∵f(x)在x＝0处取得极值，∴f′(0)＝0，即b＝0.(2)令f′(x)＝0，即3x2＋2ax＝0，解得x＝0或x＝－eq\f(2,3)a.依题意有－eq\f(2,3)a>0.∵函数在单调区间[0,2]和[4,5]上具有相反的单调性，∴2≤－eq\f(2,3)a≤4.解得－6≤a≤－3.18.(12分)如图，已知矩形ABCD的两个顶点位于x轴上，另两个顶点位于抛物线y＝4－x2在x轴上方的曲线上，求矩形的面积最大时的边长．解：设矩形边长|AD|＝2x，则|AB|＝y＝4－x2.故矩形面积S＝2x(4－x2)(0<x<2)，即S＝8x－2x3,∴S′＝8－6x2.令S′＝0，解得x1＝eq\f(2\r(3),3)，x2＝－eq\f(2\r(3),3)(舍去)．当0<x<eq\f(2\r(3),3)时，S′>0；当eq\f(2\r(3),3)<x<2时，S′<0.∴当x＝eq\f(2\r(3),3)时，S取得最大值，此时S最大＝eq\f(32\r(3),9)，y＝eq\f(8,3).故矩形的边长分别为eq\f(4\r(3),3)，eq\f(8,3)时，矩形的面积最大．19．(12分)设函数f(x)＝alnx＋eq\f(1,2x)＋eq\f(3,2)x＋1，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于y轴．(1)求a的值．(2)求函数f(x)的极值．解：(1)f′(x)＝eq\f(a,x)－eq\f(1,2x2)＋eq\f(3,2)，该切线斜率为0，即f′(1)＝0，从而a－eq\f(1,2)＋eq\f(3,2)＝0，解得a＝－1.(2)由(1)知f(x)＝－lnx＋eq\f(1,2x)＋eq\f(3,2)x＋1(x>0)，f′(x)＝－eq\f(1,x)－eq\f(1,2x2)＋eq\f(3,2)＝eq\f(3x2－2x－1,2x2)＝eq\f(3x＋1x－1,2x2).令f′(x)＝0，解得x1＝1，x2＝－eq\f(1,3)(舍去)．当x∈(0,1)时，f′(x)<0，f(x)在(0,1)上为减函数；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)在(1，＋∞)上为增函数．故f(x)在x＝1处取得极小值f(1)＝3.20．(12分)设函数f(x)＝a(x－5)2＋6lnx，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与y轴相交于点(0,6)．(1)确定a的值．(2)求函数f(x)的单调区间与极值．解：(1)∵f(x)＝a(x－5)2＋6lnx，∴f′(x)＝2a(x－5)＋eq\f(6,x).令x＝1，得f(1)＝16a，f′(1)＝6－8∴曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的方程为y－16a＝(6－8a)(x－1由点(0,6)在切线上，可得6－16a＝8a－6.故a＝eq\f(1,2).(2)由(1)知，f(x)＝eq\f(1,2)(x－5)2＋6lnx(x>0)，f′(x)＝x－5＋eq\f(6,x)＝eq\f(x－2x－3,x).令f′(x)＝0，解得x1＝2，x2＝3.当0<x<2或x>3时，f′(x)>0，故f(x)在(0,2)和(3，＋∞)上为增函数；当2<x<3时，f′(x)<0，故f(x)在(2,3)上为减函数．由此可知，f(x)在x＝2处取得极大值f(2)＝eq\f(9,2)＋6ln2，在x＝3处取得极小值f(3)＝2＋6ln3.21．(12分)已知函数f(x)＝2x3－x2＋ax＋b，(1)若函数f(x)的图象上有与x轴平行的切线，求实数a的取值范围．(2)若函数f(x)在x＝1处取得极值，且x∈[－1,2]时，f(x)<b2＋b恒成立，求实数b的取值范围．解：(1)f′(x)＝6x2－2x＋a，依题意知，方程f′(x)＝6x2－2x＋a＝0有实根．∴Δ＝4－4×6a≥0，即a≤eq\f(1,6).故实数a的取值范围为eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,6))).(2)由函数f(x)在x＝1处取得极值，知x＝1是方程f′(x)＝6x2－2x＋a＝0的一个根，∴a＝－4，方程f′(x)＝6x2－2x－4＝0的另一个根为－eq\f(2,3).∴当x<－eq\f(2,3)或x>1时，f′(0)>0；当－eq\f(2,3)<x<1时，f′(x)<0.∴f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，－\f(2,3)))和[1,2]上为增函数，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，1))上为减函数．∴f(x)有极大值feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))＝eq\f(44,27)＋b，极小值f(1)＝b－3.又f(－1)＝b＋1，f(2)＝b＋4，∴当x∈[－1,2]时，f(x)max＝4＋b.∴只需满足f(x)max<b2＋b，即4＋b<b2＋b.解得b>2或b<－2.∴b的取值范围为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．22．(12分)设函数f(x)＝alnx＋eq\f(x－1,x＋1)，其中a为常数．(1)若a＝0，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程．(2)讨论函数f(x)的单调性．解：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝eq\f(a,x)＋eq\f(x＋1－x－1,x＋12)＝eq\f(a,x)＋eq\f(2,x＋12)，∵a＝0，∴f′(x)＝eq\f(2,x＋12).根据导数