新九年级数学时期讲义第3讲二次函数(一)-基础班(学生版+解析)

第3讲二次函数（一）1二次函数的定义要点一、二次函数的定义一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数.

要点诠释：如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零．a的绝对值越大，抛物线的开口越小.【例题精选】例1(2023秋•鄂城区期末）下列函数属于二次函数的是（）A．y＝﹣3x2+1 B．y＝ C．y＝ D．y＝2x+5例2(2023秋•江津区期末）若y＝（a+2）x|a|+1是以x为自变量的二次函数，则a＝______．【随堂练习】1．(2023秋•莫旗期末）下列函数是二次函数的是（）A．y＝2x﹣3 B．y＝ C．y＝（x﹣1）（x+3） D．2．(2023秋•淮安区期末）下列函数中属于二次函数的是（）A．y＝x B．y＝2x2﹣1 C．y＝ D．y＝x2++13．(2023秋•丽水期末）下列函数是二次函数的是（）A．y＝2x B． C．y＝x+5 D．y＝（x+1）（x﹣3）2二次函数的图象与性质1.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：

①；②；③；④，

其中；⑤.（以上式子a≠0）

几种特殊的二次函数的图象特征如下：函数解析式开口方向对称轴顶点坐标当时

开口向上

当时

开口向下(轴)(0，0)(轴)(0，)(，0)(，)()2.抛物线的三要素：

开口方向、对称轴、顶点.

(1)的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；相等，抛物线的开口大小、形状相同.

(2)平行于轴(或重合)的直线记作.特别地，轴记作直线.【例题精选】例1(2023•武汉模拟）二次函数y＝（x﹣4）2+5的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是（）A．向上，直线x＝4，（4，5） B．向上，直线x＝﹣4，（﹣4，5） C．向上，直线x＝4，（4，﹣5） D．向下，直线x＝﹣4，（﹣4，5）例2(2023秋•澧县期末）已知抛物线y＝﹣x2+4x+3，则该抛物线的顶点坐标为（）A．（﹣2，7） B．（2，7） C．（2，﹣9） D．（﹣2，﹣9）例3(2023•徐州二模）把抛物线y＝x2﹣2x+4向左平移2个单位，再向下平移6个单位，所得抛物线的顶点坐标是（）A．（3，﹣3） B．（3，9） C．（﹣1，﹣3） D．（﹣1，9）【随堂练习】1．(2023•衢州模拟）在同一平面直角坐标系内，将函数y＝x2+1的图象向右平移3个单位，再向下平移1个单位得到图象的顶点坐标是（）A．（﹣3，2） B．（3，2） C．（3，0） D．（﹣3，0）2．(2023•哈尔滨模拟）将抛物线＝（x+1）2向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线解析式为（）A． B．y＝ C．y＝ D．3．(2023秋•薛城区期末）将二次函数y＝x2的图象向右平移一个单位长度，再向下平移3个单位长度所得的图象解析式为（）A．y＝（x﹣1）2+3 B．y＝（x+1）2+3 C．y＝（x﹣1）2﹣3 D．y＝（x+1）2﹣34．(2023•武汉模拟）抛物线y＝2（x+3）2﹣4的对称轴是（）A．直线y＝4 B．直线x＝﹣3 C．直线x＝3 D．直线y＝﹣35．(2023秋•绿园区期末）抛物线y＝2（x﹣3）2+2的顶点坐标是（）A．（﹣3，2） B．（3，2） C．（﹣3，﹣2） D．（3，﹣2）3二次函数的解析式(1)一般式：（a≠0）.已知图象上三点或三对、的值，通常选择一般式.

(2)顶点式：（a≠0）.已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式.

(可以看成的图象平移后所对应的函数.)

(3)“交点式”：已知图象与轴的交点坐标、，通常选用交点式：

（a≠0）.(由此得根与系数的关系：).要点诠释：求抛物线（a≠0）的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．【例题精选】例1(2023秋•大连期中）将二次函数y＝﹣x2+4x﹣5化为y＝a（x﹣h）2+k的形式为（）A．y＝﹣（x+2）2﹣1 B．y＝﹣（x+2）2+1 C．y＝﹣（x﹣2）2+1 D．y＝﹣（x﹣2）2﹣1例2(2023秋•潮阳区期末）已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（1，0），B（﹣1，0），C（0，﹣2）．求此抛物线的函数解析式和顶点坐标．【随堂练习】1．(2023秋•衢州期中）将二次函数y＝x2﹣4x+3化为y＝a（x﹣m）2+k的形式，下列结果正确的是（）A．y＝（x+2）2+1 B．y＝（x﹣2）2+1 C．y＝（x+2）2﹣1 D．y＝（x﹣2）2﹣12．(2023秋•泰兴市期末）将二次函数y＝2x2﹣4x+1化为顶点式，正确的是（）A．y＝2（x﹣1）2+1 B．y＝2（x+1）2﹣1 C．y＝2（x﹣1）2﹣1 D．y＝2（x+1）2+13．(2023秋•乐亭县期末）抛物线的顶点为（1，﹣4），与y轴交于点（0，﹣3），则该抛物线的解析式为（）A．y＝x2﹣2x﹣3 B．y＝x2+2x﹣3 C．y＝x2﹣2x+3 D．y＝2x2﹣3x﹣34．(2023•安徽模拟）已知二次函数y＝ax2﹣1的图象经过点（1，﹣2），那么a的值为（）A．a＝﹣2 B．a＝2 C．a＝1 D．a＝﹣15．(2023秋•颍州区期末）与y＝2（x﹣1）2+3形状相同的抛物线解析式为（）A．y＝1+x2 B．y＝（2x+1）2 C．y＝（x﹣1）2 D．y＝2x2综合练习一．填空题（共5小题）1．把抛物线y＝x2先向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到新的抛物线解析式为．2．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①abc＜0；②b2﹣4ac＜0；③3a+c＜0；④m为任意实数，则m（am﹣b）+b≤a；⑤若ax12+bx1＝ax22+bx2，且x1≠x2，则x1+x2＝﹣2，其中正确的有（只填序号）．3．已知二次函数y＝x2﹣2mx+1，当x≥2时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是．4．将二次函数y＝x2+2x+1的图象先向右平移2个单位，再向上移3个单位，所得到的新图象对应的解析式是．5．函数y＝（x﹣2）2+1取得最小值时，x＝．二．解答题（共3小题）6．已知抛物线图象过（﹣1，0）、（1，﹣4）、（3，0）三点，求抛物线的解析式．7．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与一条直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点．（1）求抛物线和直线的解析式；（2）若动点P在抛物线上位于直线AC上方运动，求△APC的面积最大值．8．某网店销售甲、乙两种笔记本，已知甲种笔记本每本的售价比乙种笔记本多2元，为了给学习小组颁发奖品，刘老师从该网店购买了20本甲种笔记本和30本乙种笔记本，共花费340元．（1）该网店甲、乙两种笔记本的售价是多少？（2）根据消费者需求，该网店决定用不超过740元购进甲、乙两种笔记本共200本，且甲种笔记本的数量大于乙种笔记本数量的，已知甲种笔记本每本的进价为4元，乙种笔记本每本的进价为3.5元．①若设购进甲种笔记本m本，则该网店有几种进货方案？②若所购进笔记本均可全部售出，请求出网店所获利润W（元）与甲种笔记本进货量m（本）之间的函数关系式，并说明当m为何值时所获利润最大？最大利润是多少？第3讲二次函数（一）1二次函数的定义要点一、二次函数的定义一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数.

要点诠释：如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零．a的绝对值越大，抛物线的开口越小.【例题精选】例1(2023秋•鄂城区期末）下列函数属于二次函数的是（）A．y＝﹣3x2+1 B．y＝ C．y＝ D．y＝2x+5分析：直接利用二次函数以及一次函数、正比例函数、一次函数的定义分别分析得出答案．【解答】解：A、y＝﹣3x2+1，是二次函数，符合题意；B、y＝，是正比例函数，不合题意；C、y＝，是反比例函数，不合题意；D、y＝2x+5，是一次函数，不合题意．故选：A．【点评】此题主要考查了二次函数以及一次函数、正比例函数、一次函数的定义，正确把握相关定义是解题关键．例2(2023秋•江津区期末）若y＝（a+2）x|a|+1是以x为自变量的二次函数，则a＝______．分析：根据二次函数定义可得：|a|＝2，且a+2≠0，再解即可．【解答】解：由题意得：|a|＝2，且a+2≠0，解得：a＝2，故答案为：2．【点评】此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．【随堂练习】1．(2023秋•莫旗期末）下列函数是二次函数的是（）A．y＝2x﹣3 B．y＝ C．y＝（x﹣1）（x+3） D．【解答】解：A、该函数属于一次函数，故本选项错误；B、该函数未知数在分母位置，不符合二次函数的定义，故本选项错误；C、该函数符合二次函数的定义，故本选项正确；D、该函数只有一个变量不符合二次函数的定义，故本选项错误；故选：C．2．(2023秋•淮安区期末）下列函数中属于二次函数的是（）A．y＝x B．y＝2x2﹣1 C．y＝ D．y＝x2++1【解答】解：A、y＝x是正比例函数，故本选项不符合题意；B、y＝2x2﹣1是二次函数，故本选项符合题意；C、y＝不是二次函数，故本选项不符合题意；D、y＝x2++1不是二次函数，故本选项不符合题意．故选：B．3．(2023秋•丽水期末）下列函数是二次函数的是（）A．y＝2x B． C．y＝x+5 D．y＝（x+1）（x﹣3）【解答】解：A、y＝2x，是一次函数，故此选项错误；B、y＝+x，不是整式方程，故此选项错误；C、y＝x+5，是一次函数，故此选项错误；D、y＝（x+1）（x﹣3），是二次函数，故此选项正确．故选：D．2二次函数的图象与性质1.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：

①；②；③；④，

其中；⑤.（以上式子a≠0）

几种特殊的二次函数的图象特征如下：函数解析式开口方向对称轴顶点坐标当时

开口向上

当时

开口向下(轴)(0，0)(轴)(0，)(，0)(，)()2.抛物线的三要素：

开口方向、对称轴、顶点.

(1)的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；相等，抛物线的开口大小、形状相同.

(2)平行于轴(或重合)的直线记作.特别地，轴记作直线.【例题精选】例1(2023•武汉模拟）二次函数y＝（x﹣4）2+5的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是（）A．向上，直线x＝4，（4，5） B．向上，直线x＝﹣4，（﹣4，5） C．向上，直线x＝4，（4，﹣5） D．向下，直线x＝﹣4，（﹣4，5）分析：由抛物线的解析式可求得其开口方向、对称轴及顶点坐标，可求得答案．【解答】解：二次函数y＝（x﹣4）2+5的图象的开口向上、对称轴为直线x＝4、顶点坐标为（4，5），故选：A．【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y＝a（x﹣h）2+k中，对称轴为x＝h，顶点坐标为（h，k）．例2(2023秋•澧县期末）已知抛物线y＝﹣x2+4x+3，则该抛物线的顶点坐标为（）A．（﹣2，7） B．（2，7） C．（2，﹣9） D．（﹣2，﹣9）分析：将题目中的函数解析式化为顶点式，即可写出该抛物线的顶点坐标，本题得以解决．【解答】解：∵抛物线y＝﹣x2+4x+3＝﹣（x﹣2）2+7，∴该抛物线的顶点坐标是（2，7），故选：B．【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．例3(2023•徐州二模）把抛物线y＝x2﹣2x+4向左平移2个单位，再向下平移6个单位，所得抛物线的顶点坐标是（）A．（3，﹣3） B．（3，9） C．（﹣1，﹣3） D．（﹣1，9）分析：先得到抛物线y＝x2﹣2x+4的顶点坐标为（1，3），则把点（1，3）4向左平移2个单位，再向下平移6个单位后得到（﹣1，﹣3）．【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣2x+4＝（x﹣1）2+3，∴顶点坐标为（1，3），∴把点（1，3）向左平移2个单位，再向下平移6个单位得到（﹣1，﹣3）．故选：C．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：把抛物线y＝a（x﹣k）2+h平移的问题转化为抛物线的顶点（k，h）平移问题进行解决．【随堂练习】1．(2023•衢州模拟）在同一平面直角坐标系内，将函数y＝x2+1的图象向右平移3个单位，再向下平移1个单位得到图象的顶点坐标是（）A．（﹣3，2） B．（3，2） C．（3，0） D．（﹣3，0）【解答】解：将函y＝x2+1的图象向右平移3个单位，再向下平移1个得到新函数解析式为y＝（x﹣3）2+1﹣1，即y＝（x﹣3）2，其顶点坐标为（3，0），故选：C．2．(2023•哈尔滨模拟）将抛物线＝（x+1）2向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线解析式为（）A． B．y＝ C．y＝ D．【解答】解：∵抛物线y＝（x+1）2的顶点坐标为（﹣1，0），∴向右平移3个单位，再向下平移2个单位后的顶点坐标是（2，﹣2）∴所得抛物线解析式是y＝（x﹣2）2﹣2．故选：C．3．(2023秋•薛城区期末）将二次函数y＝x2的图象向右平移一个单位长度，再向下平移3个单位长度所得的图象解析式为（）A．y＝（x﹣1）2+3 B．y＝（x+1）2+3 C．y＝（x﹣1）2﹣3 D．y＝（x+1）2﹣3【解答】解：将二次函数y＝x2的图象向右平移一个单位长度，再向下平移3个单位长度所得的图象解析式为：y＝（x﹣1）2﹣3．故选：C．4．(2023•武汉模拟）抛物线y＝2（x+3）2﹣4的对称轴是（）A．直线y＝4 B．直线x＝﹣3 C．直线x＝3 D．直线y＝﹣3【解答】解：y＝2（x+3）2﹣4是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（﹣3，﹣4），对称轴是x＝﹣3．故选：B．5．(2023秋•绿园区期末）抛物线y＝2（x﹣3）2+2的顶点坐标是（）A．（﹣3，2） B．（3，2） C．（﹣3，﹣2） D．（3，﹣2）【解答】解：抛物线y＝2（x﹣3）2+2的顶点坐标是（3，2），故选：B．3二次函数的解析式(1)一般式：（a≠0）.已知图象上三点或三对、的值，通常选择一般式.

(2)顶点式：（a≠0）.已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式.

(可以看成的图象平移后所对应的函数.)

(3)“交点式”：已知图象与轴的交点坐标、，通常选用交点式：

（a≠0）.(由此得根与系数的关系：).要点诠释：求抛物线（a≠0）的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．【例题精选】例1(2023秋•大连期中）将二次函数y＝﹣x2+4x﹣5化为y＝a（x﹣h）2+k的形式为（）A．y＝﹣（x+2）2﹣1 B．y＝﹣（x+2）2+1 C．y＝﹣（x﹣2）2+1 D．y＝﹣（x﹣2）2﹣1分析：利用配方法把二次函数的一般形式配成二次函数的顶点式．【解答】解：y＝﹣x2+4x﹣5，＝﹣（x2﹣4x+4）﹣1，＝﹣（x﹣2）2﹣1．故选：D．【点评】本题考查的是二次函数的三种形式，题目中给出的是一般形式，利用配方法可以化成顶点式．例2(2023秋•潮阳区期末）已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（1，0），B（﹣1，0），C（0，﹣2）．求此抛物线的函数解析式和顶点坐标．分析：将各点代入抛物线解析式，利用待定系数法求出a，b，c的值即可．把函数的解析式化成顶点式即可求得．【解答】解：把点A（1，0）、B（﹣1，0）、C（0，﹣2）的坐标分别代入y＝ax2+bx+c得：解得：∴二次函数的解析式为y＝2x2﹣2∴抛物线y＝2x2﹣2顶点坐标为（0，﹣2）【点评】此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，正确解方程组得出是解题关键．【随堂练习】1．(2023秋•衢州期中）将二次函数y＝x2﹣4x+3化为y＝a（x﹣m）2+k的形式，下列结果正确的是（）A．y＝（x+2）2+1 B．y＝（x﹣2）2+1 C．y＝（x+2）2﹣1 D．y＝（x﹣2）2﹣1【解答】解：y＝x2﹣4x+3＝（x2﹣4x+4）+3﹣4，＝（x﹣2）2﹣1，即y＝（x﹣2）2﹣1．故选：D．2．(2023秋•泰兴市期末）将二次函数y＝2x2﹣4x+1化为顶点式，正确的是（）A．y＝2（x﹣1）2+1 B．y＝2（x+1）2﹣1 C．y＝2（x﹣1）2﹣1 D．y＝2（x+1）2+1【解答】解：y＝2x2﹣4x+1＝2（x2﹣2x）+1＝2（x2﹣2x+1﹣1）+1＝2（x﹣1）2﹣2+1＝2（x﹣1）2﹣1，故选：C．3．(2023秋•乐亭县期末）抛物线的顶点为（1，﹣4），与y轴交于点（0，﹣3），则该抛物线的解析式为（）A．y＝x2﹣2x﹣3 B．y＝x2+2x﹣3 C．y＝x2﹣2x+3 D．y＝2x2﹣3x﹣3【解答】解：设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣4，将（0，﹣3）代入y＝a（x﹣1）2﹣4，得：﹣3＝a（0﹣1）2﹣4，解得：a＝1，∴抛物线的解析式为y＝（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3．故选：A．4．(2023•安徽模拟）已知二次函数y＝ax2﹣1的图象经过点（1，﹣2），那么a的值为（）A．a＝﹣2 B．a＝2 C．a＝1 D．a＝﹣1【解答】解：把（1，﹣2）代入y＝ax2﹣1得a﹣1＝﹣2，解得a＝﹣1．故选：D．5．(2023秋•颍州区期末）与y＝2（x﹣1）2+3形状相同的抛物线解析式为（）A．y＝1+x2 B．y＝（2x+1）2 C．y＝（x﹣1）2 D．y＝2x2【解答】解：y＝2（x﹣1）2+3中，a＝2．故选：D．综合练习一．填空题（共5小题）1．把抛物线y＝x2先向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到新的抛物线解析式为y＝（x+2）2﹣3．【解答】解：∵抛物线y＝x2先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，∴新抛物线顶点坐标为（﹣2，﹣3），∴所得到的新的抛物线的解析式为y＝（x+2）2﹣3．故答案是：y＝（x+2）2﹣3．2．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①abc＜0；②b2﹣4ac＜0；③3a+c＜0；④m为任意实数，则m（am﹣b）+b≤a；⑤若ax12+bx1＝ax22+bx2，且x1≠x2，则x1+x2＝﹣2，其中正确的有③④⑤（只填序号）．【解答】解：①∵抛物线的对称轴在y轴的左侧，∴ab＞0，由图象可知：c＞0，∴abc＞0，故①错误；②∵抛物线与x轴的交点有两个，∴b2﹣4ac＞0，②错误；③∵，∴b＝2a，由图象可知：9a﹣3b+c＜0，∴9a﹣6a+c＜0，即3a+c＜0，故③正确；④∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，∴当x＝﹣1时，y有最大值，∴am2﹣bm+c≤a﹣b+c（m为任意实数），∴m（am﹣b）≤a﹣b（m为任意实数），∴m为任意实数，则m（am﹣b）+b≤a，所以④正确；⑤∵对称轴x＝﹣1，∴x1≠x2，x1+x2＝﹣2时，有ax12+bx1+c＝ax22+bx2+c，∴ax12+bx1＝ax22+bx2，∴结论⑤正确．综合以上可得：③④⑤．3．已知二次函数y＝x2﹣2mx+1，当x≥2时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是m≤2．【解答】解：抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝m，∵当x≥2时，y的值随x值的增大而增大，∴m≤2．故答案为：m≤2．4．将二次函数y＝x2+2x+1的图象先向右平移2个单位，再向上移3个单位，所得到的新图象对应的解析式是y＝（x﹣1）2+3．【解答】解：y＝x2+2x+1＝（x+1）2，抛物线的顶点坐标为（﹣1，0），把点（﹣1，0）先向右平移2个单位，再向上移3个单位所得对应点的坐标为（1，3），所以新图象对应的解析式为y＝（x﹣1）2+3．故答案为y＝（x﹣1）2+3．5．函数y＝（x﹣2）2+1取得最小值时，x＝2．【解答】解：∵二次函数y＝（x﹣2）2+1，∴当x＝2时，二次函数求得最小值为1．故答案为：2．二．解答题（共3小题）6．已知抛物线图象过（﹣1，0）、（1，﹣4）、（3，0）三点，求抛物线的解析式．【解答】解：∵抛物线图象过点（﹣1，0）、（3，0），设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），把（1，﹣4）代入得，﹣4＝a•2•（﹣2），解得a＝1，∴抛物线解析式为y＝（x+1）（x﹣3）＝x2﹣2x﹣3．7．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与一条直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点．（1）求抛物线和直线的解析式；（2）若动点P在抛物线