《概率统计及其应用》课件第四章 大数定律与中心极限定理_第1页
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第一节大数定律第二节中心极限定理第一节大数定律定义1设X1,X2,…,Xn,…是一个随机变量序列.如果存在一个常数a,使得对任意ε>0总有那么,称随机变量序列X1,X2,…,Xn,…依概率收敛于a,记作依概率收敛性的直观意义是,当n足够大时,随机变量Xn几乎总是取接近于常数a的值.利用对立事件的概率计算公式,依概率收敛也可以等价地表示成有了依概率收敛的定义,我们就可以介绍大数定律.先来看切比雪夫大数定律:定理1(切比雪夫大数定律)设X1,X2,…,Xn,…是两两相互独立的随机变量序列,方差均存在.如果存在常数c,使得D(Xi)≤c,i=1,2,…,那么定理2(辛钦大数定律)设X1,X2,…,Xn,…是相互独立同分布的随机变量序列,且Xi的数学期望存在,E(Xi)=μ,i=1,2,…,那么上述大数定律的直观含义是,如果我们对一个随机变量重复独立地观测n次(例如对某个物体的未知重量作n次测量),得到n个观测值x1,x2,…,xn,那么,只要n足够大,与这个随机变量的期望相差无几.前面解释的频率稳定性可以用下列大数定律来表达.定理3(伯努利大数定律)假设nA是n重伯努利试验中事件A发生的次数,在每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1),那么第二节中心极限定理在客观实际中有许多随机变量,它们是由大量的相互独立的随机因素的综合影响所形成的,而其中每一个个别因素在总的影响中所起的作用都是微小的.这种随机变量往往近似地服从正态分布.这种现象就是中心极限定理的客观背景.定理1

(独立同分布的中心极限定理)

设X1,X2,…,Xn,…是一个独立同分布的随机变量序列,且E(Xi)=μ,D(Xi)=σ2>0,i=1,2,…那么定理1也称为林德贝格列维(Linderberg-Levy)中心极限定理,它表明,当n充分大时,n个具有期望和方差的独立同分布的随机变量之和近似服从正态分布.因此,定理1告诉我们,不论X1,X2,…,Xn服从什么分布,当n充分大时,总可以近似地认为或者有等价的结论:定理2(棣莫佛拉普拉斯定理)设nA为n重贝努利试验中事件A出现的次数,p(0<p<1)为事件A在每次试验中发生的概率,则对任意x,有定理2说明二项分布的极限分布是正态分布.因此,当n充分大时,可利用正态分布

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