湖南省长沙市宁乡市2022-2023学年高二下学期期末数学试题（教师版）

2023年上学期高二期末考试数学试题考试时量：120分钟分值：150分一、单选题（本大题共8小题，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．）1.记复数的共轭复数为，则在复平面内所对应的点在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】首先根据复数代数形式的乘法化简复数，即可得到其共轭复数，再根据复数的几何意义判断即可；【详解】解：因为，所以，则在复平面内所对应的点为，位于第四象限；故选：D2.在含有3个白球，2个黑球（它们除颜色外，其余均相同）的箱子里不放回地抽取2个球，恰好一个为黑球的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据古典概型概率计算公式，可以利用组合数进行运算求解，也可以利用列举法运算求解．【详解】根据题意：方法一：“恰好一个为黑球”的概率为方法二：设三个白球为，两个黑球为，不放回地抽取2个球，则有：，共10个基本事件“恰好一个为黑球”包含：，共6个基本事件，其概率为故选：C．3.的展开式中的系数为（）A.240 B. C.120 D.【答案】A【解析】【分析】根据二项展开式的通项公式求解即可【详解】展开式的通项，由，可得.∴含项的系数为.故选：A.4.随机变量X的分布列如表，则的值为（）X123P0.2A0.4A.4.4 B.7.4 C.21.2 D.22.2【答案】B【解析】【分析】根据期望公式求，然后由期望性质可得.【详解】由得，所以，所以.故选：B5.已知正四棱锥的底面边长和侧棱长都为2，则该四棱锥的表面积为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，求出正四棱锥的底面及各侧面面积计算作答.【详解】依题意，正四棱锥的底面正方形面积为4，四个侧面是全等的正三角形，每个正三角形面积为，所以四棱锥的表面积为.故选：C6.已知，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用弦化切可求得所求代数式的值.【详解】因为，则.故选：B.7.山东烟台苹果因“果形端正、色泽艳丽、果肉甜脆、香气浓郁”享誉国内外．据统计，烟台苹果（把苹果近似看成球体）的直径X（单位：mm）服从正态分布，则估计苹果直径在内的概率为（）（附：若，则，．）A.0.6827 B.0.8413 C.0.9545 D.0.8186【答案】D【解析】【分析】根据正态分布的对称性求解可得.【详解】由知，，所以.故选：D8.已知的值域为，则x的取值范围可以为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】令，根据值域解不等式组可得t的范围，然后解指数不等式可得.【详解】令，则，由题知，，解得或，即或，解得或.故选：D二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．）9.某种产品的价格（单位：元）与需求量（单位：）之间的对应数据如下表所示：数据表中的数据可得回归直线方程为，则以下结论正确的是（）A.变量与呈负相关B.回归直线经过点C.D.该产品价格为元时，日需求量大约为【答案】ABC【解析】【分析】根据线性回归方程经过样本中心，可解得，可判断A,B,C.由回归方程做预测，即可判断D.【详解】，，∴回归直线经过点，B正确，将，代入得，∴变量与呈负相关，A、C正确，当产品价格为元时，代入得，∴日需求量大约为，D错误，故选:ABC．10.在中，下列命题正确的是（）A.若，则B.若，则定为等腰三角形C.若，则定为直角三角形D.若三角形的三边的比是，则此三角形的最大角为钝角【答案】ACD【解析】【分析】选项，由三角形边角关系和正弦定理，可判断为正确；选项，由三角函数确定角的关系，要结合角范围，所以错误；选项，用正弦定理边化角，再将代入展开，整理可得，所以正确；选项，用余弦定理求出最大边所对的角，判断正确.【详解】在中，若，则，因此，A正确；若，则或，即或，所以为等腰三角形或直角三角形，B错误；若，则，所以，即，，所以定为直角三角形，C正确；三角形的三边的比是，设最大边所对的角为，则，因为，所以，D正确.故选:ACD【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理解三角形，以及判断三角形的形状，注意角的范围及三角形内角和等于，属于中档题.11.二次函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】【分析】由二次函数性质对选项逐一判断【详解】由题意得，对称轴，则，故A正确，当时，，则，故C正确，当时，，则，故D正确，当时，，故B错误，故选：ACD12.已知函数的值域为集合A，函数的定义域为B，则下列说法正确的是（）A.或B.C.“是“的充分不必要条件D.函数的增区间是【答案】BD【解析】【分析】根据指数型函数值域即可得到即可，根据对数型函数定义即可得到，根据交并集含义即可判断AB，根据充分不必要条件的判定即可判断C，根据复合函数单调性即可判断D.【详解】，则，则，则，由题意得，解得或，则，则，故A错误；，故B正确；，其中一个元素0在集合中找不到，故C错误；设，则在上单调递增，且，而在上单调递增，则根据复合函数单调性得在上单调递增，则其增区间为，故D正确，故选：BD.三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．）13.已知，，且，则的最小值为________．【答案】##【解析】【分析】妙用“1”，展开使用基本不等式可得.【详解】因为，所以当且仅当，即时，等号成立.所以的最小值为.故答案为：14.为了贯彻落实党史学习教育成果，某校名师“学史力行”送教井冈山中学．现有理科语文､数学､英语､物理､化学､生物6名理科老师要安排在该中学理科1到6班上一节公开示范课，每个班级只安排一名老师上课且每个老师只在一个班上一节课，要求数学老师不能安排在1班，化学老师不能安排在6班，则不同的安排上课的方法数为__________．【答案】504【解析】分析】根据排列计算公式，结合特殊元素法求解排列数即可得出答案.【详解】根据计数原理可以将事情分成两类：化学老师安排在1班和化学老师不安排在1班.①化学老师排在1班，先排1班，有1种方法，其余5个班的老师做全排列共有种方法；②化学老师不在1班，先排1班，有4种方法，再排6班有4种方法，余下4个班有种方法，所以共有：种方法.所以不同的安排上课的方法数为.故答案为：504.15.已知函数为偶函数，则__________．【答案】【解析】【分析】令时，则，由偶函数的定义可得出，可得出、的值，进而可得出的值.【详解】因为函数为偶函数，当时，，此时，，所以，，，故.故答案为：.16.记，则__________．【答案】【解析】【分析】令，则，利用二项展开式通项可求出的值，然后令，可求得的值.【详解】令，则，所以，的展开式通项为，所以，，在等式中，令，可得，因此，.故答案为：.四、解答题（本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步）17.化简与计算：．【答案】【解析】【分析】利用指数的运算性质、对数的运算性质化简可得所求代数式的值.【详解】解：原式.18.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．（1）求角A；（2）若，，求a，c．【答案】（1）；（2），.【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换化简即得解；（2）求出再利用正弦定理得解.【小问1详解】解：因为，所以．由正弦定理得，所以，所以，即．因，所以，因为，所以．【小问2详解】解：若，，则．则．由正弦定理，得，解得，．19.常言说“病从口入”，其实手才是罪魁祸首，它担任了病菌与口之间的运输工具.洗手是预防传染病最简便有效的措施之一，保持手的清洁卫生可以有效降低感染新型冠状病毒的风险.正确的洗手应遵循“七步洗手法”，精简为一句话就是“内外夹弓大立腕”，每一个字代表一个步骤.某学校在开学复课前为了解学生对“七步洗手法”的掌握程度，随机抽取100名学生进行网上测试，满分10分，具体得分情况的频数分布表如下：得分45678910女生2914131154男生357111042（1）现以7分为界限，将学生对“七步洗手法”的掌握程度分为两类，得分低于7分的学生为“未能掌握”，得分不低于7分的学生为“基本掌握”.完成下面列联表，并判断可否认为学生对“七步洗手法”的掌握程度与性别有关，且犯错误的概率不大于0.05？未能掌握基本掌握合计女生男生合计（2）从参与网上测试且得分不低于9分的学生中，按照性别以分层抽样的方法抽取10名同学，在10人中随机抽取3人，记抽到女生的人数为X，求X的分布列与期望.附：，.临界值表：0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】（1）列联表答案见解析，没有足够证据认为学生对“七步洗手法”的掌握程度与性别有关（2）分布列答案见解析，数学期望【解析】【分析】（1）根据已知数据，结合题意，完成列联表，再求，即可判断；（2）根据分层抽样的特点求得抽取10人中，女生和男生的分布情况，再结合X的取值，结合超几何分布的概率求解求得分布列，再求数学期望即可.【小问1详解】由得分情况的频数分布表得列联表如下：未能掌握基本掌握合计女生253358男生152742合计4060100故，因为，所以没有足够证据认为学生对“七步洗手法”的掌握程度与性别有关.【小问2详解】由得分情况的频数分布表可知，参与网上测试且得分不低于9分的学生中，女生9人，男生6人，从而分层抽样抽取的10人中，女生6人，男生4人.在10人中随机抽取3人，记抽到女生的人数为X，则X的可能取值为0，1，2，3，所以，，，，所以随机变量X的分布列为X0123P所以.20.如图，四棱锥中，底面是梯形，，，是等边三角形，是棱的中点，，．（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）可证得四边形为平行四边形，由此可得，利用勾股定理证得；由等腰三角形三线合一性质可得；根据线面垂直的判定定理可得结论；（2）以为坐标原点可建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法可求得结果.【小问1详解】等边三角形，，为中点，且；，，四边形为平行四边形，，又，，，又，平面，平面.【小问2详解】，四边形为平行四边形，，则以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，，，设平面的法向量，，令，解得：，，，，即直线与平面所成角的正弦值为.21.已知函数.（1）求的对称中心；（2）求的最小正周期和单调递增区间；（3）若，求的最小值及取得最小值时对应的x的取值.【答案】（1）（）（2）最小正周期为；（3），【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换和辅助角公式化简，再求对称中心即可求解；（2）利用整体代换法可得周期和单调区间；（3）根据的范围利用整体代换法求出最小值及取得最小值时对应的x的取值即可.【小问1详解】，由得，，所以对称中心（）；【小问2详解】，∵∴∴的最小正周期为，由，，得：，，∴单调递增区间为；【小问3详解】，∵，∴，∴，∴，即：，此时.∴，.22.已知定义在上的函数满足:①对任意的,都有;②当且仅当时,成立.（1）求;（2）用定义证明的单调性;（3）若对使得不等式恒成立,求实数m的取值范围.【