安徽省皖中名校联盟2023-2024学年（上）高三12月联考试题含答案解析

绝密★启用前 皖中名校联盟 2023-2024学年（上）高三第四次联考数学试题考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx题号一二三四总分得分注意事项:

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。

3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。第I卷（选择题）一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知集合A={−2,1,3}，B={x|2x+3>0}，则A∩B=A.(−32,+∞) B.{1,3} C.{−1}2.若复数z满足(1+i)z=3−i，则|z|=(

)A.5 B.5 C.253.若角α的终边上有一点P(−2,m)，且sinα=−55，则A.4 B.±4 C.−1 D.±14.已知l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是

(

)A.若α⊥β，l⊂α，m⊂β，则l⊥m

B.若m⊥β，α⊥β，则m/​/α

C.若l/​/m，l⊥α，m⊥β，则α/​/β

D.若α/​/β，且l与α所成的角和m与β所成的角相等，则l/​/m5.设a∈R，则“a>0”是“a3>a2的

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6.粮食是关系国计民生的重要战略物资.如图为储备水稻的粮仓，中间部分可近似看作是圆柱，圆柱的底面直径为10m，上、下两部分可以近似看作是完全相同的圆锥，圆柱的高是圆锥高的4倍，且这两个圆锥的顶点相距12m，每立方米的空间大约可装0.75吨的水稻，则该粮仓最多可装水稻(

)

A.175π吨 B.200π吨 C.225π吨 D.250π吨7.镇国寺塔亦称西塔，是一座方形七层楼阁式砖塔，顶端塔刹为一青铜铸葫芦，葫芦表面刻有“风调雨顺、国泰民安”八个字，是全国重点文物保护单位、国家3A级旅游景区.小胡同学想知道镇国寺塔的高度MN，他在塔的正北方向找到一座建筑物AB，高为7.5m，在地面上点C处(B,C,N在同一水平面上且三点共线)测得建筑物顶部A，镇国寺塔顶部M的仰角分别为15∘和60∘，在A处测得镇国寺塔顶部M的仰角为30∘，则镇国寺塔的高度约为

(参考数据：

A.31.42m B.33.26m C.35.48m D.37.52m8.已知函数f(x)=x2+alnx的图象有两条与直线y=2x平行的切线，且切点坐标分别为P(x1,f(x1A.(0,22) B.(0,4) C.(2二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）9.已知函数f(x)=32sin2x−sinA.函数f(x)的最小正周期为π

B.函数f(x)的图象的一条对称轴方程为x=π6

C.函数f(x)的图象可由y=sin2x的图象向左平移π12个单位长度得到

D.10.若实数x，y满足|x|>y>0，则(

)A.x−y<y2 B.x2024>y202411.正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，M是正方形ABCD的中心，PA.B1M⊥AC

B.直线B1M与直线AD所成角的余弦值为66

C.不存在点P使得DP//平面12.已知f(x)为定义在R上的偶函数且f(x)不是常函数，F(x)=f(1−x)−1，g(x)=f(x+1)−1，若g(x)是奇函数，则(

)A.y=f(x)的图象关于(1,1)对称

B.f(x)=f(x+4)

C.F(x)是奇函数

D.F(x)与g(x)关于原点对称第II卷（非选择题）三、填空题（本大题共4小题，共20分）13.已知向量a，b满足|a|=2，|b|=1，a与b的夹角为π3，则14.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上游回产地产卵，研究鱼的科学家发现大西洋鲑鱼的游速v(单位：m/s)可以表示为v=12log3M100，其中M表示鱼的耗氧量的单位数.当一条大西洋鲑鱼的耗氧量的单位数是其静止时耗氧量的单位数的315.已知等差数列{an}单调递增且满足a1+a1016.已知f(x)=elnx+ex−alnx−1(a>0)，设f(x)>0的解集为(m,n)(m<n)，若mn>1四、解答题（本大题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题12分)已知sinθ+cos(1)求sinθ−cos(2)求cos(2θ+2023π)+tan(θ+2023π)的值．

18.(本小题12分)设a>0且a≠1，函数f(x)=4x−2x(1)求a;(2)求f(x)+[g(x)]2的最小值．

19.(本小题12分)已知函数f(x)=axlnx−2x+3，其中(1)当a=1时，求f(x)的最小值;(2)若e1−x≤f(x)对任意的x∈(0,+∞)恒成立，求实数a的取值范围．

20.(本小题12分)已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且a2(1)求{an(2)若bn=an2n，求数列{bn}的前n21.(本小题12分)

如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥AD，∠CAD<π2，AB=2，∠ABC=34(1)若BC=2，sin∠ADC=3(2)若∠ADC=π6，CD=8，求AD的长．22.(本小题12分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为正方形，侧面PAD是正三角形，侧面PAD⊥底面ABCD，M是PD的中点．

(1)求证：AM⊥平面PCD;(2)求平面BPD与平面PCD夹角的余弦值．绝密★启用前皖中名校联盟 2023-2024学年（上）高三第四次联考数学试题考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx题号一二三四总分得分注意事项:

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。

3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知集合A={−2,1,3}，B={x|2x+3>0}A.(−32,+∞) B.{1,3} C.{−1}【答案】B

【解析】【分析】

本题主要考查函数的定义域，考查集合的交集运算，属于基础题．

先求出集合B，再求

A∩B即可．

【解答】

解：由

2x+3>0

可得

B=−32,+∞

，所以

A∩B=2.若复数z满足(1+i)z=3−i，则|z|=(

)A.5 B.5 C.25【答案】A

【解析】【分析】

本题考查复数的运算和模长公式，属于基础题．

由复数的除法计算出复数z，再利用模长公式求

|z|

．

【解答】解：因为

(1+i)z=3−i

，

所以

z=3−i1+i=(3−i)(1−i)(1+i)(1−i)=1−2i

，故选：A．3.若角α的终边上有一点P(−2,m)，且sinα=−5A.4 B.±4 C.−1 D.±1【答案】C

【解析】【分析】

本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．

由题意利用任意角的三角函数的定义，求得m的值．

【解答】

解：∵角α的终边上有一点P(−2,m)，且sinα=−55，

∴x=−2，y=m，r=|OP|=4+m2，

由三角函数定义，可得yr=4.已知l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是

(

)A.若α⊥β，l⊂α，m⊂β，则l⊥m

B.若m⊥β，α⊥β，则m/​/α

C.若l/​/m，l⊥α，m⊥β，则α/​/β

D.若α/​/β，且l与α所成的角和m与β所成的角相等，则l/​/m【答案】C

【解析】【分析】

本题考查命题真假的判断，空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查分析能力及空间想象能力，属于基础题．

根据空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识逐一判断即可．

【解答】

解：若α⊥β，l⊂α，m⊂β，则l与m可能平行，可能相交，可能异面，故A错误;

若m⊥β，α⊥β，则m可能在α内，故B错误;

若l/​/m，l⊥α，则m⊥α，又m⊥β，则α/​/β，故C正确;

若α/​/β，且l与α所成的角和m与β所成的角相等，则l与m不一定平行，也可异面或相交，故D错误．

故选C．5.设a∈R，则“a>0”是“a3>a2A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B

【解析】【分析】

本题考查了充分、必要条件的定义，属于基础题．

由a3>a2解得a的范围，再根据充分、必要条件的定义判断出结论．

【解答】

解：由a3>a2，解得a>1，

故“6.粮食是关系国计民生的重要战略物资.如图为储备水稻的粮仓，中间部分可近似看作是圆柱，圆柱的底面直径为10m，上、下两部分可以近似看作是完全相同的圆锥，圆柱的高是圆锥高的4倍，且这两个圆锥的顶点相距12m，每立方米的空间大约可装0.75吨的水稻，则该粮仓最多可装水稻(

)

A.175π吨 B.200π吨 C.225π吨 D.250π吨【答案】A

【解析】【分析】

本题主要考查简单组合体的结构特点，考查圆柱、圆锥的体积，属于基础题．

根据题意求出圆锥高及底面半径，再由圆锥、圆柱的体积公式求解．

【解答】

解：设圆锥的高为ℎ，则圆柱的高为4ℎ，因为两个圆锥的顶点相距12m，

所以4ℎ+2ℎ=12，解得ℎ=2m，

圆柱的底面直径为10m，

则半径为5m，所以圆柱的体积为π×52×(2×4)=200πm3，

两个圆锥的体积之和为13×π×52×2×2=1003π7.镇国寺塔亦称西塔，是一座方形七层楼阁式砖塔，顶端塔刹为一青铜铸葫芦，葫芦表面刻有“风调雨顺、国泰民安”八个字，是全国重点文物保护单位、国家3A级旅游景区.小胡同学想知道镇国寺塔的高度MN，他在塔的正北方向找到一座建筑物AB，高为7.5m，在地面上点C处(B,C,N在同一水平面上且三点共线)测得建筑物顶部A，镇国寺塔顶部M的仰角分别为15∘和60∘，在A处测得镇国寺塔顶部M的仰角为30∘，则镇国寺塔的高度约为(参考数据：

A.31.42m B.33.26m C.35.48m D.37.52m【答案】C

【解析】【分析】

本题考查解三角形的实际应用，属于中档题．

先表示出AC，求出∠MAC，∠ACM，∠AMC，然后在△ACM中，由正弦定理可表示出MC，在△MNC中，可表示出MN，进而得解．

【解答】

解：sin15∘=sin(45∘−30∘)=sin45∘cos30∘−cos45∘sin30∘=6−24，

8.已知函数f(x)=x2+alnx的图象有两条与直线y=2x平行的切线，且切点坐标分别为P(x1,f(A.(0,22) B.(0,4) C.(2【答案】D

【解析】【分析】本题考查函数零点与方程根的关系，考查导数的几何意义，属于中档题．

由题意可得f'(x)=2有两个不相等的正实根x1，x2，则a=2x−2x2=2x(1−x)有两个不相等的正实根x1，【解答】

解：因为f(x)=x2+alnx，所以f'(x)=2x+ax，

由题意可得f'(x)=2有两个不相等的正实根x1，x2，

所以a=2x−2x2=2x(1−x)有两个不相等的正实根x1，x2，所以0<a<12，

因为二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）9.已知函数f(x)=32sinA.函数f(x)的最小正周期为π

B.函数f(x)的图象的一条对称轴方程为x=π6

C.函数f(x)的图象可由y=sin2x的图象向左平移π12个单位长度得到

D.【答案】ABC

【解析】【分析】

先利用三角恒等变换公式化简f(x)，再根据正弦函数的图象与性质，逐一分析选项，即可．

本题考查三角函数的综合应用，熟练掌握二倍角公式，辅助角公式，正弦函数的图象与性质是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．

【解答】

解：f(x)=32sin2x−sin2x+12=32sin2x−1−cos2x2+12=32sin2x+12cos2x=sin(2x+π6)

所以函数f(x)的最小正周期为T=2π2=π，即A正确；

由2x+π6=π2+kπ(k∈Z)10.若实数x，y满足|x|>y>0，则(

)A.x−y<y2 B.x2024>y2024【答案】BD

【解析】【分析】本题主要考查不等式的性质，属于基础题．

根据不等式的性质判断即可．【解答】

解：当x=3，y=1时，x−y>y2，故A错误;

因为|x|>|y|，所以x2024>y2024，故B正确;

当x<0时，xy+yx<0，故C错误;

因为1x−1x−y=−yx(x−y)=yx(y−x)11.正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，M是正方形ABCDA.B1M⊥AC

B.直线B1M与直线AD所成角的余弦值为66

C.不存在点P使得DP//平面【答案】ABD

【解析】解：对于A，如图所示：连接B1A，

由题意可知M为AC中点，且B1C=B1A，

所以B1M⊥AC，故正确；

对于B，如图所示：取AB中点N，连接MN，B1N，

则∠B1MN为直线B1M与直线AD所成角，且△B1NM为直角三角形，∠B1NM=90°，

设正方体的棱长为2，则有MN=1，B1N=5，B1M=6，

所以cos∠B1MN=MNB1M=16=66，故正确；

对于C，如图所示：

因为DC1//AB1，所以DC1/​/平面AB1D1，同理可证BC1/​/平面AB1D1，

又因为DC1∩BC1=C1，所以平面DBC1/​/平面AB1D1，

当P为BC1与B112.已知f(x)为定义在R上的偶函数且f(x)不是常函数，F(x)=f(1−x)−1，g(x)=f(x+1)−1，若g(x)是奇函数，则(

)A.y=f(x)的图象关于(1,1)对称

B.f(x)=f(x+4)

C.F(x)是奇函数

D.F(x)与g(x)关于原点对称【答案】ABC

【解析】【分析】

本题考查了函数对称性与周期性的应用，属于中档题．

由g(x)为奇函数，可推出fx+1+f−x+1=2

，即可判断A，由函数为偶函数，可推出函数f(x)的周期为4，根据F(x)+F(−x)=0可判断C，因为

F−x=gx

可判断D．

【解答】

解：由题意，得

gx+g−x=0

，即

fx+1−1+f−x+1−1=0

，整理，得

fx+1+f−x+1=2

，所以

y=fx

的图象关于

1,1

对称，故A正确；

又

fx

为偶函数，则

fx+fx−2=fx+f2−x=2

，所以

fx−2+fx−4=2,fx=fx−4

，所以三、填空题（本大题共4小题，共20分）13.已知向量a，b满足|a|=2，|b|=1，a与b的夹角为π【答案】2【解析】【分析】

本题考查向量数量积的运算及计算公式，属于基础题．

由条件进行数量积的运算便可求出(a+2b)2的值，从而得出|a+2b|的值．

【解答】

解：因为由

a与

b的夹角为

π3，

所以

14.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上游回产地产卵，研究鱼的科学家发现大西洋鲑鱼的游速v(单位：m/s)可以表示为v=12log3M100，其中M表示鱼的耗氧量的单位数.【答案】34【解析】【分析】

本题考查对数型函数的应用，属于基础题．

根据静止时速度为0，计算出大西洋鲑鱼静止时的耗氧量为M0，然后代入M=33M0，即可计算出结果．

【解答】

解：设大西洋鲑鱼静止时的耗氧量为M0，

则12log3M015.已知等差数列{an}单调递增且满足a1+【答案】(2,+∞)

【解析】【分析】

本题主要考查了等差数列的通项公式的应用，要熟练记忆等差数列的通项公式，属于基础题．

根据等差数列的性质和通项公式即可求出a8的范围．

【解答】

解：∵等差数列{an}单调递增，∴d>0，∵a1+a16.已知f(x)=elnx+ex−alnx−1(a>0)，设f(x)>0的解集为(m,n)(m<n)【答案】(0,1)

【解析】【分析】

本题考查了利用导数判断函数的单调性，求解参数的取值范围，属于一般题．

根据函数的单调性结合不等式的解集求解a的取值范围即可．

【解答】

解：f'(x)=−elnxx2−ax=−ax−elnxx2，设g(x)=−ax−elnx，则g'(x)=−a−ex<0，

所以g(x)单调递减，又x→0时，g(x)→+∞，g(1)=−a<0，

所以存在x0∈(0,+∞)，使得f'(x0)=g(x0)=0，

所以f(x)在(0,x0)上单调递增，在(x0,+∞)上单调递减，且f(x0)≥f(1)=e−1>0，

又当x→0和x→+∞时，f(x)→−∞，

所以存在0<m<1<n，使得四、解答题（本大题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题12分)已知sinθ+cos(1)求sinθ−cos(2)求cos(2θ+2023π)+【答案】解：(1)因为sinθ+cosθ=105，所以(sinθ+cosθ)2=25，

所以1+2sinθcosθ=25，即2sinθcosθ=−35<0．

因为θ∈(0,π)，则sinθ>0，所以cosθ<0，sinθ−cos【解析】本题主要考查了三角函数的同角公式，诱导公式以及二倍角公式，属于基础题．

(1)根据已知条件，结合三角函数的同角公式，即可求解．

(2)根据已知条件，结合三角函数的二倍角公式和诱导公式，即可求解．18.(本小题12分)设a>0且a≠1，函数f(x)=4x−2x(1)求a;(2)求f(x)+[g(x)]【答案】解：(1)因为g(x)=f(x)ax=(4a)x−(2a)x，且g(x)为奇函数，

所以g(x)+g(−x)=(4a)x−(2a)x+(4a)−x−(2a)−x=0，即(4a)x+(a4)x=(a2)x+(2a)x

所以4a=a2，解得a=±22，又a>0，

故a=22．【解析】本题考查函数的奇偶性，最值问题，属于中档题．

(1)利用g(x)+g(−x)=0，求a;

(2)因为f(x)+[g(x)]2=4x19.(本小题12分)已知函数f(x)=axlnx−2x+3，其中(1)当a=1时，求f(x)的最小值;(2)若e1−x≤f(x)对任意的x∈(0,+∞)恒成立，求实数【答案】解：(1)当a=1时，f(x)=xlnx−2x+3，则f'(x)=lnx−1，

由f'(x)<0得0<x<e；由f'(x)>0得x>e．

所以f(x)min=f(e)=3−e．

(2)设g(x)=e1−x−axlnx+2x−3，则g(1)=0，

g'(x)=−e1−x−a(lnx+1)+2，

令ℎ(x)=g'(x)，则ℎ'(x)=1ex−1−ax=1x(xex−1−a)，

令p(x)=xex−1−a，其中x>0，则p'(x)=1−xex−1，

当0<x<1时，p'(x)>0，此时函数p(x)单调递增;

当x>1时，p'(x)<0，此时函数p(x)单调递减，

所以p(x)max= p(1) =1−a．

 ①当a=1时，p(x)≤p(1)=0，则ℎ'(x)=1xp(x)≤0，且ℎ'(x)不恒为0，

所以函数g'(x)在区间(0,+∞)上单调递减，

当0<x<1时，g'(x) > g'(1) = 0，g(x)单调递增;

当x>1时，g'(x) < g'(1) =0，g(x)单调递减．

所以g(x)≤g(1)=0，即e1−x≤f(x)对任意的x∈(0,+∞)恒成立;

 ②当a>1时，p(x)≤p(1)=1−a<0，则ℎ'(x)=1xp(x)<0，

所以函数g'(x)在区间(0,+∞)上单调递减，

因为g'(1)=1−a<0，当x→0时，g'(x)→+∞，

此时存在x1∈(0,1)，使得g'(x1)=0，且当x∈(x1,1)，g'(x)<0，g(x)单调递减，

所以g(x1)>g(1)=0【解析】本题考查了利用导数研究闭区间上函数的最值以及导数中的恒成立问题，是较难题．

(1)先利用导数研究单调性，可得f(x)的最小值;

(2)设g(x)=e1−x−axlnx+2x−320.(本小题12分)已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且a2(1)求{an(2)若bn=an2n，求数列【答案】解：(1)当n=2时，a2=S2+S1，即3=3+a1+a1，解得a1=1，

因为an=Sn−Sn−1(n≥2)，所以an=(Sn−Sn−1)(Sn+Sn−1)(n≥2)，

又an=Sn+Sn−1(n≥2,n∈N∗)，an>0，所以【解析】本题主要考查数列的通项和前n项和之间的关系，等差数列的判定，裂项相消法求和，考查考生的运算求解能力、逻辑思维能力，属于中档题．

(1)利用数列的通项和前n项和之间的关系，得知数列{Sn}是等差数列，即可求出数列{an}的通项公式，要注意检验n=1时的情况；

(2)先根据数列21.(本小题12分)

如图，在平面四边形ABCD中，A