沈阳市2017-2020年高二年级下册期末质量跟踪监视数学试题含解析

沈阳市重点名校2017-2018学年高二下学期期末质量跟踪监视数学试题

一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.在4次独立重复试验中，随机事件A恰好发生1次的概率小于其恰好发生2次的概率，则事件A在一

次试验中发生概率的取值范围是（）

A.[0.4,1）B,（0,0.6]c.（0,0.4）D.（0.4,1）

【答案】D

【解析】

【分析】

设事件A发生一次的概率为夕，根据二项分布求出随机事件A恰好发生1次的概率，和恰好发生2次的

概率，建立。的不等式关系，求解即可.

【详解】

设事件A发生一次的概率为P,则事件A的概率可以构成二项分布，

根据独立重复试验的概率公式可得<C^2（l-7?）2,

所以P（pT）2[T]〉0.

又。<。<1,故。4<p<l.

故选:D.

【点睛】

本题考查独立重复试验、二项分布概率问题，属于基础题.

2.若向量4,6满足同=网=2,a与匕的夹角为60，贝！1卜+4等于（）

A.2曲+6B.273C.4D.12

【答案】B

【解析】

【分析】

将卜+。|平方后再开方去计算模长，注意使用数量积公式.

【详解】

因为,=忖+2|<7||Z?|COS60°+|Z?|=4+4+4=12,所以,+。|=26,

故选：B.

【点睛】

本题考查向量的模长计算，难度一般.对于计算卜。+丁目这种形式的模长，可通过先平方再开方的方法去

计算模长.

3.1x—：｝2+X）5展开式中/的系数为（）

A.70B.80c.90D.60

【答案】A

【解析】

分析：先求（2+x）5展开式的通项公式，根据］x-：｝2+x）5展开式中/的系数与（2+力5关系，即可

求得答案.

详解：（2+x）5展开式的通项公式，可得

—J］（2+X）5展开式中含1项：X］—：4=（C2y35］买37（

即展开式中含/的系数为70.

故选A.

点睛：本题考查了二项式定理的应用问题，利用二项展开式的通项公式求展开式中某项的系数是解题关键.

4.某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费》（单位：千元）对年销售量y（单位:

0和年利润z（单位:千元）的影响.对近8年的年宣传费X,和年销售量y（z=1,2,...8）数据作了初步处理，

得到下面的散点图及一些统计量的值.

年销售量"

620-

600

580

560

540

520

500

3638404244464850525456

年宣传费/千元

有下列5个曲线类型:①y=后+6；②歹=c«+d；③y=〃+91n%；=⑤y=qx2+Q,

则较适宜作为年销售量,关于年宣传费元的回归方程的是（）

A.①②B.②③C.②④D.③⑤

【答案】B

【解析】

分析：先根据散点图确定函数趋势，再结合五个选择项函数图像，进行判断选择.

详解：从散点图知，样本点分布在开口向右的抛物线（上支）附近或对数曲线（上部分）的附近，所以y=

cJ7+d或y=p+qlnx较适宜，故选B.

点睛：本题考查散点图以及函数图像，考查识别能力.

1(x--)2

5.已知两个正态分布密度函数0(%)=力Le2d(xeR,i=l,2)的图象如图所示，则1()

'<2兀巴

A.<〃2，%</B.〃]>〃2，0〉％

C.4〈〃2，巧〉cr2D.〉〃2，巧〉％

【答案】A

【解析】

【分析】

正态曲线关于X=〃对称，且〃越大图象越靠近右边，第一个曲线的均值比第二个图象的均值小，又有

b越小图象越瘦高，得到正确的结果.

【详解】

正态曲线是关于X=4对称，且在x=〃处取得峰值由图易得故01(%)的图象更“瘦

72兀o

高”，必⑴的图象更“矮胖"，则巧<4.故选A.

【点睛】

本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查密度函数中两个特征数均值和标准差对曲线的位

置和形状的影响，是一个基础题.

6.在空间给出下列四个命题：

①如果平面a内的一条直线。垂直于平面用内的任意一条直线，则a，4；

②如果直线a与平面P内的一条直线平行，则4；

③如果直线。与平面尸内的两条直线都垂直，则。，夕；

④如果平面a内的两条直线都平行于平面耳，则。IIB.其中正确的个数是

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【解析】

本题考查空间线面关系的判定和性质.

解答：命题①正确，符合面面垂直的判定定理.

命题②不正确，缺少aa1条件.

命题③不正确，缺少两条相交直线都垂直的条件.

命题④不正确，缺少两条相交直线的条件.

7.已知集合Af={x|x<l},N={X[X2—X<O},则（）

A.MN={x|x<l}B.MN={x|x>o}

C.M=ND.N匚M

【答案】D

【解析】

【分析】

求解不等式工2—%<0可得N={x[O<x<l},据此结合交集、并集、子集的定义考查所给的选项是否正

确即可.

【详解】

求解不等式%<o可得N={x[O<x<l},

则：MN={x[O<x<l},选项A错误；

MuN={x|x<l},选项B错误；

N=M,选项C错误，选项D正确；

故选：D.

【点睛】

本题主要考查集合的表示方法，交集、并集、子集的定义及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计

算求解能力.

8.若集合M={1,3},N={1,3,5）,则满足MUX=N的集合X的个数为（）

A.1B.2

C.3D.4

【答案】D

【解析】

X可以是{5},{1,5},{3,5},{1,3,5}共4个，选D.

9.从不同号码的5双鞋中任取4只，其中恰好有1双的取法种数为（）

A.120B.240C.280D.60

【答案】A

【解析】

此题考查的是排列组合

思路：先从五双鞋中选出一双，有种二%再从剩余的四双中选两只但是不能为一双，先从四双中选两双有

二;中，再从两双中选不同的两只有4种。

EjX0；x4=120

答案A

点评：选的时候一定注意不要重复和遗漏。

10.6名学生站成一排，若学生甲不站两端，则不同站法共有（）

A.240种B.360种C.480种D.720种

【答案】C

【解析】

【分析】

先选2人（除甲外）排在两端，其余的4人任意排，问题得以解决.

【详解】

先选2人（除甲外）排在两端,其余的4人任意排，

故"•国=480种，

故选：C.

【点睛】

本题考查排列、组合及简单计数问题，常用的方法有元素优先法、插空法、捆绑法、分组法等，此题考查

元素优先法，属于简单题.

11.已知a>0>0,则下列不等式正确的是（）

A.—Z?|<|-\/^—tz|B.13"—4

C.|lga-Z?|<|lg/?-a|D.|lga-Z?|>|lgZ?-a|

【答案】C

【解析】

【分析】

考虑到中不等号方向，先研究c,D中是否有一个正确。构造函数y=lgx+x是增函数，可得当

a>6>0时，有4+恒4>匕+恒人,所以34一匕>坨匕一。,作差卬=旭》一4一旭。一4，\gb-a<0,对

Iga—b可分类，IgaNb和lga<Z?

【详解】

令y=lgx+x,显然单调递增，所以当a>b>0时，有a+lga>Z?+lg3所以Iga—匕>坨匕一。,另一方

面因为1g人<8<a/g匕一a<0,所以卬二旭^-同一旭。一4=a-lgb-|lga-Z?|,当lga»b时，

W=a-\gb-\ga+b=a-\ga+b-\gb>0,当lga<人时，W=a-1gb+1ga-b=«+lga-（Z?+lgZ?）>0

（由y=lgx+x递增可得），

/.|lg/?-a|>|lga-Z?|,C正确。

故选：Co

【点睛】

本题考查判断不等式是否成立，考查对数函数的性质。对于不等式是否成立，有时可用排除法，即用特例，

说明不等式不成立，从而排除此选项，一直到只剩下一个正确选项为止。象本题中有两个选项结论几乎相

反(或就是相反结论时)，可考虑先判断这两个不等式中是否有一个为真。如果这两个都为假，再考虑两

个选项。

12.已知集合74={%€2|%22},5={%|04%<6},则AB=()

A.1x|2<x<61B.1x|0<x<6}C.{0,1,2,3,4,5}D.12,3,4,5}

【答案】D

【解析】

分析：直接利用交集的定义求解.

详解：集合A={xeZ|x22},3={x[0Wx<6},

AnB={2,3,4,5},故选D.

点睛：研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的

关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合A且属于集合3的元素的集合.本题需注意两集合一

个是有限集，一个是无限集，按有限集逐一验证为妥.

二、填空题：本题共4小题

13.已知集合人={2,3,4},5={3,5},则4B=.

【答案】{3}

【解析】

【分析】

直接进行交集的运算即可.

【详解】

解:VA={2,3,4},B={3,5}；

，ACB={3}.

故答案为：{3}.

【点睛】

考查列举法的定义以及交集的运算，属于基础题.

14.设。，〃是两条不同的直线，a,乃是两个不同的平面，有下列五个命题：①若6与平面a,B

都平行，则a//月；②若a//人则。，尸；③若a//。，a，万，则aJ.，；④若aJ.〃,

ocA-/3,则a//a；⑤若b±J3,a±J3,则。16其中所有真命题的序号是.

【答案】②⑤

【解析】

【分析】

根据相关定义、定理进行研究，也可借助长方体、正方体等进行验证

【详解】

①当。/乃时，a与£不一定平行，故①错误；

③当。垂直于a与月交线时，。才垂直于£,故③错误；

④。可能在a上，故④错误；

故②⑤正确

【点睛】

本题考查利用性质、定理判断直线与直线、直线与平面、平面与平面间的位置关系

15.设圆x2+y2=l上的动点P到直线3x+4y-10=0的距离为d,则d的最大值为.

【答案】3

【解析】

【分析】

将问题转化为求圆心到直线的距离加上半径，再由点到直线的距离公式可得结果.

【详解】

依题意可知，圆x2+y2=l上的动点P到直线3x+4y-10=0的距离的最大值等于圆心到直线的距离加上半

径，

|0+0-10|

因为圆心(0,0)到直线3x+4y-10=0为/,,=2,圆的半径为1,

V3+42

所以d的最大值为2+1=3.

故答案为：3.

【点睛】

本题考查了点到直线的距离公式，属于基础题.

16.已知函数/(x)=2cosx(sinx-cosx)+l,XGR.则函数f(x)的最小正周期

【答案】万

【解析】

【分析】

丁2万

首先根据二倍角公式先化简以及辅助角公式化简，再根据丁=网即可。

【详解】

由题意得：/(%)=2cosx(sinx-cosx)+1

=2cosxsinx-2cos%cosx+l

=sin2%—cos2x

=A/2sin^2x-^,

27r

...函数f(x)的最小正周期T=——=〃；

2

【点睛】

本题主要考查了三角函数的化简以及周期的计算，属于基础题。

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.如图，矩形ACEF和等边三角形A3C中，AC=2,CE=1,平面ABC，平面ACEF.

(1)在所上找一点使并说明理由；

(2)在(1)的条件下，求平面与平面CBE所成锐二面角余弦值.

【答案】(1)证明过程见解析；(2)平面他4B与平面5CE所成锐二面角的余弦值为立.

7

【解析】

试题分析：(1)分别取AC、跖的中点。、M,利用三角形的中位线的性质，即可证明AC,面6Q0,

进而得到AC；(2)建立空间直角坐标系，利用平面他45与平面8CE法向量成的角去求解.

试题解析：(1)M为线段斯的中点，理由如下：

分别取AC、跖的中点O、M,连接

在等边三角形A3C中，AC1BO,又0M为矩形ACEF的中位线，

AC1OM,而=

所以AC上面BOM,所以8MLAC；

(2)由(1)知。4,05,0"两两互相垂直，建立空间直角坐标系O—孙z如图所示，AC=2,CE=1,

三角形ABC为等边三角形，。(0,0,0),网0,也,0),。(—1,0,0),矶-1,0,1),4。,0,0),网1,0,1).

于是C8=(l,Jl0),CE=(0,0,l),

/\n-CB—0%+J§\=0

设面BCE的法向量”=(x,y,z),所以｛,得｛z-,

n-CE=0z=0

则面8CE的一个法向量%=(6,-1,0)，又M是线段所的中点，

则M的坐标为Af(0,0,1),于是AM=(—1,0,1),且川=卜1,石,0卜

又设面ABM的法向量m=(a,b,c),

mAB—0-a+c=0l

由｛，得｛厂，取〃=，贝!IZ?=1,c=V3，

m-AM=0—a+<3b=0

平面ABM的一个法向量%=(V3,1,V3),

2_V7

所以cos。=

^77一亍,

平面MAB与平面BCE所成锐二面角的余弦值为立.

7

18.已知函数/(%)=靖，g(x)=lnx—；x+2.

(I)求过原点。，且与函数图象相切的切线方程；

(II)求证：当xe(0,+oo)时,/(x)>g(x).

【答案】(1))=0；(II)证明见解析.

【解析】

分析：(1)设出切点，求导，得到切线斜率，由点斜式得到切线方程;(2)先证得/(;ex,再证ex>g(x)

即可，其中证明过程，均采用构造函数，求导研究单调性，求得最值大于0即可.

详解：

(I)设切点尸(面,%),则%=峭,f\x)=ex,//(/)=*,

切线方程为:y—y0=r(%)(%—%)，

即：y—*，%(x—/)，将原点0(0,0)带入得:

0—e%=e%(。一%)，/=1,

切线方程为：y=ex.

(H)设/i(x)=/(x)—ex=e*-ex,xe(0,+oo),〃(x)=e*-e,〃(x)=0,则x=l.

当％e(0,l)时，〃(x)<0,当xe(l,+oo)时，〃(x)>0,则人⑴而口=入。)=0，

所以&(x)20,即：当xe(0,+oo)时,f(x)>ex.

设v(x)=ex-g(x)=ex-Iwc-2+—x=[e+—|x-In%-2,xe(0,+oo),

当xe时，v(.r)<0>当xe时，v(.r)>0，

e+-ln2

则vGL1rr=2-r-r-

e+—'，e+—e+一

\2J2\2J

=1+In[eH-]—2>1+Ine—2=0,

所以v(%)>0,即：当时，ex>g(x),

所以当xe(0,+oo)时,/(x)>g(x).

点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1)构造差函数/?(%)=/(x)-g(x).根据差函数导函数

符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.(2)根据条件，寻找目标函数.

一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一

元函数.

19.在^ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且asinJ5-8cosC=ccos5.

(1)判断^ABC的形状;

121

(2)/(%)=—cos2x--COSX+—,求/(A)的取值范围.

7T

【答案】(1)AABC为3=二的直角三角形.

【解析】

【分析】

分析：(1)由已知条件结合正弦定理对已知化简可求得角3的值，进而可判断三角形的形状；

(2)由辅助角公式对已知函数/(%)先化简，然后代入可求得/(A),结合(1)中的角3求得角A的范

围，然后结合正弦函数的性质，即可求解.

【详解】

(1)因为asinB-bcosC=ccosB,由正弦定理可得sinAsinfi-sinBcosC=sinCcosB,即

sinAsinB=sinCcosB+cosCsinB,所以sin(C+5)=sinAsinB.

因为在AABC中，A+B+C=7i,所以sinA=sinAsinfi又sinAwO,

nTT

所以sinfi=l,B=~.所以△八8€：为6=—的直角三角形.

22

1212(1y1

(2)因为/(元)=]Cos2%一§cos九+]=cos2%--cosx=lcosx--I--.

所以/'(A)=[COSA—g1

jr

因为AABC是B=—的直角三角形，

2

jr11

所以0<A<],且0<cosA<l,所以当cosA=§时，/(A)有最小值是一

所以/(A)的取值范围是—/，1•

点睛：本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利

用正弦定理进行"边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，

利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值.利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利

用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.

20.某县教育局为了检查本县甲、乙两所学校的学生对安全知识的学习情况，在这两所学校进行了安全知

识测试，随机在这两所学校各抽取20名学生的考试成绩作为样本，成绩大于或等于80分的为优秀，否则

为不优秀，统计结果如图：

56

6259

713468

823566789

9245

甲校乙校

（1）从乙校成绩优秀的学生中任选两名，求这两名学生的成绩恰有一个落在［90,100］内的概率；

（2）由以上数据完成下面列联表，并回答能否在犯错的概率不超过0.1的前提下认为学生的成绩与两所

学校的选择有关。

甲校乙校总计

优秀

不优秀

总计

【答案】（1）P=白=|;（2）在犯错的概率不超过0.1的前提下认为学生的成绩与两所学校的选择有

关.

【解析】

分析：（1）根据频率分布直方图中矩形面积为1,求得a的值，再计算乙校成绩优秀的学生数，求出基本

事件数，计算所求的概率值；

（2）由题意填写列联表，计算K2,对照临界值得出结论.

详解：（1）•.•频率分布直方图中矩形面积为1

0.05+20«+0.15+0.25+0.35=1

a=0.01

成绩落在［80,90）内的人数为0.015x10x20=3

成绩落在［90,100］内的人数为0.01xl0x20=2

从乙校成绩优秀的学生中任选两名的基本事件的总数为：C；=10

两名学生的成绩恰有一个落在［90,100］内的基本事件的个数为：=6

则这两名学生的成绩恰有一个落在［90,100］内的概率为：p=*=|

(2)由已知得列联表如下

甲校乙校总计

优秀11516

不优秀91524

总计202040

n^ad-bc^

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

40x(11x15-9x5)2

-20x20x16x24

=3.75>2.706

,所以在犯错的概率不超过0.1的前提下认为学生的成绩与两所学校的选择有关。

点睛：本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，也考查了频率分布直方图与概率的计算问题，是中档

题.

21.已知数列｛«„)的前n项和5„=—2〃+1(“eN*)

(1)求｛4｝的通项公式;

(2)若数列也,｝满足：«„+1+log3n=log3Z7„(ne^*),求｛"｝的前"项和7“(结果需化简)

0,n=l

【答案】(1)a=<

n2n-3,n>2

【解析】

【分析】

(D运用数列的递推式得〃=1时，%=、，〃22时，%=S〃-化简计算可得所求通项公式;

(2)求得用=〃-32"T,运用数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，计算可得所求和.

【详解】

(1)="-2〃+1可得%=S1=0

〃22时，—Sn—Sn_j=n~—2H+1—(/?-1)-+2(〃—1)—1=2〃—3

0,n=l

2n-3.n>2

(2)数列｛bn｝满足an+1+log3n=log3bn,

2-1

可得2九一1+log3n=log3bn,即bn=n-3"

前“项和7；=1.3+21++n-32n-1,

97；,=1-33+2-35++M-32"+1

两式相减可得—8。=3+3?+35++32"-1-n-32n+1

化简可得7=3（8"-9"+l）

"64

【点睛】

本题考查数列的递推式的运用，考查数列的错位相减法求和，以及等比数列的求和公式，考查运算能力,

属于中档题.

22.如图，圆。的半径为2,点P是圆。的一条半径Q4的中点，5c是圆。过点P的动弦.

（1）当P是5c的中点时，求05。。的值；

(2)若=+〃OC,2,〃eR,且BP=2PC.

①〃的值;

②求cos/BOC的值.

【答案】（1）-2（2）-匚

16

【解析】

分析：（1）先根据P是5c的中点时解得NH9P=60°,再根据向量数量积定义求O8OC的

1?

值；（2）①根据5P=2PC解得OP==OB+—OC,再根据分解唯一性得X,〃的值；②由

33

OP2=（-OB+-OC］得0B.℃=—口，再根据向量夹角公式得结果.

U3J4

详解：解：（1）因为P为圆。的弦的中点，所以OP,5c

因为P为的。4中点，所以。「=工。4=1

2

在MABP0中，OP=1,0B=2

所以ZBOP=60°,所以ZBOC=120°

所以08•OC=10810。•cosZBOC=2x2x1-1j=-2

(2)①因为BP=2PC

所以。P—。8=2OC-2OP

所以OP=LOB+AOC

33

XOP^WB+juOC,且03与0c不共线

所以;i=L,〃=2

33

1?

(2)因为OP=—03+—OC

33

所以加=(go5+go0

212424

即OP^-OB'+-OC~+-OBOC

999

因为OP=1,OA=OB=2

144

所以1=—义4+—义4+—O3-OC

999

所以03・0C=—□

4

因此cosZBOC=°B".

416

点睛：平面向量与几何综合问题的求解方法

(1)坐标法：把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的

代数运算和向量运算，从而使问题得到解决.

(2)基向量法：适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程来进

行求解.

沈阳市重点名校2018-2019学年高二下学期期末质量跟踪监视数学试题

一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.我们正处于一个大数据飞速发展的时代，对于大数据人才的需求也越来越大，其岗位大致可分为四类：

数据开发、数据分析、数据挖掘、数据产品.以北京为例，2018年这几类工作岗位的薪资（单位：万元/

月）情况如下表所示.

资

[0.5,1](1,2](2,3](3,5]

数据开发8%25%32%35%

数据分析15%36%32%17%

数据挖掘9%12%28%51%

数据产品7%17%41%35%

由表中数据可得各类岗位的薪资水平高低情况为

A.数据挖掘〉数据开发〉数据产品》数据分析B.数据挖掘〉数据产品〉数据开发〉数据分析

C.数据挖掘〉数据开发〉数据分析＞数据产品D.数据挖掘〉数据产品〉数据分析〉数据开发

【答案】B

【解析】

【分析】

根据表格中的数据计算出各类岗位的平均薪资，比较大小后得出结论。

【详解】

由表格中的数据可知，数据开发岗位的平均薪资为

0.75x0.08+1.5x0.25+2.5x0.32+4x0.35=2.635（万元），

数据分析岗位的平均薪资为0.75x0.15+1.5x0.36+2.5x0.32+4x0.17=2.1325（万元），

数据挖掘岗位的平均薪资为675x0.09+1.5x0.12+2.5x0.28+4x0.51=2.9875（万元），

数据产品岗位的平均薪资为0.75x0.07+1.5x0.13+2.5x0.41+4x0.35=2.6725（万元）。

故选：B.

【点睛】

本题考查样本数据的平均数，熟练利用平均数公式计算样本数据的平均数，是解本题的关键，考查计算能

力与数据分析能力，属于中等题。

2.若直线y=Ax+2是曲线y=x3—X的切线，则左=（）

17

A.-B.1C.2D.-

22

【答案】C

【解析】

【分析】

设切点坐标，求导数，写出切线斜率，由切线过点（0,2）,求出切点坐标，得切线斜率.

【详解】

直线y=Ax+2过定点(0,2),

设/尤)=/一切点为2

1(X,POo，1),f'(x)=3x-1,f'(x0)=3x1-1,f(x0)=xl~x0,

...切线方程为君-又切点过点

y-(%o-xo)=(31)(%-x0),(0,2),

解得

•*-2-(%o-%)=(3xg-l)(-x0),x0=-1.

.•.左=3X(-1)2_]=2.

故选：c.

【点睛】

本题考查导数的几何意义，在未知切点时，一般先设切点坐标，由导数得出切线方程，再结合已知条件求

出切点坐标，得切线方程.

.设函数上)十Il+l一og二(2—「—鸣】

332)()

A.3B.6C.9D.12

【答案】c

【解析】

分析：由-2<1,log?12>l知两个函数值要选用不同的表达式计算即可.

详解：lofol21log26

/(-2)=l+log2[2-(-2)]=3,/(log212)=2-=2=6,

A/(-2)+/(log212)=3+6=9.

故选C.

点睛：本题考查分段函数，解题时要根据自变量的不同范围选用不同的表达式计算.

4.下列命题是真命题的是()

2X

A.Vxe(2,+oo),%>2

B.设｛4｝是公比为4的等比数列，则“4>1”是“｛%,｝为递增数列”的既不充分也不必要条件

C.“%2+5L6>0”是“x>2”的充分不必要条件

D.的充要条件是

【答案】B

【解析】

【分析】

取特殊值来判断A选项中命题的正误，取特殊数列来判断B选项中命题的正误,求出不等式%2+5%-6>0，

利用集合包含关系来判断c选项命题的正误，取特殊向量来说明D选项中命题的正误.

【详解】

对于A选项，当x=4时，42=2S所以，A选项中的命题错误；

对于B选项，若4=-2",则等比数列｛4｝的公比为。=2,但数列｛4｝是递减数列，若4=—1g），

等比数列｛g｝是递增数列，公比为q=g,所以，“4>1”是“｛4｝为递增数列”的既不充分也不必要

条件，B选项中的命题正确；

对于C选项，解不等式炉+5%_6>0,得或%>1,

由于卜卜（—6或»1｝.｛%卜>2｝,所以，“炉+5%_6>0”是“x>2”的既不充分也不必要条件，C

选项中的命题错误；

对于D选项，当。=0时，a-b=O>但。与b不一定垂直，所以，D选项中的命题错误.

故选B.

5.命题“VxeR3ncN*,使得〃A/"的否定形式是（）

A.VxeeN,,使得〃<必B.VxeR,\/neN*,使得〃</

C.★eR,加wN*,使得〃<必D.mxeRRneN*,使得〃<必

【答案】D

【解析】

试题分析：V的否定是m的否定是V,"2£的否定是〃<£.故选D.

【考点】全称命题与特称命题的否定.

【方法点睛】全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题.对含有存在（全称）量词的命题

进行否定需要两步操作：①将存在（全称）量词改成全称（存在）量词；②将结论加以否定.

6.有7张卡片分别写有数字1,1,1,2,2,3,4,从中任取4张，可排出不同的四位数个数为（）

A.78B.102C.114D.120

【答案】C

【解析】

分析：根据题意，分四种情况讨论：①取出四张卡片中没有重复数字，即取出四张卡片中的数字为1,2,3,4；

②取出四张卡片中4有2个重复数字，则2个重复的数字为1或2；③若取出的四张卡片为2张1和2张

2;④取出四张卡片中有3个重复数字，则重复数字为1,分别求出每种情况下可以排出四位数的个数，

由分类计数原理计算可得结论.

详解：根据题意，分四种情况讨论：

①取出四张卡片中没有重复数字，即取出四张卡片中的数字为1,23,4;

此时有A：=24种顺序，可以排出24个四位数.

②取出四张卡片中4有2个重复数字，则2个重复的数字为1或2,

若重复的数字为1,在2,3,4中取出2个，有C；=3种取法，安排在四个位置中，

有蜀=12种情况，剩余位置安排数字1,可以排出3x12=36个四位数

同理，若重复的数字为2,也可以排出36个重复数字；

③若取出的四张卡片为2张1和2张2,在4个位置安排两个1,有C：=6种情况，

剩余位置安排两个2,则可以排出6x1=6个四位数；

④取出四张卡片中有3个重复数字，则重复数字为1,在2,3,4中取出1个卡片，

有=3种取法，安排在四个位置中，有C：=4种情况，剩余位置安排1,

可以排出3x4=12个四位数，则一共有24+36+36+6+12=114个四位数，故选C.

点睛：本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，属于难题.有关排列组合的综合问

题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题

才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清”是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计

数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率.

7.命题P：“关于x的方程尤2+依+2=。的一个根大于1,另一个根小于1"；命题q：“函数

Y-I-1

飘x）=丁二的定义域内为减函数”.若PV4为真命题，则实数。的取值范围是（）

e-1

A.（—3,+8）B.（-co,—3）C.（—8,3]D.R

【答案】B

【解析】

【分析】

通过分析命题4为假命题只能P真，于是可得到答案.

【详解】

命题P真等价于/⑴=1+。+2<0即3；由于飘x）的定义域为{x|x#0},故命题9为假命题，而

pvq为真命题，说明「真，故选B.

【点睛】

本题主要考查命题真假判断，意在考查学生的转化能力，逻辑推理能力，分析能力，难度中等.

JT

8.在极坐标系中，由三条直线。=0,6=-,QCOS6+夕sin6=l围成的图形的面积为（）

1。3-73-2-V3c1

A.-B.-----------C.----------D.一

4443

【答案】B

【解析】

【分析】

求出直线。=0与直线Qcos6+Qsine=l交点的极坐标彷⑼，直线6与直线QCOS6+夕sin6=l

交点的极坐标［夕2，？］，然后利用三角形的面积公式S=g8.sin0可得出结果.

【详解】

设直线。=0与直线夕cos6+夕sin6=l交点的极坐标g,0),则夕］COs0=l,得q=l.

设直线9=g与直线/cos9+夕sin9=l交点的极坐标［22，^］，

cos+

则P2~~Pisin——1，即,R+p2-19得a?=G—1•

3322

因此，三条直线所围成的三角形的面积为S=g月0sing=；xlx(g-1卜乎=，^,

故选：B.

【点睛】

本题考查极坐标系中三角形面积的计算，主要确定出交点的极坐标，并利用三角形的面积公式进行计算,

考查运算求解能力，属于中等题.

,,x'=2x

9.在平面直角坐标系xOy中，圆J：经过伸缩变换后得到线C2,则曲线C2的方程为

U=y

()

22

A.4x2+y2=lB.x2+4y2=lC.—+y2=1D.x2+—=1

44

【答案】C

【解析】

【分析】

x'=2x

根据条件所给的伸缩变换，，反解出》和丁的表达式，然后代入到G中，从而得到曲线G・

U=y

【详解】

11—2元

因为圆G：f+y2=i，经过伸缩变换"

［y=y

x——x'

所以可得一2,代入圆。1：必+丁=1

得到

，22

整理得L+y'2=l,即土+丁=1

4-4

故选C项.

【点睛】

本题考查通过坐标伸缩变换求曲线方程，属于简单题.

10.直线氐—y+1=0的倾斜角的大小为（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

【答案】B

【解析】

【分析】

【详解】

由直线方程氐->+1=0,可知直线的斜率左=石，

设直线的倾斜角为贝!Itana=若，

又。€[0。,180。），所以c=60。，

故选B.

11.用0,1,•••,9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为（）

A.243

B.252

C.261

D.279

【答案】B

【解析】

由分步乘法原理知:用0,1,・・.，9十个数字组成的三位数（含有重复数字的）共有9x10x10=900,组成无重

复数字的三位数共有9x9x8=648,因此组成有重复数字的三位数共有900-648=1.

12.某研究性学习小组调查研究学生使用智能手机对学习的影响，部分统计数据如表

使用智能手机不使用智能手机合计

T1月成啧优秀4812

学习幽绩不优秀16218

合计201030

_____.-

(参考公式：K2=-------------------------，其中〃=a+Z?+c+d.)

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

附表:

2

P(K>k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001

k。2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

则下列选项正确的是（）

A.有99.5%的把握认为使用智能手机对学习有影响

B.有99.5%的把握认为使用智能手机对学习无影响

C.有99.9%的把握认为使用智能手机对学习有影响

D.有99.9%的把握认为使用智能手机对学习无影响

【答案】A

【解析】

分析：根据列联表中数据利用公式求得R2，与邻界值比较，即可得到结论.

详解：根据卡方公式求得K2=3°（8T28）=J。，

20x10x12x18

7.897<K2<10.828，

•••该研究小组有99.5%的把握认为中学生使用智能手机对学生有影响，故选A.

点睛：独立性检验的一般步骤：（1）根据样本数据制成2x2列联表；（2）根据公式

K2=-————^计算Kz的值；（3）查表比较长2与临界值的大小关系，作统计判断.

［a+b）［a+d）［a+c）［b+d）

二、填空题：本题共4小题

13.向量a/的夹角为60°,且同=2,同=1则a.（a+2Z?）=.

【答案】6

【解析】

【分析】

由题意，利用向量的数量积的运算，可