武汉元调数学试卷含答案解析

2016-2017武汉元调数学试卷含答案解析

考试时间120分钟，总分120分

一、选择题

1.从下列四张卡片中任取一张，卡片上的图形既是轴对称又是中心对称图形的

概率是()

113.

A•彳B.2C.WD.1

2.方程(x-1)(x+2)=x-l的解是()

A.-2B.1,-2C.-1,1D.-1,3

3.由二次函数y=3(x-4)2-2,可知()

A.其图象的开口向下B.其图象的对称轴为直线x=-4

C.其最小值为2D.当x<3时，y随x的增大而减小

4.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则反比例函数尸且■与一次函数y=bx+c

X

在同一坐标系中的大致图象是()

5.如图，C,D是以线段AB为直径的。O上两点，若CA=CD,且NACD=30。，则

NCAB=()

c

A.15°B.20°C.25°D.30°

6.如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线于点F,若

SADEC=9,则SABCF=()

A.6B.8C.10D.12

7.如图，MN是。。的直径，MN=4,NAMN=30。，点B为弧AN的中点，点P

是直径MN上的一个动点，则PA+PB的最小值为()

A.2B.2匹C.4&D.4

8.某市2015年国内生产总值(GDP)比2014年增长了10%,由于受到国际金

融危机的影响，预计2016年比2015年增长6%,若这两年GDP年平均增长率为

x%,则X%满足的关系是()

A.10%+6%=x%B.(1+10%)(1+6%)=2(1+x%)

C.(1+10%)(1+6%)=(1+x%)2D.10%+6%=2«x%

二次函数2的图象与轴交于点、

9.y=x2+(2m-1)x+m-1xA(xi,0)B(x2,0),

且XI2+X22=33,则m的值为()

A.5B.-3c.5或-3D.以上都不对

10.在四边形ABCD中，ZB=90°,AC=4,AB〃CD,DH垂直平分AC,点H为垂

足，设AB=x,AD=y,则y关于x的函数关系用图象大致可以表示为()

11.如图，在。。中，AB是直径，点D是。0上一点，点C是弧AD的中点，弦

CE_LAB于点E,过点D的切线交EC的延长线于点G,连接AD,分别交CE、CB

于点P、Q,连接AC,给出下列结论：①NDAC=NABC；②AD=CB；③点P是4

ACQ的外心；④AC2=AE・AB；⑤CB〃GD,其中正确的结论是()

G

A.①③⑤B.②④⑤C.①②⑤D.①③④

12.二次函数y=ax2+bx+c(a#0)的部分图象如图所示，图象过点(-1,0),

对称轴为直线x=2,系列结论:(1)4a+b=0；(2)4a+c>2b；(3)5a+3c>0；(4)

若点A(-2,y])，点B(券，y2)，点C(晟，y2)在该函数图象上，则y】Vy3V

丫2；(5)若mW2,则m(am+b)>2(2a+b),其中正确的结论有()

A.2个B.3个C.4个D.5个

二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分)

13.如图，ZSABC中，D为BC上一点，ZBAD=ZC,AB=6,BD=4,贝CD的长为

14.PA,PB分别切。0于A,B两点，点C为。。上不同于AB的任意一点，已

知NP=40。，则NACB的度数是

15.如图，在Rt^ABC中，ZACB=90°,AC=^以点C为圆心，CB的长为半径

画弧，与AB边交于点D,将标绕点D旋转180。后点B与点A恰好重合，则图中

阴影部分的面积为一.

16.如图，反比例函数y=K(x>0)的图象经过矩形OABC对角线的交点M,分

X

别与AB、BC相交于点D、E.若四边形ODBE的面积为6,则k的值为.

三、解答题(本大题共6小题，共64分)

17.已知：AABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A(0,3)、B(3,

4）、C（2,2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）.

（1）画出4ABC向下平移4个单位长度得到的△AiBiJ,点Ci的坐标是；

（2）以点B为位似中心，在网格内画出4A2B2c2,使aAzB2c2与4ABC位似，且

位似比为2：1,点C2的坐标是；

18.某中学举行演讲比赛，经预赛，七、八年级各有一名同学进入决赛，九年级

有两名同学进入决赛.

（1）请直接写出九年级同学获得第一名的概率是一；

（2）用列表法或是树状图计算九年级同学获得前两名的概率.

19.某商场试销一种成本为每件50元的服装，规定试销期间销售单价不低于成

本单价，且获利不得高于40%,经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）

符合一次函数y=kx+b,且x=60时，y=50；x=70时，y=40.

（1）求一次函数y=kx+b的表达式；

（2）若该商场获得利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；

销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？

20.如图，矩形OABC的顶点A,C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为（4,6）.双

曲线y=K（x>0）的图象经过BC的中点D,且与AB交于点E,连接DE.

X

（1）求k的值及点E的坐标；

（2）若点F是边上一点，且△BCFs^EBD,求直线FB的解析式.

21.如图，在AABC中，AB=AC,AE是NBAC的平分线，NABC的平分线BM交

AE于点M,点。在AB上，以点。为圆心，0B的长为半径的圆经过点M,交

BC于点G,交AB于点F.

（1）求证：AE为。。的切线；

（2）当BC=4,AC=6时，求。。的半径；

（3）在（2）的条件下，求线段BG的长.

22.如图，抛物线y=ax?+bx+c（aWO）与y轴交于点C（0,4）,与x轴交于点A

和点B,其中点A的坐标为（-2,0）,抛物线的对称轴x=l与抛物线交于点D,

与直线BC交于点E.

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点F是直线BC上方的抛物线上的一个动点，是否存在点F使四边形ABFC

的面积为17,若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）平行于DE的一条动直线I与直线BC相交于点P,与抛物线相交于点Q,若

以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标.

2016-2017学年山东省日照市五莲县九年级(上)期末数

学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共12小题，其中1-8小题每小题3分，9-12小题每小题3

分，共40分)

1.从下列四张卡片中任取一张，卡片上的图形既是轴对称又是中心对称图形的

概率是()

11

A.—B.—C.—D.1

424

【考点】概率公式；轴对称图形；中心对称图形.

【分析】根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目；②

全部情况的总数.二者的比值就是其发生的概率的大小.

【解答】解：•••四张卡片中任取一张既是轴对称又是中心对称图形的有2张，

...卡片上的图形既是轴对称又是中心对称图形的概率是¥=七，

42

故选：B.

2.方程(x-1)(x+2)=x-l的解是()

A.-2B.1,-2C.-1,1D.-1,3

【考点】解一元二次方程-因式分解法.

【分析】移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可.

【解答】解:移项得：(x-1)(x+2)-(x-1)=0,

(x-1)[(x+2)-1]=0,

x-1=0,x+2-1=0,

x=l或-1,

故选c.

3.由二次函数y=3(x-4)2-2,可知()

A.其图象的开口向下B.其图象的对称轴为直线x=-4

C.其最小值为2D.当xV3时，y随x的增大而减小

【考点】二次函数的性质；二次函数的最值.

【分析】由抛物线解析式可求得其开口方向、对称轴、最值及增减性，可求得答

案.

【解答】解：

*.,y=3(x-4)2-2,

，抛物线开口向上，故A不正确；

对称轴为x=4,故B不正确；

当x=4时，y有最小值-2,故C不正确；

当xV3时，y随x的增大而减小，故D正确；

故选D.

4.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则反比例函数尸且与一次函数y=bx+c

X

在同一坐标系中的大致图象是()

【考点】二次函数的图象；一次函数的图象；反比例函数的图象.

【分析】先根据二次函数的图象开口向下可知aVO,再由函数图象经过原点可

知c=0,利用排除法即可得出正确答案.

【解答】解：•••二次函数的图象开口向下，

...反比例函数丫=且的图象必在二、四象限，故A、C错误；

X

•.•二次函数的图象经过原点，

/.c=0,

...一次函数y=bx+c的图象必经过原点，故B错误.

故选D.

5.如图，C,D是以线段AB为直径的。。上两点，若CA=CD,且NACD=30。，则

ZCAB=()

A.15°B.20°C.25°D.30°

【考点】圆周角定理；等腰三角形的性质.

【分析】根据等腰三角形的性质先求出NCDA,根据NCDA=NCBA,再根据直径

的性质得NACB=90。，由此即可解决问题.

【解答】解：VZACD=30°,CA=CD,

/.NCAD=NCDA175°,

2

/.ZABC=ZADC=75O,

TAB是直径,

ZACB=90°,

AZCAB=90°-ZB=15",

故选A.

6.如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线于点F,若

SADEC=9,则SABCF=()

E,D

------------1

A.6B.8C.10D.12

【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质.

【分析】根据平行四边形的性质得到AD〃BC和△DEFS^BCF,由已知条件求出

△DEF的面积，根据相似三角形的面积比是相似比的平方得到答案.

【解答】解：•••四边形ABCD是平行四边形，

，AD〃BC,AD=BC,

.'.△DEF^ABCF,

.EF=DES^DEF=zDE)2

，，，

CF-BCSABCF"BC'

•..E是边AD的中点，

.,.DE=—AD=—BC,

22

.EF_1

,,CE-T,

...△DEF的面积=2SADEC=3,

SABCF=12；

故选D.

7.如图，MN是。。的直径，MN=4,ZAMN=30°,点B为弧AN的中点，点P

是直径MN上的一个动点，则PA+PB的最小值为（）

A.2B.25/2C.4我D.4

【考点】圆周角定理；轴对称-最短路线问题.

【分析】过A作关于直线MN的对称点N,连接A，B,由轴对称的性质可知A，B

即为PA+PB的最小值，由对称的性质可知病不，，再由圆周角定理可求出N

AON的度数，再由勾股定理即可求解.

【解答】解：过A作关于直线MN的对称点A，，连接AB,由轴对称的性质可知

AB即为PA+PB的最小值，

连接OB,OA，，AA\

•••AA，关于直线MN对称，

AhFA'

ZAMN=30°,

AZA,ON=60°,ZBON=30",

...NA'OB=90°,

过。作OQLAB于Q,

在Rt^AOQ中，OA'=2,

.•.A'B=2A'Q=2、&，

即PA+PB的最小值2、门.

故选B.

8.某市2015年国内生产总值(GDP)比2014年增长了10%,由于受到国际金

融危机的影响，预计2016年比2015年增长6%,若这两年GDP年平均增长率为

x%,则x%满足的关系是()

A.10%+6%=x%B.(1+10%)(1+6%)=2(1+x%)

C.(1+10%)(1+6%)=(1+x%)2D.10%+6%=2・x%

【考点】由实际问题抽象出一元二次方程.

【分析】根据平均增长率：a(1+x)n,可得答案.

【解答】解：由题意，得

(1+10%)(1+6%)=(1+x%)2,

故选：c.

2

9.二次函数y=x?+(2m-1)x+m-1的图象与x轴交于点A(xi，0)、B(x2,0),

且XI2+X22=33,则m的值为()

A.5B.-3c.5或-3D.以上都不对

【考点】抛物线与x轴的交点.

【分析】二次函数解析式令y=0得到关于x的一元二次方程，利用根与系数关系

表示出两根之和与两根之积，已知等式变形后代入求出m的值即可.

【解答】解：令y=0,得到x2+(2m-1)x+m2-1=0,

•.•二次函数图象与x轴交于点A(xi，0)、B(x2,0),且X，+X22=33,

.".Xi+X2=-(2m-1),xiX2=m2-1,△=(2m-1)2-4(m2-1)20,

(X1+X2)2-2x1X2=(2m-1)2-2(m2-1)=33,

整理得：m2-2m-15=0,即(m-5)(m+3)=0,

解得：m=5或m=-3,

当m=5时，二次函数为y=x2+9x+24,此时4=81-96=-15<0,与x轴没有交点,

舍去，

则m的值为-3,

故选B

10.在四边形ABCD中，ZB=90°,AC=4,AB〃CD,DH垂直平分AC,点H为垂

【考点】动点问题的函数图象.

【分析】先利用线段垂直平分线的性质得到AD=CD=y,AH=CH=1AC=2,Z

CHD=90°,再证明ACDHs/SACB,则利用相似比可得到y=g(0VXV4),然后利

X

用反比例函数的图象和自变量的取值范围对各选项进行判断.

【解答】解：〈DH垂直平分AC,

，AD=CD=y,AH=CH=,AC=2,NCHD=90。，

•.,CD〃AB,

AZDCH=ZBAC,

.,.△CDH^AACB,

.CD_CHy_2

/.y=—(0<x<4).

X

故选B.

11.如图，在。。中，AB是直径，点D是上一点，点C是弧AD的中点，弦

CEJ_AB于点E,过点D的切线交EC的延长线于点G,连接AD,分别交CE、CB

于点P、Q,连接AC,给出下列结论：①NDAC=NABC；②AD=CB；③点P是4

ACQ的外心；④AC2=AE・AB；⑤CB〃GD,其中正确的结论是()

A.①③⑤B.②④⑤C.①②⑤D.①③④

【考点】相似三角形的判定与性质；垂径定理；圆周角定理；射影定理.

【分析】在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，据此推理可得①正确，

②错误；通过推理可得NACE=NCAP,得出AP=CP,再根据NPCQ=NPQC,可得

出PC=PQ,进而得到AP=PQ,即P为RtAACQ斜边AQ的中点，故P为RtAACQ

的外心，即可得出③正确；连接BD,则NADG=NABD,根据NADGW/BAC,Z

BAC=NBCE=NPQC,可得出NADGWNPQC,进而得到CB与GD不平行，可得⑤

错误.

【解答】解：•••在。0中，点C是俞的中点，

••AC=CD，

，NCAD=NABC,故①正确；

;同W标，

.•.ADWBC,故②错误；

••♦AB是。。的直径，

ZACB=90°,

XVCE1AB,

，ZACE+ZCAE=ZABC+ZCAE=90°,

NACE=NABC,

又；C为菽的中点，

.---

••AC=CD，

，NCAP=/ABC,

，NACE=NCAP,

；.AP=CP,

VZACQ=90°,

NACP+/PCQ=/CAP+NPQC=90°,

NPCQ=NPQC,

PC=PQ,

AP=PQ,即P为RtAACQ斜边AQ的中点,

，P为RtZXACQ的外心,故③正确；

VAB是。0的直径，

/.ZACB=90°,

XVCE1AB

•••根据射影定理，可得AC2=AE・AB,故④正确;

如图，连接BD,贝IJNADG=NABD,

••,箴#箴,

•*-AD^BC*

,NABDWNBAC,

.♦.NADGWNBAC,

又•:NBAC=NBCE=NPQC,

NADGW/PQC,

.•.CB与GD不平行，故⑤错误.

故答案为：D.

12.二次函数y=ax2+bx+c(aWO)的部分图象如图所示，图象过点(-1,0),

对称轴为直线x=2,系列结论：(1)4a+b=0；(2)4a+c>2b；(3)5a+3c>0；(4)

若点A(-2,yi),点B*，y2),点C唠，yz)在该函数图象上，则y】<y3V

y2；(5)若m#2,则m(am+b)>2(2a+b),其中正确的结论有()

A.2个B.3个C.4个D.5个

【考点】二次函数图象与系数的关系.

【分析】根据对称轴可判断(1);根据当x=-2时yVO可判断(2)；由图象过

点(-1,0)知a-b+c=O,即c=-a+b=-a-4a=-5a,从而得5a+3c=5a-15a=

-10a,再结合开口方向可判断(3)；根据二次函数的增减性可判断(4)；根据

函数的最值可判断(5).

【解答】解：•••抛物线的对称轴为x=-2=2,

b=-4a>即4a+b=0,故(1)正确;

由图象知，当x=-2时，y=4a-2b+c<0,

，4a+cV2b,故(2)错误；

•.•图象过点(-1,0),

a-b+c=O,即c=-a+b=-a-4a=-5a,

5a+3c=5a-15a=-10a,

•••抛物线的开口向下，

/.a<0,

则5a+3c=-10a>0,故(3)正确;

由图象知抛物线的开口向下，对称轴为x=2,

二离对称轴水平距离越远，函数值越小，

，yiVy2V丫3，故(4)错误；

•.•当x=2时函数取得最大值，且m#2,

am2+bm+c<4a+2b+c,即m(am+b)<2(2a+b),故(5)错误；

故选:A.

二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分)

13.如图，Z^ABC中，D为BC上一点，NBAD=NC,AB=6,BD=4,则CD的长为

5

【考点】相似三角形的判定与性质.

【分析】易证△BADSaBCA,然后运用相似三角形的性质可求出BC,从而可得

到CD的值.

【解答】解：•.•/BAD=NC,ZB=ZB,

.,.△BAD^ABCA,

•BA_BD

■

VAB=6,BD=4,

...—6=一4，

BC6

BC=9,

.,.CD=BC-BD=9-4=5.

故答案为5.

14.PA,PB分别切。。于A,B两点，点C为。。上不同于AB的任意一点，已

知/P=40。，则NACB的度数是70。或11是.

【考点】切线的性质.

【分析】连接OA、OB,可求得NAOB,再分点C在篇上和冠上，可求得答案.

【解答】解：

如图，连接OA、OB,

VPA,PB分别切。。于A,B两点，

NPAO=/PBO=90°,

ZAOB=360°-90°-90°-40°=140°,

当点Cl在冠上时，则NAC1B=,NAOB=70。,

当点C2在标上时，则NAC2B+NACIB=180°,

.,.ZAC2B=IIO°,

故答案为：70。或110。.

15.如图，在RtaABC中，ZACB=90°,AC=。以点C为圆心，CB的长为半径

画弧，与AB边交于点D,将丽绕点D旋转180。后点B与点A恰好重合，则图中

【考点】扇形面积的计算；中心对称图形.

【分析】阴影部分的面积=三角形的面积一扇形的面积，根据面积公式计算即可.

【解答】解：由旋转可知AD=BD,

VZACB=90°,AC=A/3，

，CD=BD,

VCB=CD,

.,.△BCD是等边三角形，

.,.ZBCD=ZCBD=60°,

，BC=1,

...阴影部分的面积=喙-小，

故答案为：

26

16.如图，反比例函数y=a(x>0)的图象经过矩形OABC对角线的交点M,分

X

别与AB、BC相交于点D、E.若四边形ODBE的面积为6,则k的值为2.

【考点】反比例函数综合题.

【分析】设M点坐标为(a,b),而M点在反比例函数图象上，则k=ab,即y=生,

X

由点M为矩形OABC对角线的交点，根据矩形的性质易得A(2a,0),C(0,2b),

B(2a,2b),利用坐标的表示方法得到D点的横坐标为2a,E点的纵坐标为2b,

而点D、点E在反比例函数y=生的图象上(即它们的横纵坐标之积为ab),可

X

得D点的纵坐标为巧-b,E点的横坐标为此，利用S矩形OABC=SAOAD+SAOCE+S四边形ODBE,

得至U2a*2b=-^-*2a»-^b+y*2b*ya+6,求出ab,即可得到k的值.

【解答】解：设M点坐标为(a,b),则1<=2>即丫=生，

x

•.,点M为矩形OABC对角线的交点，

AA(2a,0),C(0,2b),B(2a,2b),

，D点的横坐标为2a,E点的纵坐标为2b,

又•.•点D、点E在反比例函数y0■的图象上，

X

，D点的纵坐标为gb,E点的横坐标为［a,

22

•S矩形。ABC二S/\OAD+S/、OCE+S四边形ODBE，

2ae2b=-^-e23e—b+---e2be-a+6,

2222

ab=2,

：•k=2.

故答案为2.

三、解答题（本大题共6小题，共64分）

17.已知：^ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0,3）、B（3,

4）、C（2,2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）.

（1）画出^ABC向下平移4个单位长度得到的△AiBiCi,点Ci的坐标是（2,

-2）；

（2）以点B为位似中心，在网格内画出4A2B2c2,使4A2B2c2与4ABC位似，且

位似比为2：1,点C2的坐标是（1,的；

【考点】作图-位似变换；作图-平移变换.

【分析】（1）利用平移的性质得出平移后图象进而得出答案;

（2）利用位似图形的性质得出对应点位置即可；

（3）利用等腰直角三角形的性质得出4A2B2c2的面积.

【解答】解:（1）如图所示:Ci（2,-2）；

故答案为：（2,-2）；

（2）如图所示：C2（1,0）；

故答窠为：（1,0）；

2

(3);A2c22=20,B2C2=20,A2B2=40,

AA2B2C2是等腰直角三角形，

.,.△A2B2c2的面积是：920=10平方单位.

18.某中学举行演讲比赛，经预赛，七、八年级各有一名同学进入决赛，九年级

有两名同学进入决赛.

（1）请直接写出九年级同学获得第一名的概率是白；

（2）用列表法或是树状图计算九年级同学获得前两名的概率.

【考点】列表法与树状图法.

【分析】（1）根据概率公式可得；

（2）根据题意先画出树状图，得出所有情况数，再根据概率公式即可得出答案.

【解答】解：（1）九年级同学获得第一名的概率是§=春，

42

故答案为：y;

（2）画树状图如下:

二九年级同学获得前两名的概率为l=看.

1ZO

19.某商场试销一种成本为每件50元的服装，规定试销期间销售单价不低于成

本单价，且获利不得高于40%,经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）

符合一次函数y=kx+b,且x=60时，y=50；x=70时，y=40.

（1）求一次函数y=kx+b的表达式；

(2)若该商场获得利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；

销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？

【考点】二次函数的应用.

【分析】(1)待定系数法求解可得；

(2)根据总利润=单件利润X销售量列出函数解析式,再结合自变量的取值范围,

依据二次函数的性质可得函数的最值情况.

【解答】解：⑴根据题意得一日+14,

l70k+b=40

解得：产J,

[b=UO

,一次函数的表达式为y=-x+110；

(2)W=(x-50)(-x+100)=-x2+160x-5500,

•.•销售单价不低于成本单价，且获利不得高于40%,即50WxW50X(1+40%),

，50WxW70,

.当x=--^-=80时不在范围内，

2a

.•.当x=70时，W最大=800元，

答：销售单价定为70元时，商场可获得最大利润，最大利润是800元.

20.如图矩形OABC的顶点A,C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为(4,6).双

曲线y上(x>0)的图象经过BC的中点D,且与AB交于点E,连接DE.

X

(1)求k的值及点E的坐标；

(2)若点F是边上一点，且△BCFs^EBD,求直线FB的解析式.

【考点】反比例函数综合题.

【分析】(1)由条件可先求得点D的坐标，代入反比例函数可求得k的值，又由

点E的位置可求得E点的横坐标，代入可求得E点坐标；

(2)由相似三角形的性质可求得CF的长，可求得OF,则可求得F点的坐标,

利用待定系数法可求得直线FB的解析式.

【解答】解：

(1)在矩形OABC中，

/B(4,6),

•.BC边中点D的坐标为(2,6),

.•又曲线y=K的图象经过点(2,6),

x

*.k=12,

/E点在AB上，

••E点的横坐标为4,

；丫=丝经过点E,

X

•.E点纵坐标为3,

,.E点坐标为(4,3)；

(2)由(1)得，BD=2,BE=3,BC=4,

△FBC^ADEB,

瞿嘴,即

CFCBCF4

rc8

CF=7

OF=¥»,即点F的坐标为（o,-^），

oJ

设直线FB的解析式为y=kx+b,而直线FB经过B(4,6),F(0,£■),

4k+b=6

，解得，

...直线BF的解析式为y=£x+与.

OJ

21.如图，在AABC中，AB=AC,AE是NBAC的平分线，NABC的平分线BM交

AE于点M,点。在AB上，以点。为圆心，OB的长为半径的圆经过点M,交

BC于点G,交AB于点F.

（1）求证：AE为。。的切线；

（2）当BC=4,AC=6时，求。。的半径；

（3）在（2）的条件下，求线段BG的长.

【考点】圆的综合题.

【分析】（1）连接0M,如图1,先证明OM〃BC,再根据等腰三角形的性质判

断AE_LBC,则OM_LAE,然后根据切线的判定定理得到AE为。。的切线；

（2）设。。的半径为r,利用等腰三角形的性质得到BE=CE=4BC=2,再证明△

AOM-AABE,则利用相似比得到看=!三，然后解关于r的方程即可；

26

（3）作OH_LBE于H,如图，易得四边形OHEM为矩形，则HE=OM=-|,所以

BH=BE-HE=i,再根据垂径定理得到BH=HG=L,所以BG=1.

22

【解答】（1）证明：连接。M,如图1,

VBM是NABC的平分线，

AZOBM=ZCBM,

VOB=OM,

/.ZOBM=ZOMB,

/.ZCBM=ZOMB,

，OM〃BC,

VAB=AC,AE是NBAC的平分线,

/.AE±BC,

/.OM±AE,

，AE为。。的切线；

（2）解：设。。的半径为r,

VAB=AC=6,AE是NBAC的平分线,

.•.BE=CE=,BC=2,

•.,OM〃BE,

/.△AOM^AABE,

•••祟黑即尹与工解得W，

BEAB262

即设。0的半径为赛

(3)解：作OH1BE于H,如图，

VOM1EM,ME1BE,

二四边形OHEM为矩形,

AHE=OM=4，

2

31

.\BH=BE-HE=2-

22

VOH±BG,

BH=HG=—,

2

BG=2BH=1.

22.如图，抛物线y=ax?+bx+c(aWO)与y轴交于点C(0,4),与x轴交于点A

和点B,其中点A的坐标为(-2,0),抛物线的对称轴x=l与抛物线交于点D,

与直线BC交于点E.

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点F是直线BC上方的抛物线上的一个动点，是否存在点F使四边形ABFC

的面积为17,若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)平行于DE的一条动直线I与直线BC相交于点P,与抛物线相交于点Q,若

以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标.

【考点】二次函数综合题；待定系数法求一次函数解析式；平行四边形的判定.

【分析】方法一：

(1)先把C(0,4)代入y=ax2+bx+c,得出c=4①，再由抛物线的对称轴x=-上

=1,得到b=-2a②，抛物线过点A(-2,0),得到0=4a-2b+c③，然后由①②

③可解得，a=-1,b=l,c=4,即可求出抛物线的解析式为y=-^x2+x+4；

(2)假设存在满足条件的点F,连结BF、CF、OF,过点F作FH_Lx轴于点H,

FG_Ly轴于点G.设点F的坐标为(t,-#+t+4),则FH=-m+1+4,FG=t,先

2

根据三角形的面积公式求出SAOBF=yOB«FH=-t+2t+8,SAoFC=yOC»FG=2t,再由

S四边形ABFC=SAAOC+SAOBF+SAOFC，得至US四边形ABFC=-t2+4t+12.令-t2+4t+12=17,即t2

-4t+5=0,由△=(-4)2-4X5=-4V0,得出方程t?-4t+5=0无解，即不存在

满足条件的点F；

(3)先运用待定系数法求出直线BC的解析式为y=-x+4,再求出抛物线y=-£

x?+x+4的顶点D(1,-1),由点E在直线BC上，得到点E(1,3),于是DE=>|•-

3=-|.若以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，因为DE〃PQ,只须DE=PQ,

设点P的坐标是(m,-m+4),则点Q的坐标是(m,-ym2+m+4).分两种情

况进行讨论：①当0Vm<4时，PQ=(--i-m2+m+4)-(-m+4)=-4rm2+2m,

解方程-3m2+2m=>|,求出m的值，得到Pi(3,1)；②当m<0或m>4时，

PQ=(-m+4)-(-%r)2+m+4)=当4-2m,解方程/悟-2m=y,求出m的

值,得到P2(2+77,2-巾),P3(2-V7,2+5/7)•

方法二：

(1)略.

(2)利用水平底与铅垂高乘积的一半，可求出aBCF的面积函数，进而求出点F

坐标，因为，所以无解.

(3)因为PQ〃DE,所以只需PQ=AC即可，求出PQ的参数长度便可列式求解.

【解答】方法一：

解：(1),抛物线y=ax?+bx+c(aWO)过点C(0,4),

c=4①.

,对