2023年高考分类题库考点48 离散型随机变量及其分布列、离散型随机变量的均值与方差

考点48离散型随机变量及其分布列、离散型随机变量的均值与方差17.(2023·全国乙卷·理科·T17)某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应,进行10次配对试验,每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品,随机地选其中一个用甲工艺处理,另一个用乙工艺处理,测量处理后的橡胶产品的伸缩率.甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为xi,yi(i=1,2,…,10).试验结果如下:试验序号i12345678910伸缩率xi545533551522575544541568596548伸缩率yi536527543530560533522550576536记zi=xi-yi(i=1,2,…,10),记z1,z2,…,z10的样本平均数为z,样本方差为s2.(1)求z,s2;(2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高如果z≥2s210,则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高,否则不认为有显著提高.【解析】(1)x=545+533+551+522+575+544+541+568+596+548=552.3,y=536+527+543+530+560+533+522+550+576+536=541.3,z=x-y=552.3-541.3=11,zi=xi-yi的值分别为:9,6,8,-8,15,11,19,18,20,12,故s2=(9-11)=61(2)由(1)知:z=11,2s210=26.1=24.4,故有z≥2所以认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高.19.(2023·全国甲卷·理科·T19)为探究某药物对小鼠的生长抑制作用,将40只小鼠均分为两组,分别为对照组(不加药物)和实验组(加药物).(1)设其中两只小鼠中对照组小鼠数目为X,求X的分布列和数学期望;(2)测得40只小鼠体重如下(单位:g):(已按从小到大排好)对照组:17.318.420.120.421.5 23.2 24.6 24.8 25.0 25.4 26.1 26.3 26.4 26.5 26.8 27.0 27.4 27.5 27.6 28.3实验组: 5.4 6.6 6.8 6.9 7.8 8.2 9.4 10.0 10.4 11.2 14.4 17.3 19.2 20.2 23.6 23.8 24.5 25.1 25.2 26.0(i)求40只小鼠体重的中位数m,并完成下面2×2列联表:<m≥m对照组实验组(ii)根据2×2列联表,能否有95%的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用.参考数据:P(K2≥k0)2.7063.8416.635k00.100.050.010【解析】(1)依题意,X的可能取值为0,1,2,则P(X=0)=C200CP(X=1)=C201CP(X=2)=C202C所以X的分布列为X012P192019故E(X)=0×1978+1×2039+2×1978(2)(i)依题意,可知这40只小鼠体重的中位数是将两组数据合在一起,从小到大排后第20位与第21位数据的平均数,由于原数据已经排好,所以我们只需要观察对照组数据与实验组数据即可,可得第11位数据为14.4,后续依次为17.3,17.3,18.4,19.2,20.1,20.2,20.4,21.5,23.2,23.6,…,故第20位数据为23.2,第21位数据为23.6,所以m=23.2+23.62=23.4故列联表为:<m≥m对照组614实验组146