初中数学九年级《图形与证明》教学案及课时练习

初中数学九年级《图形与证明》教学案及课时练习

1.1-1.2等腰三角形的性质和判定、直角三角形全等的判定

学习目标：通过对本章知识的小结与梳理，进一步掌握等腰三角形的性质和判定、直角三角

形全等的判定、角平分线的性质定理与判定定理、特殊四边形（平行四边形、矩

形、菱形、正方形）的定义、性质和判定；等腰梯形的性质和判定；中位线定理,

并会灵活运用.

学习难点：性质定理和判定定理的应用

课前预习1.根据“等腰三角形，等腰梯形的性质定理与判定定理，直角三角形全等的判定

定理，角平分线的性质定理与判定定理，三角形中位线定理等。”填表：

图形名称图形性质（符号语言）判定（符号语言）

等腰三角形

等腰梯形

角平分线

线段的垂直平分线

三角形中位线

梯形中位线

平行四边形

矩形

菱形

正方形

直角三角形全等的判定方法有：。

知识梳理

1、我们学习了四边形和一些特殊的四边形，右图表示了在某种条件下它们之间的关系。如

果①，②两个条件分别是：①两组对边分别平行；②有且只有一组对边平行。那么请你对标

上的其他6个数字序号写出相对应的条件。

例题分析

3、如图，在△ABC中，。是BC边上的一点，E是4。的中点，过A点作8c的平行线交

CE的延长线于点凡且A尸=B。，连结B凡

E

(1)求证：BD=CD；

(2)如果AB=AC,试判断四边形AFBZ)的形状，并证明你的结论。

【课后作业】

1.平行四边形ABCD中，如果NA=55°,那么NC的度数是

(A)45°(B)55°(C)125°(D)145°

2.如图1,在aABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BC=12,则DE的长

是

(A)4(B)5(C)6(D)7

3、己知:如图,在矩形ABCD中,E、F分别是边BC、AB上的点，且EF=ED,EF±

ED.

求证:AE平分NBAD.

4、如图11,已知AA6C中，。是A3中点，E

是AC上的点，且NA5E=N84C,EF//

AB,DF//BE,

⑴猜想DF与AE有怎样的特殊关系？

------------

⑵证明你的猜想.图1

5、如图，在DABCD中，NDAB=60。，点E、F分别在CD、AB的延长线上，

且AE=AD,CF=CB.

(1)求证：四边形AFCE是平行四边形；(2)若去掉已知条件的“NDAB=60。,

上述的结论还成立吗?若成立，请写出证明

程；若不成立，请说明理由.

L3平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判定

【学习目标】......................

1、根据平行四边形、矩形、菱形与正方形之间的关系，归纳出正方形的判定定理

2、能运用正方形的判定定理进行简单的计算与证明

3、能运用正方形的性质定理与判定定理进行比较简单的综合推理与证明

....［璋前预句］....................

1.正方形的定义是_______________________________________________________________

2.正方形的性质有_______________________________________________________________

.3如图，将一张长方形纸片对折两次，然后剪下一个角，打开.如_

果要剪出一个正方形，那么剪口线与折痕成（）翻£墓萨7

A.22.5°B.3（rC.45°D.60八、Q

...【知识梳理】......................（第5题图）

1、菱形添加一个怎样的条件可以成为正方形？试证明。

2、矩形添加一个怎样的条件可以成为正方形呢？试证明？

3.小结：判定正方形的方法：

定义：____________________________________________________________________________

定理：（1）________________________________________________________________

（2）_____________________________________________________________________

典例分析

例1:己知：如图，E、F、G、H分别是正方形各边的中点，AF、BG、CH、DE分别两两相

交于点A，、B\C\D，.求证：四边形是正方形.

（是否还有其他证明方法？与同学交流）

拓展与延伸：若点E、F、G、H分别在正方形ABCD的各边上，且AE=BF=CG=DH,则四

边形A，B，C'D'还是正方形吗?证明你的结论。

H

BFC

课后巩固

1.已知：如图，点A'、B\C'、D分别是正方形ABCD四条边上的点，并且AA，=BB'=CC'

=DD'»求证：四边形A，B，C，D，是正方形

2.如图，AABC中，ZACB=90°,CD平分NACB,DE±AC,DF±BC,E、F是垂足。

求证：四边形DECF是正方形。

3.如图：已知在△A6C中，AB=AC,。为BC边的中点，过点。作

DE±AB,DF±AC,

垂足分别为EF.

(1)求证：ABED%ACFD；

(2)若NA=90°,求证：四边形OE4E是正方形.

4、已知：1如图，在RtZiABC中，ZACB=90°,CD是角平分线，DE_LAC,DF_LBC,垂

足分别为E、F。求证：四边形ECFD是正方形。

FB

1.4等腰梯形的性质和判定

学习目标

1、会能证明等腰梯形的性质定理和判定定理。

2、逐步学会分析和综合的思考方法，发展思考能力。

3、经历证明的过程，不断感受证明的必要性、感受合情推理和演绎推理都是人

们正确认识事物的重要途径。

4、感受探索活动中所体现的转化的数学思想方法。

课前预习

一、知识准备：

我们曾用等腰三角形剪出了等腰梯形并探索得到等腰梯形的

性质和判定，请你回忆等腰梯形的相关知识。

1.等腰梯形概念：的图形叫做等腰梯形?

2.等腰梯形的判定：

3.等腰梯形的性质：

现在我们来证明等腰梯形的这一些结论。人

知识梳理：/\

判定定理：在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形.0/

已知：求证：/

等腰梯形的性质定理：/

定理I、等腰梯形同一底上的两底角相等。BZ----

定理2、等腰梯形的两条对角线相等。

三、例题分析

1、如图，等腰梯形A3C。中，点E是延长线上一点，DE=BC.

(1)求证：/E=NDBC；

(2)判断aACE的形状(不需要说明理由).

图2

2、如图2,在梯形A3CO中，AD〃BC,点E是8C边的中点，EMLAB,ENLCD,

垂足分别为M、N且EM=EN.

求证：模形ABCD是等腰梯形。

课后巩固

1.如图，在梯形A8CO中，AB//CD,AD=BC,延长A3到E,使BE=CD.求

证:AC=C£

4.用一块面积为450cm?的等腰梯形彩纸做风筝，为了牢固起见,用竹条做梯形

的对角线,对角线恰好互相垂直，那么至少需要竹条cm.

5.如图，在等腰梯形ABCD中,E为CD的中点,EF_LAB于F,如果AB=6,EF=5,

求梯形ABCD的面积.

6.如图，在梯形ABCD中，AD〃BC,<B=90°,AD=24cm,AB=8cm,BC=26cm,

动点P从A点开始沿AD边以1cm/秒的速度向D运动，动点Q从C点开始沿

CB边以3cm/秒的速度向B运动，P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到

端点时，另一点也随之停止运动。设运动时间为t秒，t分别为何值时，四边形

PQCD是平行四边形、等腰梯形？

BC

1.5中位线(1)

学习目标

能识别三角形的中位线;

能证明三角形中位线定理;

能用三角形中位线定理解决其它相关问题；*

预习提纲：/V-----

1.如图，点O为ABCD对角线的交点，//\

过0的直线EF与边AD、BC分别相交于E、F,/\

图中全等三角形最多有对.匕---------------、

2.已知：如图，E、F是ABCD的对角线AC上的储，且AE=CF：

(1)BE与DF有什么关系？

(2)证明你的结论.

知识梳理：

(一)三角形中位线的概念

1.线段DE称为△ABC的中位线

2.识图

(1)如图，△ABC中,D、E、F三等分AB,

G、H、K三等分AC,

则4ABC的中位线是;

DG良匕__________的中位线.

(二)三角形中位线定理

1.用语言叙述三角形中位线定理：三角形的中位线第三边，且等于第

三边的.

2.有一位同学用下列方法证明了三角形中位线定理,(大致思路是构造平行四边

形BCGD),请你完成证明.

3.已知：如图，梯形ABC。中，AD//BC,E,一分别是AB,0c的中点.

求证：EF//BC,EF=1/2(BC+AD)

思路一：将梯形转化为三角形，利用三角形中位线定理进行证明.

【课后作业】

1.在等腰直角三角形ABC中，斜边AC为2cm,D、F分别为AC和BC的中点,

求DF的长度.

2.四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AD、AC

BC、BD的中点，

则(1)EF是否某个三角形的中位线？

(2)GH是否某个三角形的中位线？

(3)EG是否某个三角形的中位线？

(4)HF是否某个三角形的中位线？

(5)EF和GH有什么关系？请加以证明.

3.图，Z\ABC的边长分别为a、b、c,它的三条

中位线组成△AiBCi,其周长为为h,面积为Si

.△AIBIC的三条中位线又组成△A2B2C2.其周长

为为面积为S2；...

(1)用a、b、c表示△AGBGCG周长h=

(2)△AeBcCe与4ABC的面积之比为

(3)用a、b、C表示△AnBnCn周长ln=

4.小明有一个解不开的迷：他任意画了三个AABC(不全等)，发现只要向图中

的角平分线BG、CF作垂线AG、AF,连接两垂足F、G,则FG总是与BC平

行，但他不会证明，你能解开这个迷吗？

A

C

1.5中位线（2）

学习目标

1、学生能利用三角形中位线定理判断中点四边形的形状；

2、感受中点四边形的形状取决于原四边形的两条对角线的位置与长短；

3、通过图形变换使学生掌握简单添加辅助线的方法。

预习提纲

任意四边形的中点四边形都是平行四边形的中点四边形是

矩形的中点四边形是;菱形的中点四边形是

正方形的中点四边形是梯形的中点四边形是

直角梯形的中点四边形是等腰梯形的中点四边形是

知识梳理

1.中点四边形：顺次连接一个四边形四边中点所得四边形称为这个四边形的

中点四边形

2.依次连接任意四边形各边中点所成的四边形是什么形？

3、如果把上题中的“任意四边形”改为“平行四边形”，它的中点四边形是

什么形状呢？

4、结论：

（1）中点四边形的形状与原四边形的对角线有密切关系:

（2）只要原四边形的两条对角线相等，就能使中点四边形是菱形；

（3）只要原四边形的两条对角线互相垂直，就能使中点四边形是矩形；

（4）要使中点四边形是正方形，原四边形要符合的条件是相等且互相垂直。

例题分析

如图：点E、F、G、H分别是线段AB、BC、CD、AD的中点，则四边形

EFGH是什么