人教A版（2019）高中数学必修第一册5.6.2函数 y=Asin3x

5.6.2函数y=Asin3x。

教学目标：

1.掌握参数/对函数y=4sin（ox+。）图象的影响，理解参数/在圆周运动中的实际

意义，掌握这个函数的性质，发展数学抽象、逻辑推理与直观想象的素养.

2.理解从正弦曲线到函数尸如in（ox+。）图象的变换过程，能用五点（作图）法画

函数y=^sin（ox+。）图象.

3.会运用函数y=4sin（ox+。）的图象与性质解决简单的数学问题和实际问题.

教学重点：参数A对函数y=/sin（ox+0）图象的影响，以及从从正弦曲线到函数y=

如in（ox+0）图象的变换过程..

教学难点：从正弦曲线经过图象变换得到函数y=/sin（。*+0）图象.

教学过程：

（一）整体感知

引导语：通过上节课的学习，我们从实际问题出发，建立了一个新的函数y=4sin（ox

+0）,并按照函数的研究套路，研究了该函数的图象中的部分问题.现在继续上一节课的

研究.

（二）新知探究

6.探索/（J>0）对函数y=4sin（ox+。）的图象的影响

问题6：当参数力变化时，对函数y=/sin（。）图象有什么影响？类比。与。的研

究方法，你计划怎样进行研究？

预设的师生活动：本问题由学生自主探索，合作交流.

预设答案：归纳出以下几点：①先研究特殊，再进行归纳，得到一般结论.

②结合筒车解释A的意义.给A赋特值解释对应的图象变化.

③结合筒车的运动，如图1,两个动点用相同的时间运动xs后，若4（x,力是函数y

=sin（2x+?）图象上的一点，那么点Mx,2力就是函数y=2sin（2x+P）图象上的相应点，

66

即函数y=2sin（2x+巴）图象是函数y=sin（x+巴）图象上的所有点纵坐标伸长为原来的2

66

倍（横坐标不变）得到的.

④一般化的结论：一般地，函数尸/sin（ox+0）的图象可以看作是将函数y=sin（0

x+0）的图象上的任意一点的纵坐标伸长（/＞1）或缩短为原来的A倍（横坐标保

持不变）得到.从而y=/sin（ox+。）的值域是［―4A］,最大值是4最小值是一4

设计意图：探究参数A的变化对函数y=/sin（。矛+0）的图象的影响.学生再次经历

“由形导数”“由数释形”的过程，更加突出从点的坐标认识图像变换的规律，体验探究方

法，提升思维水平.

7.探索43,。对函数y=4sin（ox+0）的图象的影响

问题7：你能总结一下从函数y=sinx图象出发，通过图象变化得到函数尸/sin（

+。）的图象的过程与方法吗？请你写出来.

预设的师生活动：由学生完成，并展示交流.

预设答案：一般结论：一般地，函数y=/sin（ox+0）的图象，可以用下面的方法得

到：先画出函数尸sinx的图象；再把正弦曲线上所有点向左（。＞0）或向右（。＜0）平移|

0I个长度单位得到y=sin（x+0）的图象;然后把曲线上各点的横坐标变为原来的工倍（纵

CD

坐标不变）得到y=sin（Gx+O）的图象；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的4倍（横

坐标不变），这时的曲线就是函数p=/sin（GX+。）的图象.从而尸Zsin（GX+的值域

是［—4A］,最大值是Z,最小值是一4

例1画出函数y=2sin（3尤一聿）的简图.

师生活动：因为刚完成了问题7,所以学生应该先想到根据问题7获得的结论完成.学

生先独立思考，然后展示交流，由学生口述其变换过程，教师板书步骤.

预设答案：如图2,先画出函数尸sinx的图象；再把正弦曲线上所有点向左平移四个

6

长度单位得到y=sin（^+-）的图象；然后把曲线上各点的横坐标变为原来的［倍（纵坐

标不变）得到y=sin（3^+-）的图象；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的2（横坐标

6

不变），这时的曲线就是函数y=2sin（3x+3）的图象.

追问：我们已经知道了该函数的图象的整体样貌.回想正弦函数草图的画法，你能用五

点法画出这个函数的图象吗？

预设的师生活动：由学生完成，整体展示.学生可以说出找五个关键点.在教师的追问

下，形成通过换元转化，最后找到五个关键点的思路

预设答案：五点作图法的步骤：

第一步，用列表、描点的方法，先画出函数在一个周期内的图象.

T=n,令才=3x-乌=0,—,兀，-71,27r.

622

列表：

713兀

X0n2打

2~2

X712兀7兀5兀1371

18918918

y020-20

描点画图（图3）：

第二步，将函数在一个周期内的图象拓展在整个定义域内.

设计意图：引导学生从局部的讨论过渡到整体的思考，从特殊的例子归纳概括出一般性

的结论，得到从正弦函数的图象出发，通过图象变换得到尸然in(ox+0)图象的过程与

方法.同时引出“五点法”作图，并从两种方法的联系来加深学生对尸/sin(ox+0)图

象的认识.

例2如图4,摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设

施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯

瞰四周景色.某摩天轮最高点距地面高度为120m,转盘直

径为110m,设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋

转，游客在座舱转到离地面最近的位置进舱，转一周大约需

要30min.图4

(1)游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动tmin后离地面的高度为〃m,求在转动一

周的过程中，〃关于力的函数解析式；

(2)求游客甲在开始转动5min后离地面的高度；

(3)若甲、乙两人分别坐在两个相邻的座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地

面的高度差的最大值(精确到0.1).

预设的师生活动：学生讨论，然后回答.

追问：你打算选择什么函数模型来刻画这个实际问题？为什么？

预设答案：摩天轮上座舱运动可以近似地看作是质点在圆周上做匀速旋转，在旋转过程

中，游客距离地面的高度〃呈现周而复始的变化，因此可以考虑用三角函数模型来刻画.

如图5,设座舱距离地面最近的位置为点只以轴心。为原点，与地面平行的直线为x

轴建立直角坐标系.

(1)设方=0min时，游客甲位于点尸(0,-55),以OP

为终边的角为-巴；根据摩天轮转一周大约需要30min,可知

2

座舱转动的角速度约为工rad/min,由题意可得

15

H=55sin(—r--)+65,0WrW30.

152

(2)当力=5时，H=55sin(—x5--)+65=37.5.

152

(3)甲、乙两人的位置分别用点48表示，则=@=经过tmin后甲

4824

距离地面的高度为旦=55sin(Rr-])+65,点6相对于点力始终落后最rad,此时乙距

离地面的高度为凡=55sin(4f-U3+65.则甲、乙距离地面的高度差

21524

h=\Ht-H2\=55sin(^|，一。)一sin(R1-

=110sin——sin(——t----),0W/W30

481548

当=(或即)，即t^7.8(或22.8)时，

154822

力的最大值为110sin—^7.2m.

48

设计意图：本例与5.6.1小节开篇的筒车问题相呼应，进一步体会圆周运动与三角函数

模型之间的内在联系，感受数学建模思想，体现数学的综合