三角函数模型的简单应用教学设计学情分析教材分析课后反思

《三角函数模型的简单应用》教学设计

一、教学分析

教材分析：本节课是在学习了三角函数图象和性质的前提下单独一节来学习三角函数模

型的简单应用，进一步突出函数来源于生活应用于生活的思想，让学生体验一些具有周期性

变化规律的实际问题的数学“建模”思想,从而培养学生的创新精神和实践能力.

学情分析：本节课是在学习学习了第一章函数的应用和三角函数的性质和图象的基础上

来习三角函数模型的简单应用，学生已经有了数学建摸的基本思想和方法，应用三角函数的

基本知识来解决实际问题对学生来说应该顺理成章，所以对本节的学习应让学生能够多参与

多思考，培养他们的分析解决问题的能力，提高应用所学知识的能力.

二、教学目标

1、基础知识目标：a通过对三角函数模型的简单应用的学习，使学生初步学会由图象

求解析式的方法；b根据解析式作出图象并研究性质；c体验实际问题抽象为三角函数模型

问题的过程；d体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.

2、能力训练目标：让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学“建模”思

想，从而培养学生的建模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力.

3、个性情感目标：让学生切身感受数学建模的过程，体验数学在解决实际问题中的价

值和作用，让学生切身感受数学建模的过程，体验数学在解决实际问题中的价值和作用从而

激发学生的学习兴趣，培养锲而不舍的钻研精神；培养学生勇于探索、勤于思考的精神.

三、教学重点、难点

教学重点：用三角函数模型刻画潮汐变化规律，用函数思想解决具有周期变化的实际问题.

教学难点：对问题实际意义的数学解释，从实际问题中抽象出三角函数模型.

四.教学过程设计

教学环节师生活动设计意

图

海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮，一般

地，早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，

（-）

靠近船坞；卸货后，在落潮时返回海洋，下面是某港口在某季节每

呈现实际

情境天的时间与水深的关系表：

时刻水深（米）时刻水深侏）时刻水深米）

0：005.09：002.518：005.)

3：007.512：005.021：002.5

6005.015：007.524：005.)

（1）选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，

并给出整点时的水深的近似数值。（精确到0.I）

（2）一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全

条例规定至少要有1.5米的安全间隙（船底与洋底的距离），该船

何时能进入港口？在港口能呆多久？

（3）若某船的吃水深度为4米，安全间隙为1.5米，该船在2:00

开始卸货，吃水深度以每小时0.3米的速度减少，那么该船在什么

时间必须停止卸货，将船驶向较深的水域？

问题探究1：如图所示，下面是某港口在某季节每天的时间与水深

水深变化并

的关系表：

（二）不是杂乱无

时刻水深/米时刻水深/米时刻水深/米

正确理解章，而是呈

0:005.09:002.518:005.0

实际问题现一种周期

3:007.512:005.021:002.5

6:005.015:007.524:005.0性变化规

律，得到的

是一个刻画

请同学们仔细观察表格中的数据，你能够从中得到一些什么信

水深与时间

息？

关系的三角

小组合作发现，代表发言。可能结果：函数模型.

1）水深的最大值是7.5米，最小值是2.5米。

2）水的深度开始由5.0米增加到7.5米，后逐渐减少一直减少

到2.5,又开始逐渐变深，增加到7.5米后，又开始减少。

3）水深变化并不是杂乱无章，而是呈现一种周期性变化规律。

4）学生活动：作图一一更加直观明了这种周期性变化规律。（研

究数据的两种形式）

5）教师呈现作图结果，学生小组代表发言，跟我们前面所学过哪

个函数类型非常的类似？追问为什么类似正弦型函数

y=Asvn（a»x+（p）+b（排除法，关键在于周期性）。

（学生活动，求解解析式）A=2.5,h=5,T=12,°=0;

生=12,得0=工.

（D6

：.V=2.5sin---1-5

6

得到的是一个刻画水深与时间关系的三角函数模型，为了保证

所选函数的精确性，通常还需要一个检验过程，教师点明：建模过

程一一选模，求模，验模，应用。有了这个模型，我们大致可以知

道哪些情况？学生小组合作讨论回答，如周期、单调性、每时每刻

的水深。

学生计算几个值，最后教师呈现水深关于整点时间的数值表

【师】有了水深关于时间的函数模型以后，作为船长考虑的问题

还没有结束，因为船只在进出港时，每艘船只的吃水深度是不一样,

下面我们就看一看把这两方面的情况都考虑进去的一个问题：

问题探究2：一艘货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4

米，安全条例规定至少要有L5米的安全间隙（船底与洋底的距

离），试问：该船何时能够进入港口？在港口能呆多久？

（师生一起分析）用数学的眼光看，这里研究的是一个怎样的数

学问题？水深25.5米

JTY77T

得出2.5sin"+5N4+1.5,即sin空20.2,

66

（师生齐分析）解三角不等式sin220.2的方法

6

77Y

令sin—=0.2学生活动：操作计算器计算

6

77Y

—。0.2014,xx0.3848，结合电脑呈现图象

6

f(x)=2.5sin-^—1-5

发现：在［0,24］范围内，方程sin”=0.2的解一共有4

6

个，从小到大依次记为：玉=0.3846,々=5.6154.

当=12.3846,%=17.6154.

得到了4个交点的横坐标值后，结合图象说说货船应该选择什

么时间进港？什么时间出港呢？

（学生讨论，交流）

可能结果：［生1］货船可以在0时30分钟左右进港，早晨5时

30分钟左右出港；或者是中午12时30分钟左右进港，在傍晚17

时30分钟左右出港。

【生2】货船可以在0时30分钟左右进港，可以选择早晨5时

30分，中午12时30分，或者傍晚17时30分左右出港。

（学生讨论，最后确定方案1为安全方案，因为当实际水深小于

安全深度时，货船尽管没有行驶，但是搁浅后船身完全可以馅入淤

泥，即使后来水位上涨，也很可能船身不再上浮）

刚才整个过程，货船在进港，在港口停留，到后来离开港口，

货船的吃深深度一直没有改变，也就是说货船的安全深度一直没有

改变，但是实际情况往往是货船载满货物进港，在港口卸货，在卸

货的过程中，由物理学的知识我们知道，随着船身自身重量的减小,

船身会上浮，这样一来当两者都在改变的时候，我们又该如何选择

进出港时间呢？请看下面问题：

问题探究3：在探究2条件中，若该船在2：00开始卸货，吃

水深度以每小时0.3米的速度减少，那么该船在什么时间必须停止

卸货，将船驶向较深的水域？

（学生讨论）安全即需要：实际水深之安全水深，即：

2.5sin—+5>5.5-0.3（%-2）

6,

讨论求解方法：用代数的方法？几何的角度？（电脑作图并

呈现）

f(x)=2.5sin-^--^5

通过图象可以看出，当快要到P时刻的时候，货船就要停止

卸货，驶向深水区。那么P点的坐标如何求得呢？（学生思考，讨

论，交流）求P点横坐标即解方程

2.5sin爰+5=5.5-0.3（x-2）

数形结合，二分法求近似解：

由图得点P点横坐标在[6,7],故我们只需要算出6,6.5,7

三个时刻的安全水深与实际水深的数值表就可以回答上面的问题。

时间实际水深安全水深是否安全

65米4.3米安全

6.54.2米4.1米较安全

73.8米4.0米危险

货船应该在6时30分左右驶离港口。（可能有的同学有些异议,

可以讨论）

从这这个问题可以看出，如果有时候时间控制不当，货船在卸

货的过程中，就会出现货还没有卸完，不得已要暂时驶离港口，进

入深水区，等水位上涨后在驶回来。这样对公司来说就会造成才力、

物力上的巨大浪费？那该怎么来做呢？（学生讨论）

可以加快卸货速度，也就是加快安全深度下降速度.

观察问题中所给出的数据，可以看出，水深的变化具有周期性.设计意图：

通过画函数

根据表中的数据作出图象，从散点图的形状可以判断，这个港口的的图象来研

(三)

究性质.由

水深与时间的关系可以用形如y=Asin(3x+e)+〃的函数来

建立并完已知函数模

善数学模刻画，其中x是时间，y是水深.根据数据可以具体确定A,co,(p,h型来研究函

数，培养学

型

的值.生应用已知

函数解决问

题方法.利

用三角函数

解决生活中

的实际问

题，培养解

决实际问题

的能力.

解：(1)以时间为横坐标，水深为纵坐标，在直角坐标系中画设计意图：

(四)出散点图，根据图象，可以考虑用函数来刻画水深与时间之间的对建模过程一

求解并验应关系.一选模，求

证数学模从数据和图象可以得出：A=2.5,h=5,T=12,*=0;模，验模，

型

.2九1八/口7T应用.优化

由T=——=12,得。=—.

co6学生的知识

所以，这个港口的水深与时间的关系可以用结构，使之

77系统化、条

y=2.5sin—x+5近彳以描述.

6理化，加强

(2)货船需要的安全水深为4+1.5=5.5(米)，知识间内在

所以当y25.5时就可以进港.联系的理解

n

令2.5sin—x+5=5.5,得=0.3846,x=5.6154.和认识.逐

62

渐培养学生

由函数的周期性易得：七=12.3846,5=17.6154.

的良好的个

因此，货船可以在0时30分左右进港，早晨5时30分左右出性品质.

港；或在中午12时30分左右进港，下午17时30分左右出港.每

次可以在港口停留5小时左右.

(3)设在时刻x货船的安全水深为y,那么

y=5.5—0.3(x—2)(x22).在同一坐标系内作出这两个函数的图

象.可以看到在6~7时之间两个函数有一个交点.

通过计算，为了安全，货船最好在6.5时之前停止卸货，将船

驶向较深的水域。

四、教学反思

1、三角应用题的一般步骤是：

①分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图.

②建模：根据已知条件与求解目标，数学模型.

③求解：利用三角形，求得数学模型的解.

④检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解.

2、通过已知三角函数图象求三角函数解析式，构建三角函数模型解决实际问题.在解答

问题的过程中体验到从数学的角度运用学过的数学思想、数学思维、数学方法去观察生活、

分析自然现象、解决实际问题的策略，使学生认识到数学原来就来自身边的现实世界，是认

识和解决我们生活和工作中问题的有力武器，同时也获得了进行数学探究的切身体验和能

力.增进了他们对数学的理解和应用数学的信心.

2016.3

《三角函数模型的简单应用》学情分析

本节课是在学习了三角函数的性质和图象的基础上来学习三角函数模型的简单应用，而

本节内容重在两个方面的学习：一、由三角函数的图象求函数的解析式，二、由三角函数的

解析式作三角函数的图象。

在课堂教学中，应该把以教师为中心转向以学生为中心，把学生自身的发展置于教育的

中心位置，为学生创设宽容的课堂气氛，帮助学生确定适当的学习目标和达到目标的最佳途

径,指导学生形成良好的学习习惯、掌握学习策略和发展原认知能力,激发学生的学习动机,

培养学习兴趣，充分调动学生的学习积极性，倡导学生采用自主、合作、探究的方式学习。

数学是一门培养人的思维、发展人的思维的重要学科，本节课的内容是三角函数的应用，

所以应让学生多参与，让其自主探究分析问题，然后由老师启发、总结、提炼，升华为分析

和解决问题的能力。

2016.3

《三角函数模型的简单应用》效果分析

本节课的设计思路符合新课标的精神，做到心中有课标，心中有教材，心中有学生，从

实际到理论，再由理论指导实际的认知过程,关注学生的学习情感和学习中将要遇到的困难,

语言精练，宏观调控与微观操作相呼应，并注意细节的处理，尤其通过人体节律，激发兴趣，

体现数学价值，切身感受数学就在身边，并能为我们服务。

把发展学生的数学应用意识和创新意识作为其目标之一，在教学中不仅要突出知识的来

龙去脉还要为学生创设应用实践的空间，促进学生在学习和实践过程中形成和发展数学应用

意识，提高学生的直觉猜想、归纳抽象、数学地提出、分析、解决问题的能力,发展学生的数

学应用意识和创新意识，使其上升为一种数学意识，自觉地对客观事物中蕴涵的一些数学模式

作出思考和判断.

通过已知三角函数图象求三角函数解析式，构建三角函数模型解决实际问题.在解答

问题的过程中使学生体验到从数学的角度运用学过的数学思想、数学思维、数学方法去观察

生活、分析自然现象、解决实际问题的策略，使学生认识到数学原来就来自身边的现实世

界,是认识和解决我们生活和工作中问题的有力武器，同时也获得了进行数学探究的切身体

验和能力.增进了他们对数学的理解和应用数学的信心。

2016.3

《三角函数模型的简单应用》教材分析

本节课是在学习了三角函数图象和性质的前提下来学习三角函数模型的简单应用，进一

步突出函数来源于生活应用于生活的思想，让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题

的数学“建模”思想，从而培养学生的创新精神和实践能力。

教科书《三角函数》这章专门设置“三角函数模型的简单应用”一节，目的是加强用三

角函数模型刻画周期变化的学习，这是以往教学中不太注意的内容.本节内容的教学共分两

个课时：第一课时根据图像建立解析式以及根据解析式作出图像；第二课时根据实际问题处

理数据，作出散点图，然后进行函数拟合，将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模

型，最后根据实际背景及问题的条件，考虑实际意义，对问题的解进行具体分析.

三角函数模型的建立和应用，蕴含着丰富的数学思想.首先，需要对收集到的数据细心

观察，寻找规律，发现表格中的数量关系；进而画出散点图，用函数进行拟合，并找出恰当

的函数模型，求其解析式；最后利用所求得的函数模型解决实际问题.这体现了数学建模的

思想.

在用代数方法处理一些问题遇到困难时，常通过对图像的研究和分析，采用数形结合的

思想，使问题得以解决.三角函数模型，其本身就是“数”与“形”的统一体.就本节所涉

及的实际问题，根据所提供的数据很难一目了然地观察到其变化的规律,而画出它的散点图，

可直观的反映出数据的周期性变化规律，这样将“数”与“形”的结合，使得函数模型的建

立水到渠成.在学习分段函数、指数函数、对数函数等具体函数模型时.，已经接触过“数形

结合”的思想，但结合本课内容，发挥从“数”和“形”两个方面共同分析解决问题的优势，

可以进一步加强对数形结合思想方法的理解.同时，在运用三角函数模型解决数学问题的过

程中，“函数与方程”“函数与不等式”等数学思想也得到了体现.

此外，三角函数模型是在学习了分段函数、指数函数、对数函数等具体函数模型之后学

习的又一具体函数模型，在教学过程中，突出体现了建立模型和应用模型两个核心环节.

因此，本节的教学重点是：用三角函数模型解决一些具有周期性变化规律的实际问题,

学习从实际问题中发现周期变化的规律，并将所发现的规律抽象为恰当的三角函数模型的方

法.

2016.3

《三角函数模型的简单应用》评测练习

一、选择题。

1、设y=/Q）是某港口水的深度关于时间t（时）的函数，其.中OWf<24,下表是该港口某

一天从0至24时记录的时间t与水深y的关系.

t03691215182124

y1215.112.19.111.914.911.98.912.1

经长期观察，函数），=/⑺的图象可以近似地看成函数y=k+Asin（m+e）的图象.

根据上述数据，函数>=/（，）的解析式为（）

ITtTTt

A.y=12+3sin—,re[0,24]B.y=12+3sin（—+re[0,24]

66

rrtntn

C.y=12+3sin—,/e[0,24]D.y=12+3sin（—+—）,/e[0,24J

2、从高出海面韧?的小岛A处看正东方向有一只船B,俯角为30,看正南方向的一船C的俯

角为45°,则此时两船间的距离为（）.

A.2hmB.C.s[3hm.D.2y/2hm

3、函数的y=cos2x-3cosx+2最小值为（）

A.2B.0C.---D.6

4

4、/（x）=x-cosx-5sinx+2,若/（2）=。，则/'（一2）的值为（）.

A.—aB.2+aC.2—a,D.4—a

5、设A、B都是锐角，且cosA>sinB则A+B的取值是（）

A.B.(0㈤

6、若函数/(x)是奇函数，且当尤<0时，有/(x)=cos3x+sin2x,则当x>0时，/(x)

的表达式为()

A.cos3x+sin2xB.-cos3x+sin2x

C.cos3x-sin2xD.-cos3x-sin2x

二、填空题。

7、三角形的内角x满足2cos2户1=0则角4;

8、一个扇形的弧长和面积的数值都是5,则这个扇形中心角的度数是;

9、已知/(冗)=asinx+。暇+4(其中a、b为常数)，若/(2)=5,则/(-2)=.

10、由函数y=2sin3x仁<x<\

与函数y=2的图象围成一个封闭图形，这个封闭图

形的面积是—

三、解答题。

1k如图表示电流I与时间t的函数关系式：I=Asin((ot+(p)在同一周期内的图象。

(1)根据图象写出I=Asin((ot+(p)的解析式；

1

(2)为了.使i=Asin(cot+<p)中t在任意一段100秒的时间内

电流I能同时取得最大值和最小值，那么正整数①的最小值是

多少？

12、某商品一年内出厂价格在6元的基础上按月份随正弦曲线波动,已知3月份达到最高价

格8元，7月份价格最低为4元，该商品在商店内的销售价格在8元基础上按月份随正弦曲

线波动，5月份销售价格最高为10元，9月份销售价最低为6元，假设商店每月购进这种商

品m件，且当月销完，你估计哪个月份盈利最大？

13、已知定义在区间［-万，一2万］上的函数y=/(x)的图象关于直线》=-互TT对称，当

36

-JI2、

xG[---，—乃]时，函数/（x）=Asin（0x+0）（A>O,0>O,-X<e<

632

其图象如图所示.

求函数y=/(x)在［-乃，1•乃］的表达式;

《三角函数模型的简单应用》课后反思

本节课初步完成了课标要求的教学内容，让学生加深了对三角函数相关知识的理解，了

解了三角函数模型在实际生活中的初步应用。使学生具备了初步的数据采集、分析、建模、

解决问题的能力。

学生在接受新知识时都会有一定的过程，新知识的接受，数学能力的培养主要在课堂

上进行，所以要特别重视课内的学习效率，寻求正确的教学方法。本节课的重点是让学生

理解三角函数在生活中的应用。这需要动态的图形给学生看会有较好的效果。在例题与习

题的处理中，有所梯度，让学生循序渐进的理解并掌握新知。

上完本节课后我反思总结出以下几点：首先，老师提问一定要精细化，并且要使

每个问题都是学生能力范围内的，不可过难，要让学生有思路可想；也不能太简单使学生

随口脱出，让学生边答边思考，这样的提问才是好的，有效的，学生也会觉得有所收获。

其次，非必要的语句一定不要说，哪怕是一个字也不要说，课堂上要让学生尽最大可能提

高效率，这就需要老师把最精练简洁的语言讲给学生听，这也体现了数学这一门学科的特

点。一节课的时间不是短暂的几分钟，学生难免产生疲倦，所以老师不能总是讲个不停，

废话连篇，那会让学生产生更多的疲倦。在课堂教学中，用“问题串”和“变式练习”来

组织教学，边讲边练，练的要有梯度，问题要一环扣一环，这样学生的思考才会有逻辑性,

不会混乱，并且对于有梯度的训练学生会感兴趣，不会产生厌烦，当然知识的吸收效果就

会好。

学生现在的水平可能是不如老师，但在知识的海洋里，学生好比一艘帆船，老师

充当的是引航者的身份，至于船要沿着你的航线如何开，开的多远都是老师不可以禁锢的。

这节课的难点是如何让学生能够把实际问题与三角函数建立联系，并把所给数据做初步分

析整理，这是学生平时不常接触和练习的。这点对于学生来说有一定难度，一定要抓住要

点，从抽象的数据中提取关键的数学信息。让学生体会数学并不是枯燥无用的，而是在很

多领域可以发挥大的作用。

总之，通过这堂课的教学后，我发现学生要能有效的利用课堂时间掌握新的知识，老

师必须在上课之前尽最大努力备好一节课，讲练结合，主角在学生，老师在引导，一定要

做到让学生学，而不是老师